2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019 学年内蒙古赤峰市高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 1．在数列{ }中，若 ， ，则 = A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解析】根据递推关系依次求对应项. 【详解】 因为 ， ，所以 ，所以 .选 B. 【点睛】 本题考查由递推关系求项，考查基本求解能力，属基础题. 2．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A= ，a=3，b=2，则 sinB= A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直接根据正弦定理即可求出． 【详解】 A ，a＝3，b＝2， 由正弦定理可得 ，则 sinB ， 故选：A． 【点睛】 本题考查了正弦定理，考查了运算能力，属于基础题． 3．不等式 的解集为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解一元二次不等式即得结果. 【详解】 3 π 3 3 1 3 1 2 3 2 3 π= a b sinA sinB = 32 32 3 3 bsinA a × = = = 因为 ，所以 ，解得 .选 D. 【点睛】 本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题. 4．若 ， ，则 与 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作差后因式分解，即可判断大小. 【详解】 因为 ， ， 所以 ，即 ,选 A. 【点睛】 本题考查作差法比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题. 5．记等差数列{ }的前 n 项和为 ，若 ， ，则 = A．34 B．35 C．68 D．70 【答案】B 【解析】由题意可得 进而可得 ，而 ，代入即可得 答案． 【详解】 ，又 故 ，得 ， 则 = 故选:B 【点睛】 本题考查等差数列的性质和求和公式，熟记公式准确计算是关键，属基础题． 6．ΔABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b=acosC，则△ABC 是 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理结合两角和的正弦公式求解即可 【详解】 na nS 32 5a = 4 12 9a a+ = 10S 4 12 9a a+ = 82 9a = 10S ( )3 810 2 a a+= 3 5 2a = 4 12 9a a+ = 82 9a = 8 9 2a = 10S ( )3 810 352 a a+ = 由正弦定理得 ，得 ， 故 则△ABC 是直角三角形 故选：C 【点睛】 本题考查正弦定理，两角和的正弦，三角形内角和定理，熟记公式是关键，是基础题 7．设 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ） A．-5 B．-1 C．5 D．11 【答案】A 【解析】作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果. 【详解】 作出可行域，当直线 经过点 时， .选 A. 【点睛】 本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 8．若对任意的正数 a，b 满足 ，则 的最小值为 A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【解析】利用“1”的代换结合基本不等式求最值即可 【详解】 ∵两个正数 a，b 满足 即 a+3b=1 sin sin cos sin( )B A C A C= = + cos sin 0A C = sin 0C ¹ cos 0, 2A A p= = 3 1 0a b+ − = 3 1 a b + 3 1 0a b+ − = 则 = 当且仅当 时取 等号． 故选：C 【点睛】 本题考查了基本不等式求最值，巧用“1”的代换是关键，属于基础题． 9．在正项等比数列{ }中， ，则 = A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】根据对数运算法则以及等比数列性质求解. 【详解】 因为 ， 所以 . 选 D. 【点睛】 本题考查对数运算法则以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．ΔABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有 两解的是 A．a=2，b=3，A=30° B．b=6，c=4，A=120° C．a=4 ，b=6，A=60° D．a=3，b=6，A=30° 【答案】A 【解析】由正弦定理和三角形的内角和定理，以及三角函数的图象与性质，即可判断三 角形解的个数． 