2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第12讲空间直线平面的位置关系练习

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第12讲空间直线平面的位置关系练习

第12讲　空间直线、平面的位置关系 ‎　 [考情分析]　在选择、填空题中，空间线面位置关系的考查，主要以线线、线面位置关系的判断、异面直线所成的角、点到平面距离的计算为主，难度中等偏下，近年，对点到平面距离的计算的考查有所增多，难度有所提升．‎ 热点题型分析 热点1　空间线面位置关系的判断 ‎1.空间中直线、平面之间的位置关系 空间线面位置关系 ‎2.线面平行的判定及其性质定理 ‎①线面平行判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；‎ ‎②线面平行性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；‎ ‎③面面平行判定定理：a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，a∩b＝P⇒α∥β；‎ ‎④面面平行性质及线面平行定义：a⊂α，α∥β⇒a∥β；‎ ‎⑤面面平行性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.‎ ‎3.线面垂直的判定及其性质定理 ‎①线面垂直判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α；‎ ‎②线面垂直性质：a⊂α，l⊥α⇒l⊥a；‎ ‎③面面垂直判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β；‎ ‎④面面垂直性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β；‎ ‎⑤线面垂直性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.‎ - 19 -‎ ‎1.已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：‎ ‎①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.‎ 其中正确的命题是(　　)‎ A.①④ B．③④ C．①② D．①③‎ 答案　A 解析　对于①，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又l⊂β，所以m⊥l，故①正确，排除B；对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.‎ ‎2.(2019·华南师大附中高三一模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是线段BC上的动点，F是线段CD1上的动点，且E，F不重合，则直线AB1与直线EF的位置关系是(　　)‎ A.相交且垂直 B．共面 C.平行 D．异面且垂直 答案　D 解析　根据题意作图，如图，连接A1B交AB1于M，易证AB1⊥平面A1BCD1.在E，F运动过程中，EF⊂平面A1BCD1，因此AB1⊥EF.而EF恒不过点M，因此AB1与EF是异面垂直的，故选D.‎ ‎3.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)‎ A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH - 19 -‎ C.HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF 答案　B 解析　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，得AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.‎ 命题真假性的判断，是立体几何位置关系题型的经典形式．这种考查方式直接检验对定理的掌握程度，常出现的错误是按照给出的条件结论作图分析，不能全面考虑空间中的各种线面位置关系．要解答好这类题目，可以从下面三点考虑：‎ ‎(1)必须牢固掌握定理的内容，条件的个数，结论是什么．‎ ‎(2)要学会在文字、符号、图形三种语言之间熟练转换．将题目中所给出的已知条件，转化为图形进行分析；同时，借助空间几何模型(如从长方体，四面体等)，观察线面位置关系，再结合有关定理进行判断．如第2题利用正方体中线面进行分析，有利于从多角度考查符合条件的前提下，可以有何种结论．‎ ‎(3)当从正面入手较难时，也可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.‎ 热点2　线线、线面角和距离的计算 ‎1．异面直线成角：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(夹角)．如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a⊥b，其范围是：.‎ ‎2.线面成角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．规定：直线垂直于平面，它们所成的角是直角；直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是零度角．因此，线与面所成角的范围是：.注意：线面成角是斜线与平面内直线所成的所有角中的最小角．‎ - 19 -‎ ‎3.点面距：空间中点到面的垂线段长．常利用三棱锥体积转换的方法，进行点到面距离的计算．‎ ‎1.(2019·永州模拟)三棱锥A－BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　如图，连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO，∵M是AD的中点，∴MO∥AN，‎ ‎∴∠BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角．设三棱锥A－BCD的所有棱长为2，则AN＝BM＝DN＝＝，则MO＝AN＝＝NO＝DN，‎ 则BO＝＝＝.‎ 在△BMO中，由余弦定理得 cos∠BMO＝＝＝，‎ ‎∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为.‎ ‎2.(2019·湖北八校一联)已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1，延长AD，过D1作D1E⊥AD的延长线于E，连接 - 19 -‎ BE，BD，BD1，因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，所以D1E⊥平面ABCD，即BE为BD1在平面ABCD内的射影，所以∠D1BE为直线BD1与平面ABCD所成的角，因为D1E＝2sin60°＝，BE＝＝，所以tan∠D1BE＝＝.