河北省保定一中2020届高三上学期阶段测试数学（文）试题

河北省保定一中2020届高三上学期阶段测试数学（文）试题

保定一中2019-2020学年第一学期高三年级第二次阶段考试 文科数学试卷 说明：‎ ‎1.本试卷有选择题和非选择题两部分构成，其中选择题60分，非选择题90分，总分150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎3.考试过程中考生答题必须使用0.5毫米黑色水笔作答，答案必须写在指定的答题区域，在其它区域作答无效.‎ 第Ⅰ卷选择题（60分）‎ 一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）‎ ‎1.设集合.则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解二个不等式，化简集合，先求出,最后求出.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，因此，‎ 所以，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，正确解不等式是解题的关键.‎ ‎2.复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）．‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 复数，其在复平面上对应的点为，该点位于第二象限．‎ 故选．‎ 点晴:本题重点考查复数基本运算和复数的概念.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为 ‎3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断每一个函数的奇偶性和单调性得解.‎ ‎【详解】A. ,是奇函数不是偶函数，所以该选项错误；‎ B. ,所以函数是偶函数，由于函数在区间上是增函数，所以函数在区间上单调递增，所以该选项是正确的；‎ C. 不是偶函数，所以该选项是错误的；‎ D. ，所以函数是偶函数，由于函数在区间上是增函数，在上是减函数，所以函数在上是减函数，所以该选项错误.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4.已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性定义可判断出为奇函数，且可判断出在上单调递增；利用奇偶性将变为；比较自变量之间的大小关系，根据单调性可得函数值之间的大小关系，从而得到结果.‎ ‎【详解】由题意知：定义域为：，且 为定义在上的奇函数 当时，单调递增 且 ‎ 即：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性比较大小的问题，关键是能够通过函数性质将问题转化为自变量之间的比较.‎ ‎5.不等式组的解集为D,有下面四个命题：‎ ‎，，‎ ‎，‎ 其中的真命题是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域，如图所示，设，则，当直线过点时，取到最小值，，故的取值范围为，所以正确的命题是，选B．‎ ‎【考点定位】1、线性规划；2、存在量词和全称量词．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依次循环为 ； ； ；；结束循环，输出 ，选C.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎7.函数的图象大致为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.‎ ‎8.设函数．若为奇函数，则曲线在点 处的切线方程为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.‎ 详解：因为函数是奇函数，所以，解得，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 化简可得，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.‎ ‎9.已知在各项为正数的等比数列中，与的等比中项为8，则取最小值时，首项（ ）‎ A. 8 B. ‎4 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，可得，由基本不等式和等比数列的通项公式可得结果.‎ ‎【详解】∵，设公比为，‎ ‎∴‎ 当且仅当，即时取等号，此时，故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有等比数列的性质，利用基本不等式求最值，属于简单题目.‎ ‎10.已知，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用平面向量数量积的坐标表示公式，结合，可以求出，结合，根据同角三角函数的关系式，可以求出，最后利用两角和的正切公式求出的值.‎ ‎【详解】，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角和的正切公式，考查了数学运算能力.‎ ‎11.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 6 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数的性质得出点的坐标，将点的方程代入直线方程得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可得出的最小值.‎ ‎【详解】令，得，则，函数的图象恒过点，点在直线上，可得，‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查指数型函数过定点问题，解题的关键在于根据已知条件得出定值条件，并对代数式进行合理配凑与变形，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12.已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得出函数图象关于点成中心对称以及函数 的周期为，由函数为奇函数得出，并由周期性得出 ‎，然后作出函数与函数的图象，列举前个交点的横坐标，结合第个交点的横坐标得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】由可知函数的图象关于点成中心对称，‎ 且，所以，，‎ 所以，函数的周期为，‎ 由于函数为奇函数，则，则，‎ 作出函数与函数的图象如下图所示：‎ ‎，则，‎ 于是得出，，‎ 由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为、、、、、、、、、，第个交点的横坐标为，‎ 因此，实数的取值范围是，故选：A。‎ ‎【点睛】本题考查方程的根与函数的零点个数问题，一般这类问题转化为两个函数图象的交点个数问题，在画函数的图象时，要注意函数的奇偶性、对称性、周期性对函数图象的影响，属于难题。‎ 第Ⅱ卷非选择题（90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用绝对值三角不等式求得的最大值为，解不等式，即可得结果 ‎【详解】，‎ 要使恒成立，‎ 则，或，‎ 即或，‎ 实数的取值范围是.故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.‎ ‎14.已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则           ___.‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（-2）（3+4）‎ ‎=‎ 其中=1，==11=，，‎ 原式=31-2—81=-6‎ ‎15.