【详解】 对于 A，a=2，b=3，A=30°， ∴由正弦定理 得：sinB＝ ，∴此三角形有 2 解； 对于 B，b=6，c=4，A=120°， 由余弦定理得 a=2 ,此三角形有 1 解； 对于 C，a=4 ，b=6，A=60°， 3 1 a b + ( )3 1 93 6 6 2 9 12b aa ba b a b  + + = + + ≥ + =   1 1,2 6a b= = 3 2 3 30sin sinB =° 3 1 4 2 > 19 3 由正弦定理 得 ，该三角形只有 1 解； 对于 D，a=3，b=6，A=30°， 由正弦定理 得 sinB＝1，∴B＝90°，此三角形只有 1 解 故选：A． 【点睛】 本题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理的应用问题， 是中档题． 11．等比数列{ }的前 n 项和为 ，若 则 = A．10 B．20 C．20 或-10 D．-20 或 10 【答案】B 【解析】由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20 成等比数列即（S20﹣S10）2＝ S10•（S30﹣S20），代入可求． 【详解】 由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20 成等比数列，且公比为 ∴（S20﹣S10）2＝S10•（S30﹣S20）即 解 =20 或-10（舍去） 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了等比数列的性质（若 Sn 为等比数列的前 n 项和，且 Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k 不为 0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用 12．在 中， ， 为 边上的一点，且 ，若 为 的角平分线， 则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据正弦定理用角 A,C 表示 ，再根据三角形内角关系化基本三角函 数形状，最后根据正弦函数性质得结果. 【详解】 4 3 6 60sin sinB =° 3 3 4 2sinB = < 3 6 30sin sinB =° na nS 10 3010, 30,S S= = 20S 10q ( ) ( )2 20 2010 10 30S S− = − 20S 因为 ， 为 的角平分线，所以 ， 在 中， ，因为 ，所以 ， 在 中， ，因为 ，所以 ，所以 ， 则 , 因为 ，所以 , 所以 ，则 ， 即 的取值范围为 .选 A. 【点睛】 本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中 档题. 二、填空题 13．在等差数列 ， ， ，则公差 ______． 【答案】3 【解析】根据等差数列公差性质列式得结果. 【详解】 因为 ， ，所以 . 【点睛】 本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．若 ，则 的最小值为______． 【答案】8 【解析】根据基本不等式求最值. 【详解】 因为 ，所以 , 当且仅当 时取等号,即 的最小值为 8. 【点睛】 本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．若数列{ }的前 n 项和为 ，则 =___________。 【答案】8 【解析】通过 Sn 与 的关系计算可得． 【详解】 = 故答案为 8 【点睛】 本题考查数列的前 n 项和与通项公式的关系，注意解题方法的积累，属于基础题． 16．如图，为测量某山峰的高度（即 的长），选择与 在同一水平面上的 为观 测点.在 处测得山顶 的仰角为 ，在 B 处测得山顶 的仰角为 .若 米， ，则山峰的高为__________米. 【答案】 【解析】设出 OP，分别在直角三角形 AOP 和直角三角形 BDP 中，求得 OA，OB，进 而在△AOB 中，由余弦定理求得山峰的高度． 【详解】 设 OP＝h，在等腰直角△AOP 中，得 OA＝OP= ． 在直角△BOP 中，得 OP＝OBtan60°得 OB＝ h 在△AOB 中，由余弦定理得 ， 得 h＝ （米）．则山峰的高为 m． 故答案为： ． na 2 2 3n nS n= − + 3 4+a a na 3 4+a a 4 2 11 3 8S S− = − = OP O ,A B A P °45 P 60° 30AB = 30AOB∠ = ° 30 3 h 3 3 ( ) 2 2 23 330 2 303 3h h h h cos    = + − ⋅ ⋅ °          30 3 30 3 30 3 【点睛】 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能 力． 三、解答题 17．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 。 (1)求 C； (2)若△ABC 的面积为 8，a=4，求 b 的值。 【答案】(1) ；(2)b=8 【解析】（1）利用正弦定理，将 csinA＝acosC 转化为 ，可 得 ，从而可得角 C 的大小；(2)利用面积公式直接求解 b 即可 【详解】 （1）由正弦定理得 ， 因为 所以 sinA＞0，从而 ，即 ，又 ， 所以 ； (2)由 得 b=8 【点睛】 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦定理的应用，面积公式的应用，考查化 归思想属于中档题． 