故选C.‎ ‎3.(2019·牡丹江模拟)已知三棱锥P－ABC的外接球O，PC为球O的直径，且PC＝2，PA＝PB＝，AB＝1，那么顶点P到平面ABC的距离为________．‎ 答案　 解析　如图，∵PC是球O的直径，∴∠PAC和∠PBC都是直角，由PC＝2，PA＝PB＝，可得AC＝BC＝AB＝1.‎ ‎∵点O为PC的中点，∴BO＝AO＝1，故三棱锥O－ABC为正三棱锥，则点O到平面ABC的距离 d＝＝.‎ ‎∴顶点P到平面ABC的距离为2d＝.‎ 选择、填空题中，考查角度问题，常常涉及各类角的基本定义和性质，而错误常出现在不能准确找出线线、线面所成的角．因此，准确找出线线、线面角，并牢记它们的范围是解决此类问题的关键．对于距离问题，三棱锥体积转化是一个重要方法．做题时还可以根据已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求解.‎ - 19 -‎ 真题自检感悟 ‎1.(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)‎ 答案　A 解析　A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．‎ B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，‎ ‎∴AB∥MQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.‎ C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，‎ ‎∴AB∥MQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.‎ D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，‎ - 19 -‎ ‎∴AB∥NQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，‎ ‎∴AB∥平面MNQ.故选A.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)‎ A.8 B．6 C．8 D．8 答案　C 解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，因为AB＝2，＝tan30°，所以BC1＝2，从而求得CC1＝＝2，所以该长方体的体积为V＝2×2×2＝8.故选C.‎ ‎3.(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD∥AB，所以异面直线AE与CD所成的角为∠EAB，设正方体的棱长为2a，‎ 则由E为棱CC1的中点，可得 - 19 -‎ CE＝a，所以BE＝a，‎ 则tan∠EAB＝＝＝.故选C.‎ ‎4.(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)‎ A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面 答案　B 解析　若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.‎ ‎5．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)‎ A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 - 19 -‎ 答案　B 解析　如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.‎ ‎∵△ECD是正三角形，‎ ‎∴EF⊥CD.‎ ‎∵平面ECD⊥平面ABCD，‎ ‎∴EF⊥平面ABCD.‎ ‎∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝，∴EN＝＝2.‎ ‎∵EM＝MD，DG＝GF，‎ ‎∴MG∥EF且MG＝EF，‎ ‎∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝EF＝，BG＝＝ ＝，‎ ‎∴BM＝＝.∴BM≠EN.连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且BN＝DN，∴BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B.‎ ‎6.(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：‎ ‎①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.‎ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.‎ 答案　若m∥α且l⊥α，则l⊥m成立(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α)‎ 解析　已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.‎ ‎7.(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．‎ 答案　 解析　如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥‎ - 19 -‎ AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.‎ 又PE＝PF＝，所以OE＝OF，‎ 所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.‎ 在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，‎ 所以OE＝1，‎ 所以PO＝＝ ＝.‎ 专题作业 一、选择题 ‎1.设l表示直线，α，β表示平面．给出四个结论：‎ ‎①如果l∥α，则α内有无数条直线与l平行；②如果l∥α，则α内任意的直线与l平行；③如果α∥β，则α内任意的直线与β平行；④如果α∥β，对于α内的一条确定的直线a，在β内仅有唯一的直线与a平行．‎ 以上四个结论中，正确结论的个数为(　　)‎ A.0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　C 解析　若l∥α，则平面α内的直线与l平行或异面，故①正确，②错误；再由面面平行的性质知③正确；对于④，在β内有无数条直线与a平行，错误．故选C.‎ ‎2.(2019·荆州模拟)对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(　　)‎ A.