2018-2019学年四川省阆中中学高一（仁智班）下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年四川省阆中中学高一（仁智班）下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省阆中中学高一（仁智班）下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设全集且则( )‎ A． B．(2,3) C． D．(-1,4)‎ ‎【答案】C ‎【解析】解不等式分别求出集合，然后再求出即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，‎ ‎∴=，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算，解题的关键是正确求出集合，属于基础题．‎ ‎2．下列函数中，最小正周期为的是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：依次求出各函数周期即得结论．‎ 详解：A中周期为，B中函数周期为．‎ 故选B．‎ 点睛：函数或的周期是，的周期是．‎ ‎3．函数,则的最大值和最小值分别为( )‎ A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．10,7‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别求出函数 在定义域的每个区间上的取值范围，比较后可得函数的最大值和最小值．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，当时，；当时，．‎ 所以函数的最大值为10，最小值为6．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数最值的求法，解题时注意分段函数是一个函数，所以最值只有一个，解题时可分别求出函数在每个区间上的取值范围，比较各范围的端点值后可得最值；也可画出函数的图象，根据图象得到最值．‎ ‎4．下列说法正确的是（ ）‎ A．在内sin x>cos x B．函数y＝2sin的图象的一条对称轴是x＝π C．函数y＝的最大值为π D．函数y＝sin 2x的图象可以由函数y＝sin的图象向右平移个单位得到 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：A错；B错；C正确；正确答案是左移D错，故选B.‎ ‎【考点】三角函数的图象与性质.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中等难题.本题虽然难度不大，但是考查的知识点较多，不细心容易犯错.选项A要结合函数图象求解正确率会较高；选项B可以用代入检验法避免繁杂的计算；选项C通过构造法逐步限制范围，速度较快；选项D要分清平移的先后顺序，才不会犯错.‎ ‎5．中,,的平分线交边于,已知,且,则的长为（　　）‎ A．1 B． C． D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ A B C D E F 如图：，作。则AEDF是菱形；所以 故。所以 ‎。。故选C ‎6．给出以下结论，其中正确结论的个数为( )‎ ‎①函数的零点为，则函数的图象经过点时，函数值一定变号.‎ ‎②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.‎ ‎③函数在区间上连续，若满足，则方程在区间上一定有实根.‎ ‎④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效.‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的零点是函数图象与轴交点的横坐标，来判定①②是否正确；根据函数的零点存在定理，即函数在区间上连续，若满足，则函数在上存在零点，来判断③④是否正确．‎ ‎【详解】‎ 对于①，当函数的零点为不变号零点时，则函数的图象经过点时，函数值不变号，所以①不正确．‎ 对于②，当函数的图象不连续（即图象断开），且在相邻的两个零点之间断开时，则在这两个零点间的函数值不一定同号，如正切函数，所以②不正确．‎ 对于③，由零点存在定理可得正确．‎ 对于④，由于“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以④不正确．‎ 综上可得只有③正确．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点的概念，解题的关键是正确理解零点的概念和零点存在定理，属于基础题．‎ ‎7．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】可化为，同理可化为，所以把的图象向左平移个单位，可得到的图像。选A.‎ ‎【点睛】‎ 平移问题：第一步，确定函数图像平移方向；第二步，化同名函数；第三步，按x用x+a代，左加右减，平移。‎ ‎8．在平行四边形中,若，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由平行四边形可得，两边分别平方后相减整理得，进而可得所求角．‎ ‎【详解】‎ 由四边形为平行四边形可得，‎ 两式平方后相减，得，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用平面向量的知识解决平面几何问题，考查利用数量积求夹角，属于基础题．‎ ‎9．已知在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为( )‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】设圆的圆心为，根据向量的加法可得，然后根据向量的三角不等式可得所求最大值．