山东省淄博市部分学校2020届高三下学期3月教学质量检测数学试题

山东省淄博市部分学校2020届高三下学期3月教学质量检测数学试题

山东省淄博市部分学校高三教学质量检测 数 学 第Ⅰ卷（选择题 60分）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,,则,故选B.‎ 考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，‎ 考点：全称命题与特称命题 ‎3.设，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.‎ 详解：‎ ‎，‎ 则，故选c.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎4.二项式的展开式中项的系数为，则（ ）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．‎ ‎【考点定位】二项式定理．‎ ‎5.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设，，∴，，‎ ‎，∴‎ ‎.‎ ‎【考点】向量数量积 ‎【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．‎ ‎6.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 详解：直线分别与轴，轴交于，两点 ‎,则 点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为 则 故答案选A.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．‎ ‎7.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.‎ 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，‎ 再画出直线，之后上下移动，‎ 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，‎ 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，‎ 即方程有两个解，‎ 也就是函数有两个零点，‎ 此时满足，即，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.‎ ‎8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体体对角线即为球直径，从而得解.‎ ‎【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，‎ ‎，又，分别为、中点，‎ ‎，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．‎ 解法二:‎ 设，分别为中点，‎ ‎，且，为边长为2的等边三角形，‎ 又 中余弦定理，作于，，‎ 为中点，，，‎ ‎，，又，两两垂直，，，，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）‎ A. 年接待游客量逐年增加 B. 各年月接待游客量高峰期大致在8月 C. 2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30‎ D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项.‎ ‎【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：‎ 在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；‎ 在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；‎ 在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C错误；‎ 在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题.‎ ‎10.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. ‎ B. 平面 C. 的面积与的面积相等 D. 三棱锥的体积为定值 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对各选项逐一作出正确的判断即可.‎ ‎【详解】‎ 可证平面，从而，故A正确；由平面，可知平面，B也正确；连结交于，则为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，D正确；很显然，点和点到的距离是不相等的，C错误.‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题.‎ ‎11.已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（ ）‎ A. 当时，的面积为 B. 不存在使为直角三角形 C. 存在使四边形面积最大 D. 存在，使的周长最大 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对各选项逐一作出正确的判断即可.‎ ‎【详解】如图：‎ 对于A选项，经计算显然正确；‎ 对于B选项，时，可以得出，当时，，根据对称性，存在使为直角三角形，故B错误；‎ 对于C选项，根据椭圆对称性可知，当时，四边形面积最大，故C正确；‎ 对于D选项，‎ 由椭圆的定义得：的周长；‎ ‎∵；∴，当过点时取等号；‎ ‎∴；‎ 即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大；‎ 此时直线；但，所以不存在，使的周长最大.故D错误.‎ 故选：AC ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质，考查学生识图能力，属于中档题.‎ ‎12.函数在上有定义，若对任意，有则称在上具有性质.设在上具有性质，则下列说法错误的是：（ ）‎ A. 在上的图像是连续不断的；‎ B. 在上具有性质；‎ C. 若在处取得最大值1，则，；‎ D. 对任意，有 ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对各选项逐一作出正确的判断即可.‎ ‎【详解】对于A选项，反例，此函数满足性质但不连续，故A错误；‎ 对于B选项，具有该性质，但是不具有该性质，故B错误；‎ 对于C选项，由性质P得，，且，，‎ 故，故C正确；‎ 对于D选项，‎ ‎，故D正确.‎ 故选：AB ‎【点睛】本题主要考查函数的概念，函数的性质，考查学生分析能力，推理判断能力，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 90分）‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先想到所选人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从人中任选 人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，‎ 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.‎ ‎【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.‎ ‎14.已知，且，则的最小值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】由可知，‎ 且：，因为对于任意，恒成立，‎ 结合均值不等式的结论可得：.‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 综上可得的最小值为.‎ ‎【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎15.已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). 2‎ ‎【解析】‎ 分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.‎ 详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为 双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为， ‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎16.已知函数，则的最小值是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.‎ 详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ‎，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列满足，，.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比数列的定义可以证明；‎ ‎（2）由（1）可求通项公式，结合可得，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.‎ ‎【详解】证明：（1）∵，∴.‎ 又∵，∴.‎ 又∵，‎ ‎∴数列是首项为2，公比为4的等比数列.‎ 解：（2）由（1）求解知，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎18.已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.‎ ‎（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值 ‎【答案】（1）或.（2），‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c2‎-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sⅠnθ,BC=，△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．‎ 试题解析：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2．‎ 又因∠MCN=π，,可得,‎ 恒等变形得c2‎-9c+14=0，解得c=7，或c=2．‎ 又∵c＞4，∴c=7．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 ‎.‎ ‎∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=‎ ‎,‎ 又,‎ 当,即时，f（θ）取得最大值.‎ 考点：1.余弦定理;2．正弦定理 ‎19.如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证平面CMD,得,再证，进而完成证明．‎ ‎（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎【详解】解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.‎ 因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM.‎ 又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.‎ 而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.‎ ‎（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.‎ 当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.‎ 由题设得，‎ 设是平面MAB的法向量,则 即 可取.‎ 是平面MCD的法向量,因此 ‎，‎ ‎，‎ 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．‎ ‎20.如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q ‎（I）求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎（II）求的最大值 ‎【答案】（I）（-1，1）；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．满分15分．‎ ‎（Ⅰ）由斜率公式可得AP的斜率为，再由，得直线AP的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，‎ ‎，‎ 因为，所以直线AP斜率的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是．‎ 因为|PA|==，‎ ‎|PQ|= ，‎ 所以．‎ 令，‎ 因为，‎ 所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，‎ 因此当k=时，取得最大值．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．‎ ‎21.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.‎ ‎（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.‎ 附注：‎ 参考数据：，，‎ ‎，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数 ‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y关于t的回归方程，然后预测．‎ 试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得 ‎，，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，‎ ‎.‎ 所以，关于的回归方程为：.‎ 将2016年对应的代入回归方程得：.‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. ‎ ‎【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．‎ ‎【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性．‎ ‎22.已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且.‎ ‎（1）讨论的单调性 ‎（2）求实数和a的值 ‎（3）证明 ‎【答案】（1）在区间单调递增；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，在定义域内，再次求导，可得在区间上恒成立，从而可得结论；（2）由，可得，由可得，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知在区间单调递增，可证明，取，可得，而，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.‎ ‎【详解】（1）由已知可得函数的定义域为，且，‎ 令，则有，由，可得，‎ 可知当x变化时，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎，即，可得在区间单调递增；‎ ‎（2）由已知可得函数的定义域为，且，‎ 由已知得，即，①‎ 由可得，，②‎ 联立①②，消去a，可得，③‎ 令，则，‎ 由（1）知，，故，在区间单调递增，‎ 注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，‎ ‎；‎ ‎（3）证明：由（1）知在区间单调递增，‎ 故当时，，，‎ 可得在区间单调递增，‎ 因此，当时，，即，亦即，‎ 这时，故可得，取，‎ 可得，而，‎ 故 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.‎ ‎ ‎