18．已知函数 . (1)当 m=-4 时，解不等式 ； (2)若 m>0， 的解集为(b，a)，求 的最大値. 【答案】(1) [ 4,1]；(2)-3 【解析】（1）当 m＝﹣4 时，不等式 f（x）≤0，即为 x2+3x﹣4≤0，可得：（x﹣4） （x+1）≤0，解出即可得出．(2)由二次函数的根与不等式的关系得 a+b=-3,ab=m>0,结合 基本不等式求最值即可 【详解】 （1）当 m＝﹣4 时，不等式 f（x）≤0，即为 x2+3x﹣4≤0，可得：（x+4）（x﹣1）≤0， cos 3 sina C c A= 6C π= 3 3sinCsinA sinAcosC= 3 3tanC = 3sinCsinA sinAcosC= 0 2A π＜ ＜ 3sinC cosC= 3 3tanC = 0 2C π＜ ＜ 6C π= 1 sin 82S ab C= = 2( ) 3f x x x m= + + ( ) 0f x ≤ ( ) 0f x ＜ 1 4 a b + - 即不等式 f（x）≤0 的解集为[﹣4,1]． (2)由题 的根即为 a,b,故 a+b=-3,ab=m>0，故 a,b 同负， 则 = 当且仅当 等号成立 【点睛】 本题考查了“三个二次”之间的关系、一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．设数列{ }的前 n 项和为 ，且 。 (1)求{ }的通项公式； (2)若 ，求数列{ }的前 n 项和 。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据和项与通项关系求解即可，（2）先化简 ，再根据裂项相消法求和. 【详解】 （1）因为 ，所以 ， 所以 ，即 . 因为 ，所以 ，所以 . 则数列 是以首项为 3，公比为 3 的等比数列，故 . （2）因为 ， 所以 【点睛】 本题考查由和项求通项以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 20．某市准备建一个如图所示的综合性休闲广场，已知矩形广场的总面积为 2000 平方 米，其中阴影部分为通道，通道的宽为 1 米，中间的两个小矩形完全相同. ( ) 0f x = 1 4 a b + 1 1 4 1 4 1( ) 5 (5 2 4) 33 3 3 a ba ba b b a    − + + = − + + ≤ − + = −       2,1 −=−= ba （1）用矩形的宽 （米）表示中间的三个矩形的总面积 （平方米）的函数关系式，并 给出定义域； （2）当矩形的宽为何值时， 取得最大值，并求出最大值. 【答案】（1）见解析；（2） 时， 取得最大值 1805 平方米. 【解析】（1）根据条件表示各个矩形长与宽，再根据面积公式得结果，最后根据实际意 义求定义域，（2）根据基本不等式求最值. 【详解】 （1）因为矩形广场的总面积为 2000 平方米，所以 ，即 . 因为 ，所以 ， 则 . （2） ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，此时， 取得最大值 1805 平方米. 【点睛】 本题考查函数解析式与基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 21．已知等比数列{ }前 n 项和为 ， 且 。 (1)求数列{ )的通项公式； (2)求数列{ }的前 n 项和 。 【答案】(1) (2) Tn 【解析】（1）由 等比数列通项和求和公式计算得 q,即可求得 an．（2）cn＝nan＝n•2n﹣1， 利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出． 【详解】 （1）由题知 ， 故 （2）cn＝nan＝n•2n﹣1，故 na nS 1 1a = 12 aaS nn −= na nna nT 12n na -= = ( )1 2 1nn − + 1q ≠ 11 2 1, 21 n nq q qq -- = - =- 12n na -= ∴数列{cn}的前 n 项和 Tn＝1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1， 2Tn＝1×21+2×22+3×33+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n， ∴﹣Tn＝ ， ∴Tn 【点睛】 本题考查了递推公式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22．在锐角 中，内角 A,B,C 的对边分别为 且 （1）求角 A； (2)若 的面积为 ，求实数 的范围。 【答案】（1） ； （2） . 【解析】（1）由正弦定理和两角差的正弦公式求得 ，得 A 可求；(2)由面积公式得 ，进而得 由三角形内角和表示为 C 的 函数求解即可 【详解】 （1）因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ，又 A 为锐角， ； (2)因为 ，所以 ， 所以 ，又 ， 所以 ，所以 ，所以 ，故 < 【点睛】 本题考查正弦定理及三角恒等变换，同角三角函数基本关系，熟记公式及定理，准确计 算是关键，是中档题 1 2 21 2 n nn − − ⋅− = ( )1 2 1nn − +