‎ ‎【详解】‎ 设圆的圆心为，由题意得为圆的直径，‎ 所以，‎ 又当为时，取得最大值，‎ 所以的最大值为7．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的运算和向量的三角不等式的应用，考查数形结合思想在解题中的应用，属于基础题．‎ ‎10．若函数与函数的部分图象如图所示,则函数=图象的一条对称轴的方程可以为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为的最大值为,所以,则,将点代入得,又,则 ‎,所以,由得.当时,.故选B.‎ ‎【考点】的图象.‎ ‎11．设是平面直角坐标系中两两不同的四点,若,,且，则称调和分割.已知平面上的点调和分割点，则下列说法正确的是 A．可能线段的中点 B．可能线段的中点 C．可能同时在线段上 D．不可能同时在线段的延长线上 ‎【答案】D ‎【解析】由已知不妨设A(0,0)、B(1,0)、C(c,0)、D(d,0)，‎ 则(c,0)=λ(1,0)，(d,0)=μ(1,0)，‎ ‎∴λ=c，μ=d；‎ 代入 = 2得 = 2；(∗)‎ 若C是线段AB的中点，则c=，代入(∗)得，d不存在，‎ ‎∴C不可能是线段AB的中点，A错误；同理B错误；‎ 若C，D同时在线段AB上，则0⩽c⩽1，0⩽d⩽1，代入(∗)得，c=d=1，‎ 此时C和D点重合，与已知矛盾，∴C错误.‎ 若C，D同时在线段AB的延长线上时，则λ>1.μ>1，‎ ‎，这与矛盾，‎ 所以C、D不可能同时在线段AB的延长线上.‎ 故选D.‎ ‎12．已知函数和在的图象如图所示：‎ ‎ ‎ 给出下列四个命题：‎ ‎(1)方程有且仅有6个根；‎ ‎(2)方程有且仅有3个根；‎ ‎(3)方程有且仅有5个根；‎ ‎(4)方程有且仅有4个根．‎ 其中正确命题的个数是( )‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【答案】B ‎【解析】把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．通过可知函数有3个解，有2个解，然后具体分析①②③④，进而可得出正确的结论．‎ ‎【详解】‎ 由图象可得．‎ 对于（1），由于满足方程的有三个不同值，一个值在−2与−1之间，一个值为0，一个值在1到2之间，由的图象可得每个值对应了2个值，故满足的值有6个，即方程有且仅有6个根，故（1）正确．‎ 对于（2），由图可得满足的有两个，一个值处于−2与−1之间，由的图象可得此时对应一个值；另一个值处于0与1之间，由的图象可得此时对应三个值，因此该方程有且仅有4个根．故（2）不正确．‎ 对于（3），由于满足方程的有3个不同的值，从图中可知一个等于0，一个，一个．而当对应了3个不同的值；当时，只对应一个值；当时，也只对应一个值．故满足方程的值共有5个，故（3）正确．‎ 对于（4），由于满足方程的值有2个，而结合图象可得每个值对应2个不同的值，故满足方程的值有4个，即方程有且仅有4个根，故（4）正确．‎ 综上得（1）（3）（4）正确．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的对应问题，解题时注意外层函数的定义域和内层函数值域的对接，同时解题时要注意数形结合思想方法的运用，考查识图、用图能力，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13．若，且，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据，得到，解不等式组可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ 由，可得，‎ 所以，即，即，‎ 解得或．‎ 所以实数的取值范围为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦函数的值域和分式不等式的解法，注意解分式不等式时可转化为不等式组求解，考查转化和计算能力，属于基础题．‎ ‎14．三内角为，若关于x的方程有一根为1，则的形状是_____.‎ ‎【答案】等腰三角形 ‎【解析】试题分析：根据题意可得，又由于,因此有，化简整理可以得到：，即，是三角形内角，因此 ‎【考点】1．余弦的倍角公式；2．余弦的两角和与差公式；3．三角形的性质；‎ ‎15．若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.‎ ‎【考点】对数函数的性质及函数的值域.‎ ‎【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围.‎ ‎16．对于函数给出下列四个命题：‎ ‎①该函数的图象关于对称；‎ ‎②当且仅当时．该函数取得最大值1；‎ ‎③该函数是以为最小正周期的周期函数；‎ ‎④当时，．‎ 其中正确的是______．(填上所有正确命题的序号)‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】画出函数的图象，然后根据图象对给出的四个命题进行分析、判断后可得正确的命题．‎ ‎【详解】‎ 在同一坐标系中画出与的图象（如图），则的图象为图中实线所表示的曲线．‎ 由图象可得的图象关于直线对称，故①正确；‎ 由于当或时，该函数都取得最大值，故②不正确；‎ 由图象可得，该函数的最小正周期为，故③不正确；‎ 由图象得，当时，，故④正确．‎ 综上可得命题①④正确．‎ 故答案为：①④‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的性质，解题的关键是正确画出函数的图象，然后根据图象进行判断，考查作图、识图、用图的能力，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．计算下列各式.‎ ‎(1)求的值.‎ ‎(2)已知，且，求的值 ‎【答案】（1）1；2）.‎ ‎【解析】（1）将写成，然后利用两角差的正弦、余弦公式展开计算即可．