四川省遂宁市射洪县射洪中学等2020届高三上学期第四次大联考数学（文）试题

四川省遂宁市射洪县射洪中学等2020届高三上学期第四次大联考数学（文）试题

‎2020届高三毕业班第四次大联考数学试题 一、选择题 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算集合，再计算得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 故.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题型.‎ ‎2.为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数z，根据实部与虚部即可判断对应的点所在象限.‎ ‎【详解】1i，在复平面内的对应点位 （1，1），‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，化简复数为1i，是解题的关键．‎ ‎3.下列命题是真命题的是（ ）.‎ A. 命题 B. 命题“若成等比数列，则”的逆命题为真命题 C. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；‎ D. “命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断已知四个命题的真假，可得答案．‎ ‎【详解】A. 命题，则，所以A错误；‎ B. 命题“若成等比数列，则”的逆命题为“若，则成等比数列”是错误的，所以B错误；‎ C. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”是正确的，所以C正确；‎ D. “命题为真”是“命题为真”必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以D错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及含有量词的命题的否定，必要不充分条件的判断，复合命题真假的判断，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大，属于基础题．‎ ‎4.若满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 1 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 可行域如图，则直线过点A（1，0）时取最小值1，选B.‎ ‎5.已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.‎ A. B. 9 C. 5 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】定点为,‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 即时取得最小值.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.‎ ‎6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 执行程序框图：‎ 输入，是 ‎，，;‎ ‎，是，;‎ ‎，是，;‎ ‎，否，输出.‎ 故选D.‎ ‎7.函数图象的大致形状是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数在内正负情况，即可排除所有错误选项.‎ ‎【详解】‎ 则，是偶函数，排除B、D.‎ 当时，即，排除A.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】解复杂函数的图像问题，一般采取排除法.利用单调性，奇偶性，极值，以及函数值的正负进行判断.‎ ‎8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据三视图作出原几何体（四棱锥）的直观图如下：‎ 可计算，故该几何体的最大边长为.‎ 点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎9.已知函数，若在上随机取一个实数，则的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得到x＞0，再利用几何概型概率公式求解.‎ ‎【详解】由题得 所以x≥0，‎ 由几何概型的概率公式得的概率为.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为,则的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设三个角分别为，，，由正弦定理可得，利用两角和差 的正弦公式化为，利用单调性求出它的值域．‎ ‎【详解】钝角三角形三内角、、的度数成等差数列，则，，‎ 可设三个角分别为，，．‎ 故．‎ 又，．‎ 令，且，‎ 则 因为函数在，上是增函数，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式，利用单调性求函数的值域，得到，是解题的关键和难点．‎ ‎11.椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，F1A与y轴相交于点D，若BD⊥F1A，则椭圆C的离心率等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，的坐标，且知点为的中点，再由，利用斜率之积等于列式求解．‎ ‎【详解】由题意可得，，，‎ 则点为的中点，，‎ 由，得，‎ 即，整理得，‎ ‎，‎ ‎∴‎ 解得．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．‎ ‎12.已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.‎ ‎【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 二、填空题 ‎13.曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求处的导数，再根据切线公式求切线方程.‎ ‎【详解】解析：，在点（1，1）处的切线斜率为，所以切线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.‎ ‎14.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 抛物线的准线为，与圆相切，则，．‎ ‎15.已知三棱锥满足平面平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定球心就是的外心，再利用正弦定理得到，计算表面积得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以的外心为斜边的中点，‎ 因为平面平面，所以三棱锥的外接球球心在平面上，‎ 即球心就是的外心，根据正弦定理，解得，‎ 所以外接球的表面积为.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心为的外心是解题的关键.‎ ‎16.的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，有下列结论：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③，时，的面积为；‎ ‎④当时，为钝角三角形.‎ 其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】，∴，‎ 故可设，，，.，∴，‎ 则，当时，，故钝角三角形.‎ 面，‎ 又，∴.‎ ‎，∴，即，∴.当，时，的面积为，故四个结论中，只有③不正确.填①②④．‎ ‎【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧．‎ 三、解答题 ‎17.某校共有学生2000人，其中男生1100人，女生900人为了调查该校学生每周平均课外阅读时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均课外阅读时间（单位：小时）‎ ‎（1）应抽查男生与女生各多少人？