2017-2018学年河南省豫北重点中学高二12月联考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河南省豫北重点中学高二12月联考数学（文）试题（解析版）

河南省豫北重点中学2017-2018学年高二12月联考数学（文）试卷 一、单选题 ‎1．已知数列中，则等于（ ）‎ A. 2 B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】数列为等差数列，公差为-1，所以 ，选D.‎ ‎2．命题： 的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题： 的否定是，选B.‎ ‎3．若函数的导函数是，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，选A.‎ ‎4．在中，内角所对的边分别为，已知， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理得 ‎ 选B.‎ ‎5．已知点是拋物线上一点，且到拋物线焦点的距离是 到原点的距离的，则等于（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由抛物线定义得 ，选B.‎ ‎6．关于的不等式组则的最大值是（ ）‎ A. 3 B. 5 C. 7 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】作可行域，如图，则直线过点A（1,3）取最大值7,选C.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎7．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ， ‎ 由题意得 或，解得 或，选D.‎ ‎8．已知等差数列的前项和为，若，则数列的前 项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得 ‎ ‎ ‎ 所以数列的前项和为 ，选A.‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎9．若曲线在处的切线方程为，则（ ）‎ A. 1 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，选D.‎ ‎10．设是双曲线的一个焦点，若点的坐标为，线段的中点在上，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得线段的中点为 ，所以 ，选B.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎11．已知点是椭圆上的点， 是椭圆的左、右两个顶点，则的面积为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，选D.‎ ‎12．已知数列的前项和为， ，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ，选A.‎ 点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.‎ ‎②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.‎ ‎③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件 二、填空题 ‎13．函数的单调增区间为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，即单调增区间为 ‎14．设，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】 ，当且仅当时取等号 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎15．若等比数列的各项都是正数，且，则__________．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】 ‎ 所以 ‎16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点， 是坐标原点.若的面积为，则__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】设 ， ‎ ‎ ‎ 因为的面积为，所以 ‎ 从而 ‎ 三、解答题 ‎17．已知:方程表示双曲线； :方程表示焦点在轴上的椭圆.若为真命题， 为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先根据方程为双曲线以及椭圆条件得为真命题时实数的取值范围.再根据为真命题， 为假命题，得与 ‎—真一假，最后根据补集求命题为假时实数的取值范围，再解对应不等式组得实数的取值范围.‎ 试题解析： 为真命题时， ，‎ 为真命题时， ， 或，‎ ‎∵为真命题， 为假命题，∴与—真一假，‎ 当真， 假时， ，当假， 真时， 或，‎ ‎∴.‎ ‎18．已知分别为三个内角的对边， .‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的周长的最大值.‎ ‎【答案】(1) ；(2)15.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理得将边角关系转化为角的关系，再根据两角和公式以及配角公式解得角；（2）由余弦定理得，再利用基本不等式得，即得的周长的最大值.‎ 试题解析：（1）由已知及正弦定理得，‎ ‎∴，‎ 化简并整理得，即，‎ ‎∴，从而.‎ ‎（2）由余弦定理得，∴，‎ 又，∴，‎ 即，∴，从而，‎ ‎∴的周长的最大值为15.‎ ‎19．设双曲线的方程为.‎ ‎（1）求的实轴长、虚轴长及焦距；‎ ‎（2）若抛物线的焦点为双曲线的右顶点，且直线与抛物线交于两点，若 (为坐标原点），求的值.‎ ‎【答案】(1)实轴长，虚轴长，焦距.(2)12.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆方程可得a,b,c，即得实轴长、虚轴长及焦距；（2）先求p，再根据以及对称性得A,B在直线上，代入抛物线方程可得 的值.‎ 试题解析：（1）∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴的实轴长，虚轴长，焦距.‎ ‎（2）∵的右顶点为，‎ ‎∴，∴， 的方程为.‎ 当时， ，∴可设，‎ ‎∵，∴，∵，∴.‎ ‎20．在等差数列中， ，数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）求数列的前项和为.‎ ‎【答案】(1) .. (2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由条件列关于首项与公差的方程组，解得，再代入等差数列通项公式；由和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义得（2）根据错位相减法得前项和，注意作差时项的符号，求和时项的个数，最后要除以1-q 试题解析：（1）∵∴∴.‎ 当时， ，∴.‎ 当时， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴是首项为4，公比为4的等比数列，∴. ‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，以短轴的一个端点与两个焦点为顶点的三角形面积为，过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相较于两点，线段的中点为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点垂直于的直线与轴交于点，求的值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由离心率以及三角形面积得方程组，解得（2）先根据直线方程与椭圆方程联立方程组，解得的中点，再根据点斜式得过点垂直于的直线，即得与轴交点，最后根据，得的值.‎ 试题解析：（1）设焦距为，则 解得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设过椭圆的右焦点的直线的方程为，‎ 将其代入中得， ，‎ 设，则，‎ ‎∴，‎ ‎∵为线段的中点，∴点的坐标为，‎ 又直线的斜率为，‎ 直线的方程为，‎ 令得， ，由点的坐标为，‎ 则，解得.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据二次函数图像讨论根的情况。进而确定导函数符号变化规律，确定单调性（2）化简不等式，并分离变量得，利用导数研究函数单调性，进而确定函数最值，即得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）定义域为， ，‎ 当即时， ，‎ 当， 时， ‎ ‎，‎ 当时， ，‎ 或时， ， 时， ，‎ ‎∴当时， 的单调减区间为，‎ 当时， 的单调减区间为与，‎ 的单调增区间为. ‎ ‎（2）， ， ，‎ 令，‎ 令，则，‎ ‎∴时， ， 时， ，‎ ‎∴在上是减函数，在上是减函数，∴，‎ ‎∴且时， 时， ，‎ ‎∴，∴，即.‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