‎ ‎（2）由题意先求得，分析条件可得，再根据，确定的取值范围，然后利用两角差的正切公式展开求出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式． ‎ ‎（2）由题意得．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角和与差的正弦公式、余弦公式、正切公式．对于三角变换中的“给值求角”问题，求解的一般步骤为：①求出角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．特别是确定角的范围这一步骤，在解题中容易忽视．‎ ‎18．设函数的定义域为A,集合.‎ ‎(1)若,求;‎ ‎(2)若集合中恰有一个整数,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出的定义域确定出,把代入求出解集确定出,求出即可；（2）根据集合,分或两种情况,根据中恰有一个整数确定出的范围即可.‎ 试题解析：（1） 由， 得：，‎ 解得：,把代入中得：，解得，即，则.‎ ‎（2）当时，，若只有一个整数，则整数只能是,,当时，若只有一个整数，则整数只能是，综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【考点】函数的性质，函数的定义域，集合的基本运算.‎ ‎19．已知.‎ ‎（1）若三点共线，求的关系；‎ ‎（2）若,求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）a+b=2；（2）(5,-3).‎ ‎【解析】（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，．‎ ‎（1）∵三点共线，‎ ‎∴∥，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎ (2)∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴点的坐标为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．‎ ‎20．已知数列满足=‎ ‎(1)若求数列的通项公式;‎ ‎(2)若==对一切恒成立求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1）=；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，结合可得数列为等差数列，进而可得所求；（2）由得，利用累加法并结合等比数列的前项和公式求出，化简得，再利用数列的单调性求出的最大值即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，可得=．‎ ‎∴数列是首项为1，公差为4的等差数列，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由及，‎ 得=，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 又满足上式，‎ ‎∴．‎ ‎∵对一切恒成立，即对一切恒成立，‎ ‎∴对一切恒成立．‎ 又数列为单调递减数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，考查了累加法与恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力，解决数列中的恒成立问题时，也常利用分离参数的方法，转化为求最值的问题求解．‎ ‎21．在分别是角A、B、C的对边，，且．‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】(1)由，得 ，结合正弦定理即可得出角B的大小；‎ ‎(2)由（1）可得，从而，化简整理，由三角函数的图像和性质即可求出其取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 由，得 ‎ 由正弦定理得：，‎ ‎,又 ‎ 又,又,； ‎ ‎(2)∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴，∴．‎ 故的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像和性质，以及正弦定理的应用等，属于基础题型.‎ ‎22．已知二次函数=,(为常数,且)满足条件=,且方程有两个相等的实根．‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)设=,若=,求在上的最小值;‎ ‎(3)是否存在实数,使的定义域和值域分别为与,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）f（x）=-x2+x（2）F（x）min=（3）‎ ‎【解析】（1）结合一元二次函数的图形特征，列出 与△=0；（2）根据对称轴与区间的关系来分类讨论； （3）观察图形知 ⇒；f（x）在[m，n]上单调递增⇒‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知f（x）=ax2+bx关于x=对称 ‎∴-=‎ ax2+bx=x有两个相等的实根，∴△=0 ‎ ‎∴   ‎ 所以，f（x）=-x2+x；‎ ‎（2）F（x）=kx+1+x2-x=x2+（k-1）x+1‎ F（x）的对称轴为：x=-‎ ‎①当-≤1时，F（x）min=F（1）≤k+1‎ ‎②当1＜-≤2时，‎ ‎③当-＞2时，F（x）min=F（2）=2k+3‎ ‎∴F（x）min=‎ ‎（3）f（x）=‎ ‎∴2n⇒n ‎∴f（x）在[m，n]上单调递增 ‎∴⇒‎ ‎∵m＜n ∴‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次函数的性质，分类讨论区间与对称轴的关系，属中等题．‎