2018-2019学年安徽省宣城市八校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省宣城市八校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省宣城市八校高一上学期期末联考数学试题 一、单选题 ‎1． （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三角函数的诱导公式可得，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由三角函数的诱导公式可得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用三角函数的诱导公式求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎2．设集合, , 则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求得集合，得到或，根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得集合，‎ 则或，‎ 又由，所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合A，再根据集合的运算，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎3．已知, , , 则三者的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据实数指数幂的运算与对数的运算性质，求得的取值范围，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得,, ‎ 根据对数运算的性质，可得，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三个数的大小比较问题，其中解答中合理利用指数幂的运算性质，以及对数的运算性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎4．函数的零点所在区间为（ ）‎ A．(0, 1) B．(1, 2) C．(2, 3) D．(3, 4)‎ ‎【答案】B ‎【解析】判断函数在区间端点处的函数值的符号，利用零点的存在定理，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，函数，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 又根据基本初等函数的单调性，可得函数函数为定义域上的单调递增函数，所以函数在区间上存在零点，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的零点存在定理，以及基本初等函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5．函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 由为偶函数可排除A，C；‎ 当时，图象高于图象，即，排除B；‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ ‎6．设函数, 则函数定义域为（ ）‎ A． B． C．(0, 4] D．(0, 1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的解析式，求得函数的定义域，再由在的定义域内求解得范围，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则函数满足，解得，‎ 所以函数满足，解得，即函数的定义域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域的定义及求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，合理利用定义域的定义列出相应的不等关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，数基础题.‎ ‎7．要得到函数的图象, 只需将函数的图象（ ）‎ A．所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.‎ B．所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.‎ C．所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.‎ D．所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三角函数的图象变换，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，可得，再将函数图象的各点向左平移个单位，可得，‎ 所以要得到函数的图象, 只需将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数图象变换的原则，合理准确地完成平移与伸缩是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎8．已知向量, ,若, 则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据向量, 求得，再利用三角函数的基本关系化简，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，向量, ,‎ 因为, 所以，即，即，‎ 则，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的共线定理的应用，以及三角函数的基本关系式的应用，其中解答中根据向量的共线定理得到的值，再利用三角函数的基本关系式化简、求值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎9．函数的递增区间是（ ）‎ A． （） B． （）‎ C． （） D． （）‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用三角恒等变换的公式，化简得由函数，再根据余弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由函数，‎ 令，整理得，‎ 所以函数的单调递增区间为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎10．已知函数, 则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，化简函数，再利用倒序相加法，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数 设，‎ 则，‎ 所以， ‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的化简求值，以及利用倒序相加求和，其中解答中化简函数，再利用倒序相加法求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎11．如图,在梯形中, , 为线段上一点,且，为的中点, 若（， ）,则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接关键向量的线性运算，化简求得，求得的值，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据向量的运算法则，可得：‎ ‎ ‎ 又因为，所以，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎12．定义域为的函数 ,若关于的方程 有5个不同的实数解,,,,，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，函数，解得，，当时，函数，可解得或，当时，函数，可解得或，进而可求的，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，当时，函数，由，即，‎ 则，，且.‎ 当时，函数，‎ 由，得，‎ 解得或，解得或，‎ 当时，函数，‎ 由，得，‎ 解得或，解得或，‎ 所以，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数，及函数与方程的综合应用，试题有一定的难度，属于中档试题，其中解答中根据条件分别按三种情况分类讨论求得方程的5个不同的解，进而根据对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ 二、填空题 ‎13．=_____________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】根据指数幂与对数的运算性质，即可化简，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据指数幂与对数的运算性质，可得 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据指数幂与对数的运算性质的化简求值，其中解中熟记指数幂与对数的运算性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎14．