若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ B.若m∥α，n⊂α，则m∥n C.若m∥α，n⊥α，则m∥n ‎ D.若m⊥α，n⊥α，则m∥n 答案　D 解析　对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确.‎ - 19 -‎ ‎3．(2019·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　如图，连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D.‎ ‎4.(2019·宿迁模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为(　　)‎ A.1 B. C．2 D．2 答案　B 解析　如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，‎ - 19 -‎ ‎∴AC⊥平面BDD1B1.∴点C到平面BDD1B1的距离为CO，又AB＝2，∴CO＝AC＝.故选B.‎ ‎5.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　如右图，取A1C1和AC的中点E，F，连接EF，取EF上一点P使得PF＝BD＝3，连接DP，BF，AP.因为ABC－A1B1C1为正三棱柱，所以AA1⊥面ABC，△ABC是等边三角形．所以AA1⊥BF，BF⊥AC，因此BF⊥面AA1C1C.知EF∥AA1又EF＝AA1，所以BD∥PF，又BD＝PF，所以四边形BDPF是平行四边形，故DP∥BF.所以DP⊥面AA1C1C，即AP是AD在面AA1C1C内的射影，所以∠DAP是AD与面AA1C1C所成角．又因为AB＝4，所以DP＝BF＝2，AD＝5，则AP＝，所以tan∠DAP＝＝.故选D.‎ ‎6.(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)‎ A.A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC - 19 -‎ 答案　C 解析　如图，连接AE，A1E，D1E，B1C，BC1，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错误；‎ ‎∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错误．故选C.‎ ‎7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则(　　)‎ A.MN∥C1D1 B．MN⊥BC1‎ C.MN⊥平面ACD1 D．MN⊥平面ACC1‎ 答案　D 解析　对于选项A，因为M，N分别是BC1，CD1的中点，所以点N∈平面CDD1C1，点M∉平面CDD1C1，所以直线MN是平面CDD1C1的斜线，又因为直线C1D1在平面CDD1C1内，故直线MN与直线C1D1不可能平行，故选项A错误；对于选项B，正方体中易知NB≠NC1，因为点M是BC1的中点，所以直线MN 与直线BC1不垂直，故选项B错误；对于选项C，假设MN⊥平面ACD1，可得MN⊥CD1.因为N是CD1的中点，所以MC＝MD1，这与MC≠MD1矛盾．故假设不成立．所以选项C错误；对于选项D，分别取B1C1，C1D1的中点P，Q，连接PM，QN，PQ.因为点M是BC1的中点，所以PM∥CC1且PM＝CC1.同理QN∥CC1且QN＝CC1.所以PM∥QN且PM＝QN，所以四边形PQNM为平行四边形，所以PQ∥MN.在正方体中，CC1⊥PQ，PQ⊥AC，因为AC∩CC1＝C，AC⊂平面ACC1，CC1⊂平面ACC1，所以PQ⊥平面ACC1.因为PQ∥MN，所以MN⊥平面ACC1.故选D.‎ ‎8.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝，所以B1D - 19 -‎ ‎1＝.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，所以cosθ＝＝＝.故选C.‎ ‎9.(2019·永州模拟)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则点A1到平面AB1D1的距离是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　在△AB1D1中，‎ ‎∵AB1＝AD1＝，B1D1＝，‎ ‎∴△AB1D1的边B1D1上的高为 ＝.‎ ‎∴S△AB1D1＝××＝.‎ 设点A1到平面AB1D1的距离为h，则 VA1－AB1D1＝··h＝.‎ - 19 -‎ 又VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1＝S△A1B1D1·AA1＝××1×1×2＝，∴＝.解得h＝.故选A.‎ ‎10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上．点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上，若EF＝1，DP＝x，AE＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积(　　)‎ A.与x，y都有关 B．与x，y都无关 C.与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关 答案　C 解析　三棱锥P－EFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和△EFQ的面积有关，因为平面EFQ与平面CDA1B1是同一个平面，所以点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离，且该距离就是P到线段DA1的距离，此距离只与x有关．因为EF＝1，点Q到EF的距离为线段B1C的长度，为定值．综上可知，三棱锥P－EFQ的体积只与x有关.‎ ‎11. (2019·石家庄一模)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的图象是(　　)‎ - 19 -‎ 答案　C 解析　过点M作MN⊥AB，交AB于点N，则MN⊥平面ABCD，过点N作NQ∥AD，交CD于点Q，过点Q作QH∥PD，交PC于点H，连接MH，则平面MNQH是所作的平面α，由题意得＝，解得MN＝4－2x，由＝.即＝，解得QH＝(2－x)，‎ 过点H作HE⊥NQ，在Rt△HEQ中，EQ＝＝2－x，‎ ‎∴NE＝2－(2－x)＝x，∴MH＝x.‎ ‎∴y＝f(x)＝ ‎＝－x2＋4(0

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