已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则面积的最大值为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由已知，即得，‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为，根据二次函数和分式的单调性可求得在上的最小值和最大值及在上的最大值；分别讨论最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】不等式恒成立可转化为：‎ 当时，，‎ 当时，‎ ‎①若，即时，‎ ‎，解得：（舍）‎ ‎②若，即时，‎ 又，‎ 当，即时，‎ ‎，解得：（舍）‎ 当，即时，‎ ‎，解得： ‎ ‎③若，即时，‎ ‎，解得：（舍）‎ 综上所述：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.）‎ ‎17.已知函数，(其中，，)的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.‎ ‎（1）求函数的解析式.‎ ‎（2）写出函数的单调递增区间.‎ ‎（3）当时，求的值域.‎ ‎【答案】（1）（2），.（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数的图像求出,即得函数的解析式；（2）令，，解不等式即得函数的单调递增区间；（3）利用三角函数的图像和不等式的性质逐步求出三角函数的值域得解.‎ ‎【详解】（1）解：∵与轴的相邻两个交点之间的距离为 ‎∴∴‎ ‎∵图象上一个最低点为 ‎∴，，‎ ‎∴.‎ 所以.‎ ‎（2）令，‎ 得 ‎∴的单调递增区间为，.‎ ‎（3）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的单调区间和值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.已知分别为的三内角A，B，C的对边，其面积，在等差数列中，，公差．数列的前n项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，解得a＝b＝c＝2，由等差数列的通项公式可得an＝2n；再由数列的通项与前n和的关系，可得数列{bn}为等比数列，求得bn；‎ ‎（2）由（1）得，由此利用错位相减求和法能求出Tn．‎ ‎【详解】（1）SacsinBac•，∴ac＝4，‎ 又，＝，‎ ‎∴，∴b＝2，‎ 从而＝⇒∴,‎ 故可得：，∴＝2+2（n﹣1）＝2n；‎ ‎∵，∴当n＝1时，，‎ 当n≥2时，，‎ 两式相减，得，（n≥2）‎ ‎∴数列{}为等比数列，‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴＝• +•+…+•‎ ‎＝1×21+2×21+3×21+…+，‎ ‎∴2＝1×22+2×23+3×24+…+n2n+1，‎ ‎∴﹣＝1×21+（22+23+…+2n）﹣n2n+1， ‎ 即：﹣＝（1-n）2n+1-2，‎ ‎∴＝（n﹣1）2n+1+2.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，涉及三角形的余弦定理和面积公式的运用，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用，属于中档题．‎ ‎19.定义：已知函数在上的最小值为，若恒成立，则称函数在上具有“”性质．‎ ‎（）判断函数在上是否具有“”性质？说明理由．‎ ‎（）若在上具有“”性质，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）具有（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据二次函数性质求最小值，再根据定义判断是否具有“”性质，（2）先根据对称轴与定义区间位置关系求函数最小值，再根据定义列不等式，解不等式可得的取值范围．‎ 试题解析：（）∵，，‎ 对称轴，开口向上，‎ 当时，取得最小值为，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在上具有“”性质．‎ ‎（），，‎ 其图象的对称轴方程为．‎ ‎①当，即时，．‎ 若函数具有“”性质，则有总成立，即．‎ ‎②当，即时，‎ ‎．‎ 若函数具有“”性质，则有总成立，解得无解．‎ ‎③当，即时，，‎ 若函数具有“”性质，‎ 则有，解得无解．‎ 综上所述，若在上具有“”性质，则．‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）当a为何值时，x轴为曲线的切线；‎ ‎（2）设函数，讨论在区间（0，1）上零点的个数．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得的导数，设切点为，可得，解方程可得所求值；（2）求的解析式和导数，讨论当时，当时，当时，结合函数的单调性和函数零点存在定理，即可得到所求零点个数．‎ ‎【详解】（1）的导数为，‎ 设切点为，可得，‎ 即，‎ 解得；‎ ‎（2），‎ 当时，，在（0，1）递增，可得 ‎，，有一个零点；‎ 当时，，在（0，1）递减，，‎ 在（0，1）无零点；‎ 当时，在（0，）递增，在（，1）递减，‎ 可得在（0，1）的最大值为，‎ ‎①若＜0，即，在（0，1）无零点；‎ ‎②若=0，即，在（0，1）有一个零点；‎ ‎③若＞0，即，‎ 当时，在（0，1）有两个零点；‎ 当时，在（0，1）有一个零点；‎ 综上可得，a＜时，在（0，1）无零点；‎ 当a=或a≥时，在（0，1）有一个零点；‎ 当＜a＜时，在（0，1）有两个零点．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值极值以及函数的零点问题，考查导数的几何意义的应用，考查分类讨论思想方法和运算能力，综合性较强．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设，记，证明：.‎ ‎【答案】(1) 或 (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分类讨论分别求解出在各个区间内的解集，取并集得到结果；（2）根据已知得到，利用绝对值三角不等式得到，通过求解的最值，求得.‎ ‎【详解】（1） ‎ 不等式即为，即 上述不等式同解于，即①，或，即②，或，即③， ‎ 由①②③得不等式的解集为或 ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在区间上是增函数 ‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、利用绝对值三角不等式证明不等式的问题，关键是能够利用三角不等式得到，从而通过求解函数最值得到结果.‎ ‎22.已知函数，其中无理数.‎ ‎（Ⅰ）若函数有两个极值点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数的极值点有三个，最小的记为，最大的记为，若的最大值为，求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）先对函数求导，构造，则函数有两个极值点等价于 有两个不等的正实根，对函数求导，然后对和进行讨论，可得函数的单调性，结合，即可求得的取值范围；（Ⅱ）对函数求导，由有三个极值点，则有三个零点，1为一个零点，其他两个则为的零点，结合（Ⅰ），可得的两个零点即为的最小和最大极值点，，即，令，由题知，则，令，利用导数研究函数的单调性，从而可求得的最小值即的最小值.‎ 详解：（Ⅰ），‎ 令，，‎ ‎∵有两个极值点 ‎∴ 有两个不等的正实根 ‎∵‎ ‎∴当时，，在上单调递增，不符合题意．‎ 当时，当时，，当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增．‎ 又∵，当→时，→‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎∵有三个极值点 ‎∴有三个零点，1为一个零点，其他两个则为的零点，由（Ⅰ）知.‎ ‎∵‎ ‎∴的两个零点即为的最小和最大极值点，，即.‎ ‎∴‎ 令，由题知.‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ 令，，则，令，则．‎ ‎∴在上单调递增 ‎∴‎ ‎∴在上单调递减 ‎∴‎ 故最小值为．‎ 点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用以及分类讨论思想，转化与化归思想，逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求得曲线的切线方程及参数的值；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用．‎