若满足，，且，则与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题设可得,即,也即,所以,故应填．‎ ‎【考点】向量的数量积公式及运用．‎ ‎15．已知函数 ()的图象关于点(, 0)对称, 则的值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据的对称点，得到，解得，进而求解答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数()的图象关于点(, 0)对称,‎ 所以，解得，即，‎ 又因为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的对称中心的性质，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎16．关于函数,有下列结论:‎ ‎①的定义域为(-1, 1); ②的值域为(, );‎ ‎③的图象关于原点成中心对称; ④在其定义域上是减函数;‎ ‎⑤对的定义城中任意都有.‎ 其中正确的结论序号为__________.‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】根据对数函数的定义求得函数的定义域，得到①正确，根据对数函数的奇偶性的定义，判定③正确，根据函数单调性的定义求得④不正确，根据对数函数的性质求得②不正确；根据对数的运算性质可判定⑤正确.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，所以，解得，‎ 所以函数的定义域为，所以①是正确的；‎ 由，令，则，‎ 令，解得，所以函数的值域为R，所以②是不正确；‎ 因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以③是正确的；‎ 设，且，‎ 则 因为，，所以，所以，‎ 即，所以函数定义域上的单调递增函数，所以④不正确；‎ 由，所以⑤是正确的；‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域与值域，对数的运算性质，以及函数的的单调性与奇偶性的定义的判定与应用，其中熟记函数的定义域，以及对数函数的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知全集,集合为函数的定义域, .‎ ‎(1)若, 求和;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ， （2）或 ‎【解析】（1）根据对数函数的性质，求得集合 ，当时，，利用集合的运算，即可求解.‎ ‎（2）由，得到或，即可求解实数m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数，满足，解得，‎ 即集合 ‎ 当时，，‎ ‎∴ ， ‎ ‎（2）因为，所以或，即或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的定义域，以及集合的运算及应用，其中解答中熟记对数函数的性质，以及熟练应用集合的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎18．在平面直角坐标系中, 已知点,,‎ ‎(1)求以线段,为邻边的平行四边形的两条对角线的长;‎ ‎(2)在中,设是边上的高线, 求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）和（2）（一1，2）‎ ‎【解析】（1）由题意求得 ，利用向量的模的运算公式，即可求解.‎ ‎（2）设，根据共线向量，求得 ，进而利用，求得，即可得出点D的坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可得，，则 ，‎ 所以，‎ 即两条对角线的长为和 .‎ ‎（2）设点的坐标为，由点在上，设，‎ 则，∴，即 ‎ ‎∴，∵，‎ ‎∴，即，解得，‎ 即点D的坐标为（-1，2）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的运算，以及共线向量与向量模的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，以及共线向量的表示是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎19．已知向量, (其中),函数, 其最小正周期为.‎ ‎(1)求函数的解析式.‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值为3，最小值为0‎ ‎【解析】（I）由三角恒等变换的公式，化简得，再由函数的最小正周期，求得，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）由，所以，所以，即可求解函数的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由题意，函数 ‎，‎ 因为最小正周期为，所以，解得，即 ‎ ‎（2）由，所以，所以，‎ 所以，即的最大值为3，最小值为0‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，以及三角函数的性质的应用，其中熟练应用三角函数恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的性质及其应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎20．已知定义域为,对任意,都有,当时, ,.‎ ‎（1）求; ‎ ‎（2）试判断在上的单调性,并证明;‎ ‎（3）解不等式:.‎ ‎【答案】（1）（2）在上单调递减（3）‎ ‎【解析】（1）令，得，令，得，即可求解的值；‎ ‎（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数为上单调递减函数，得到结论. ‎ ‎（3）令，得，进而化简得，再根据函数的单调性，得到不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，令，得，解得 令，得，所以. ‎ ‎（2）函数在上单调递减，证明如下：‎ 任取，且，‎ 可得 ‎，‎ 因为，所以，所以 即，所以在上单调递减. ‎ ‎（3）令，得，∴‎ ‎∴‎ ‎∴，又在上的单调且 ‎∴，∴.‎ ‎∴，即不等式解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抽象函数的求值问题，以及函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟练应用抽象函数的赋值法求值，以及熟记函数的单调性的定义证明及应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎21．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点在上，点在弧上，设.‎ ‎（1）若矩形是正方形，求的值；‎ ‎（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向修建两条观赏通道和（宽度不计），使， ，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由.‎ ‎【答案】（1）矩形是正方形时， （2）当是的中点时， 最大 ‎【解析】试题分析：（1）因为四边形是扇形的内接正方形，所以，注意到，代入前者就可以求出. （2）由题设可由， ，利用两角差的正弦和辅助角公式把化成的形式，从而求出的最大值.‎ ‎ 解析：（1）在中， ， ，在中， ‎ ‎， 所以 ，因为矩形是正方形， ，所以，所以，所以 ． ‎ ‎（2）因为所以， ， ．所以, 即时， 最大，此时是的中点． ‎ 答：（1）矩形是正方形时， ；‎ ‎（2）当是的中点时， 最大． ‎ ‎22．已知函数()为偶函数.‎ ‎（1）求的值;‎ ‎（2）若函数,，是否存在实数使得的最小值为0,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在使得最小值为0.‎ ‎【解析】（1）根据函数是偶函数，得，代入整理得，即对一切恒成立，即可求解的值；‎ ‎（2）由（1）知，，令，则，分类求得函数的单调性和最小值，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数是偶函数可得，‎ 所以 ，‎ 即，即对一切恒成立，解得 .‎ ‎（2）由（1）知，，令，则，‎ ‎①当时，在单调递增，∴，不符； ‎ ‎②当时，图像对称轴，则在单调递增，‎ ‎∴，∴（舍）； ‎ ‎③当时，图像对称轴，‎ ‎（i）当，即时，，∴，∴；‎ ‎（ii）当，即时，，∴，∴（舍）‎ 综上，存在 使得最小值为0.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性与最值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的应用，以及利用换元法，合理分类讨论得出函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