2017-2018学年江苏省宿迁市高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

2017-2018学年江苏省宿迁市高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 江苏省宿迁市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．已知复数z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是纯虚数（i为虚数单位），则实数m的值为_______．‎ ‎【答案】-1.‎ ‎【解析】分析：由复数的实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值.‎ 详解：由复数是纯虚数，‎ 得，解得.‎ 故答案为：-1.‎ 点睛：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件.‎ ‎2．已知点，，则__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】分析：运用向量坐标的求法以及向量的模长公式即可.‎ 详解：点，，‎ ‎ ，‎ ‎.‎ 故答案为：5.‎ 点睛：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．‎ ‎3．若，则的值为__________．‎ ‎【答案】4或9‎ ‎【解析】分析：根据组合数公式的性质，得到关于x的方程解得即可.‎ 详解：由组合数公式的性质，，‎ 可得或，‎ 解得或.‎ 故答案为：4或9.‎ 点睛：本题主要考查了组合数公式的性质.‎ ‎4．已知随机变量服从二项分布，那么方差的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：随机变量服从二项分布，那么，即可求得答案.‎ 详解：随机变量服从二项分布，那么，‎ 即.‎ 故答案为：.‎ 点睛：求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．‎ ‎5．三个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是，并且各人猜对与否相互独立，那么他们同时猜对的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：直接求即可.‎ 详解：三个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是，‎ 故他们同时猜对的概率是.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式.‎ ‎6．已知矩阵，则矩阵的逆矩阵为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：直接计算即可.‎ 详解：矩阵，‎ 矩阵的逆矩阵.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查了逆矩阵，注意解题方法的积累.‎ ‎7．若从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则至少选出1名女生的概率为_______（结果用分数表示）．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则所有可能结果共有种，设事件A“所选2人都是男生”，则A事件“所选2人都是男生”包含的基本事件个数有种，即可求出A事件的概率，从而利用即可.‎ 详解：从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则所有可能结果共有种，‎ 设事件A“所选2人都是男生”，‎ 则A事件“所选2人都是男生”包含的基本事件个数有种，‎ ‎ ，‎ 故至少选出1名女生的概率为.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用.‎ ‎8．在极坐标系中，已知到直线：，的距离为2，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：可化为，利用点到直线：，的距离为2，求出m的值.‎ 详解：可化为，‎ 点到直线：，的距离为2，‎ ‎，‎ 又 ，‎ ‎.‎ 故答案为：1.‎ 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．‎ 使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎9．设向量，，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】168‎ ‎【解析】分析：因为，我们可以设，然后根据数乘向量相等的充要条件，我们可以构造方程组，解方程组，再利用向量数量积的坐标运算即可得到答案.‎ 详解： ，‎ 设，‎ 又 ，，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得，‎ ‎ .‎ 故.‎ 故答案为：168.‎ 点睛：本题考查的知识点是向量平行的充要条件，根据向量平行的充要条件构造方程组是解决此类问题的关键，同时考查了向量数量积的坐标运算.‎ ‎10．圆：在矩阵对应的变换作用下得到了曲线，曲线的矩阵对应的变换作用下得到了曲线，则曲线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 详解：，‎ 设为曲线上任意一点，是圆：上与P对应的点，，得，，‎ 是圆上的点，‎ ‎ 的方程为，即.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查了几种特殊的矩阵变换，体现了方程的数学思想.‎ ‎11．若的二项展开式中的第3项的二项式系数为15，则的展开式中含项的系数为__________．‎ ‎【答案】160‎ ‎【解析】分析：根据题意，结合二项式定理可得，再利用二项式通项公式即可.‎ 详解：由二项式定理，的二项展开式中的第3项的二项式系数为，‎ 有，解得.‎ 则有，当时，得，‎ ‎ 的展开式中含项的系数为160.‎ 故答案为：160.‎ 点睛：本题考查二项式系数的性质，要注意区分某一项的系数与某一项的二项式系数的区别.‎ ‎12．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的方法共有__________种（用数字作答）．‎ ‎【答案】84‎ ‎【解析】分析：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，分到其余两个盒子里，即可得到答案.‎ 详解：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，‎ 故有.‎ 故答案为：84.‎ 点睛：本题考查的是排列、组合的实际应用，考查了计数原理，注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.‎ ‎13．对于自然数方幂和 ，，，求和方法如下：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎，‎ 将上面各式左右两边分别相加，就会有，解得，类比以上过程可以求得，且与无关，则的值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：利用类比法先求出，再求，从而得到答案.