‎ ‎（2）如图，根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均课外阅读时间的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为.若在样本数据中有38名女学生平均每周课外阅读时间超过2小时，请完成每周平均课外阅读时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”.‎ 男生 女生 总计 每周平均课外阅读时间不超过2小时 每周平均课外阅读时间超过2小时 总计 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）男生人数人，女生人数：‎ 人（2）填表详见解析,有95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关.”‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由男女生比例以及分层抽样特征，即可求解；（2）由频率分布直方图可得到学生平均每周课外阅读时间超过2小时 ‎【详解】（1）男生人数：女生人数=1100：900=11：9‎ 所以，男生人数人 女生人数：人.‎ ‎（2）由频率分布直方图可得到学生平均每周课外阅读时间超过2小时的人数为：‎ 人，‎ 所以，平均每周课外阅读时间超过2小时的男生人数为37人.‎ 可得每周课外阅读时间与性别的列联表为 男生 女生 总计 每周平均阅读时间不超过2小时 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 每周平均阅读时间超过2小时 ‎37‎ ‎38‎ ‎75‎ 总计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关.”‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样方法以及独立性检验的基本思想和应用，意在考查学生的计算能力．‎ ‎18.已知是等差数列，是等比数列，且，，，. ‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知求得等比数列的公比，进一步求出首项，则等比数列的通项公式可求，再求得等差数列的首项与公差，可得等差数列的通项公式；（2）直接利用数列的分组求和求解．‎ ‎【详解】（1），‎ ‎∴即 ‎，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和的求法，考查了分组求和的应用，是基础的计算题．‎ ‎19.的内角，，的对边分别为，，，已知 ‎（1）求角；‎ ‎（2）若是边的中点，.求的长；‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）或7；‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）首先根据正弦定理边角互化，得到，由，代入化简，最后得到求角；（2）首先在中，根据余弦定理求，然后在中再利用余弦定理求边.‎ ‎【详解】（1），‎ 由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2）在中，由余弦定理得 ‎ ‎ ‎，‎ 或，‎ 当时，‎ 中，由余弦定理得 ‎，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或 ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，一般在含有边和角的等式中，可根据正弦定理的边角互化公式转化为三角函数恒等变形问题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，侧面底面，，，，满足，，底面是直角梯形，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎【答案】（1）证明见解析；‎ ‎（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明线面平行，需证明线线平行，所以在上取点，使得，连结，证明；（2）根据体积转化，，再利用比例关系，，这样.‎ ‎【详解】证明（1）在上取点，使得，连结 ‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，且，‎ 四边形为平行四边形 ‎ ‎ 又平面，平面，‎ 平面.‎ ‎（2）平面平面，‎ ‎，平面平面，‎ 平面，‎ ‎ ‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判断定理，以及几何体的体积，意在考查转化与推理能力，和计算能力，证明线面平行的方法：1.一般可根据判定定理证明线线平行，证明线面平行，2.转化为证明面面平行，可得线面平行.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若，证明:；‎ ‎（2）当时，讨论函数零点的个数.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将a＝0代入函数的表达式，求出，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到最大值是f（1）＜0即可；‎ ‎（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间，得到函数的极值，进而求出函数的零点的个数．‎ ‎【详解】（1）当时,，求导得，‎ 令＞0，解得：0＜x＜1，令＜0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ f（x）最大值＝f（1）＝﹣2+2ln1＝﹣2＜0，∴a＝0时，f（x）＜0；‎ ‎（2）函数，，‎ 当时,由（1）可得函数，没有零点；‎ 当,即时，令得,或,得，‎ 即函数的增区间为,，减区间为，而，‎ 所以当时,；当时，；当时，时，，‎ 所以函数在区间没有零点,在区间有一个零点；‎ 当,即时,恒成立，即函数在上递增，‎ 而，时，，所以函数在区间有一个零点；‎ 当,即时,令得,或,，得；‎ 即函数的增区间为,,减区间为，‎ 因为,所以，又时，，‎ 根据函数单调性可得函数在区间没有零点,在区间有一个零点.‎ 综上：当时,没有零点；当时，有一个零点.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、零点问题，考查导数的应用，分类讨论的思想，属于中档题．‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点 为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）:,:（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，化简得到，利用韦达定理计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程为（其中为参数），消去可得；‎ 由，得，则曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，得，‎ 设对应的参数分别为，则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.‎ ‎23.已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法化简为分段函数的形式，由此解不等式，求得不等式的解集.‎ ‎（2）根据（1）的结论可知当时，，将不等式的解集包含的问题，转化为在上恒成立来解决，利用二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1），当时，．‎ ‎，或或，‎ 或或，， ‎ ‎∴不等式的解集为；‎ ‎（2）由（1）知，当时，．‎ ‎∵不等式的解集包含，‎ 在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∴，，‎ ‎∴的取值范围为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎ ‎