2011年数学文（天津）高考试题

2011年数学文（天津）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（文史类）‎ ‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。‎ ‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎ 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎ 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件A，B互斥，那么 棱柱的体积公式 ‎ 其中S表示棱柱的底面面积。‎ ‎ 表示棱柱的高。‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．是虚数单位，复数=‎ ‎ A． 　　　 B． 　　‎ ‎　 C． 　　 D．‎ ‎2．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为 ‎ A．-4　　　　 　　 B．‎0 ‎ ‎ ‎ C．　　　　 D．4‎ ‎3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为-4，则输出的值为 ‎ A．,0．5 B．‎1 ‎‎ ‎ ‎ ‎ C．2 D．4‎ ‎4．设集合，，‎ ‎ 则“”是“”的 ‎ A．充分而不必要条件　　　　 　　 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件 ‎5．已知则 ‎ A．　　　 B． C．　 D．‎ ‎6．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数，其中的最小正周期为，且当时，取得最大值，则 （ ）‎ ‎ A．在区间上是增函数 B．在区间上是增函数 ‎ C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 ‎8．对实数，定义运算“”：设函数。若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．[-2，-1]‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎ 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。‎ ‎ 2．本卷共12小题，共110分。‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．已知集合为整数集，则集合中所有元素的和等于________‎ ‎10．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________‎ ‎11．已知为等差数列，为其前项和，，‎ ‎ 若则的值为_______‎ ‎12．已知，则的最小值为__________‎ ‎13．如图已知圆中两条弦与相交于点，是延长 ‎ 线上一点，且 ‎ 若与圆相切，则的长为__________‎ ‎14．已知直角梯形中，//,,,‎ ‎ 是腰上的动点，则的最小值为____________‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ ‎ 编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：‎ 运动员编号 得分 ‎15‎ ‎35‎ ‎21‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎18‎ ‎34‎ 运动员编号 得分 ‎17‎ ‎26‎ ‎25‎ ‎33‎ ‎22‎ ‎12‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；‎ 区间 人数 ‎（Ⅱ）从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，‎ ‎（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）求这2人得分之和大于50的概率．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 在△中，内角的对边分别为，已知 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）的值．‎ ‎17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为 ‎ 平行四边形，，，为中点，‎ ‎ 平面，，‎ ‎ 为中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：//平面；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2。点满足 ‎ （Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎ （Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程。‎ ‎19．（本小题满分14分）已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知数列满足 ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）设，证明是等比数列；‎ ‎ （Ⅲ）设为的前项和，证明 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分。‎ ‎1—4ADCC 5—8BBAB 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分。‎ ‎9．3 10．4 11．110 12．18 13． 14．5‎ 三、解答题 ‎（15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分13分。‎ ‎ （Ⅰ）解：4，6，6‎ ‎ （Ⅱ）（i）解：得分在区间内的运动员编号为从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：，‎ ‎ ，共15种。‎ ‎ （ii）解：“从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于‎50”‎（记为事件B）的所有可能结果有：，共5种。‎ ‎ 所以 ‎（16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13分。‎ ‎ （Ⅰ）解：由 ‎ 所以 ‎ （Ⅱ）解：因为，所以 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。‎ ‎ （Ⅰ）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO。因为平面ACM，‎ 平面ACM，所以PB//平面ACM。‎ ‎ （Ⅱ）证明：因为，且AD=AC=1，所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC。‎ ‎ （Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，AN，因为M为PD的中点，所以MN//PO，且平面ABCD，得平面ABCD，所以是直线AM与平面ABCD所成的角，在中，，所以，从而，‎ ‎ 在，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为 ‎（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。‎ ‎ （Ⅰ）解：设，因为，‎ ‎ 所以，整理得（舍）‎ ‎ 或 ‎ （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线FF2的方程为 ‎ A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得。解得，得方程组的解 ‎ 不妨设，，‎ ‎ 所以 ‎ 于是 ‎ 圆心到直线PF2的距离 ‎ 因为，所以 ‎ 整理得，得（舍），或 ‎ 所以椭圆方程为 ‎（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。‎ ‎ （Ⅰ）解：当时，‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ （Ⅱ）解：，令，解得 ‎ 因为，以下分两种情况讨论：‎ ‎ （1）若变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。‎ ‎ （2）若，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 ‎ （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：‎ ‎ （1）当时，在（0，1）内单调递减，‎ ‎ ‎ ‎ 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎ （2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若 ‎ ‎ ‎ 所以内存在零点。‎ ‎ 若 ‎ ‎ ‎ 所以内存在零点。‎ ‎ 所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎ 综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎（20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。‎ ‎ （Ⅰ）解：由，可得 ‎ 又，‎ ‎ 当 ‎ 当 ‎ （Ⅱ）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ②-①，得 ‎ 所以是等比数列。‎ ‎ （Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故对任意 ‎ 由①得 ‎ 因此，‎ ‎ 于是，‎ ‎ 故