‎ 详解：利用类比法：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎，‎ 将上面各式左右两边分别相加，就会有，解得；‎ 继续使用类比法：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎，‎ 将上面各式左右两边分别相加，就会有，解得，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛：类比推理应用的类型及相应方法 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．‎ ‎(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；‎ ‎(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；‎ ‎(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．‎ ‎14．化简 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用二项式逆定理即可.‎ 详解：‎ ‎ （展开式实部）‎ ‎（展开式实部）‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查二项式定理的逆应用，考查推理论证能力.‎ 评卷人 得分 二、解答题 ‎15．已知复数，i为虚数单位．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若复数z满足，求的最大值．‎ ‎【答案】(1) ‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）化简复数即可；‎ ‎（2）设，则则复数对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，复数对应点，所以即可先求点到圆心的距离再减去半径即可.‎ 详解：（1） ‎ ‎（2）设，因为，所以 ‎ 在复平面中，复数对应点，‎ 复数对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；‎ 因为AO=,所以的最大值为．‎ 点睛：与复数几何意义、模有关的解题技巧 ‎(1)只要把复数z＝a＋bi(a，b∈R)与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．‎ ‎(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质．‎ ‎16．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：．‎ ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线l被曲线C截得线段的长．‎ ‎【答案】(1) ；.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）直线的参数方程为：（为参数），消去参数t即可；曲线的极坐标方程为：，利用互化公式即可；‎ ‎（2）几何法求弦长即可.‎ 详解：（1）直线的普通方程为，曲线的普通方程为;‎ ‎（2）曲线表示以为圆心，2为半径的圆，‎ 圆心到直线的距离，‎ 故直线被曲线截得的线段长为．‎ 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．‎ 使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎17．已知矩阵，向量.‎ ‎（1）求的特征值、和特征向量、；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1) 当时，解得,当时，解得;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；‎ ‎（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值为3和-1，然后根据特征向量线性表示出向量，利用矩阵的乘法法则求出，从而即可求出答案.‎ 详解（1）矩阵的特征多项式为，‎ 令，解得，， ‎ 当时，解得；‎ 当时，解得. ‎ ‎(2)令，得，求得. ‎ 所以 ‎ 点睛：考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算，会求矩阵的特征值和特征向量.‎ ‎18．如图，在正四棱柱中，，，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎（1）若，求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）若二面角的大小为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）异面直线与所成角为；（2）与平面所成角的正弦值为；（3）二面角的大小为，的值为.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意可得和的坐标，可得夹角的余弦值；‎ ‎（2）求出平面的法向量，即可求出答案；‎ ‎（3）设，表示出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的大小为，即可求出t.‎ 详解：（1）当时，，，，，，‎ 则，‎ ‎， ‎ 故，‎ 所以异面直线与所成角为． ‎ ‎（2）当时，，，，，，‎ 则，， ‎ 设平面的法向量，‎ 则由得，‎ 不妨取，则， 此时， ‎ 设与平面所成角为，因为，‎ 则，‎ 所以与平面所成角的正弦值为． ‎ ‎（3）由得，，， ‎ 设平面的法向量，‎ 则由得，‎ 不妨取，则， 此时，‎ 又平面的法向量，‎ 故，解得， ‎ 由图形得二面角大于，所以符合题意．‎ 所以二面角的大小为，的值为．‎ 点睛：本题考查空间向量的数量积和模长公式.‎ ‎19．假设某士兵远程射击一个易爆目标，射击一次击中目标的概率为 ‎，三次射中目标或连续两次射中目标，该目标爆炸，停止射击，否则就一直独立地射击至子弹用完．现有5发子弹，设耗用子弹数为随机变量X．‎ ‎（1）若该士兵射击两次，求至少射中一次目标的概率；‎ ‎（2）求随机变量X的概率分布与数学期望E(X)．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)分布列见解析，.‎ ‎【解析】分析：（1）利用对立事件即可求出答案；‎ ‎（2）耗用子弹数的所有可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率即可.‎ 详解：（1）该士兵射击两次，至少射中一次目标的概率为 ‎.‎ ‎（2）耗用子弹数的所有可能取值为2，3，4，5.‎ 当时，表示射击两次，且连续击中目标，； ‎ 当时，表示射击三次，第一次未击中目标，且第二次和第三次连续击中目标，‎ ‎； ‎ 当时，表示射击四次，第二次未击中目标，且第三次和第四次连续击中目标，‎ ‎； ‎ 当时，表示射击五次，均未击中目标，或只击中一次目标，或击中两次目标前四次击中不连续两次或前四次击中一次且第五次击中，或击中三次第五次击中且前四次无连续击中。‎ ‎；‎ 随机变量的数学期望 ‎.‎ 点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题.‎ ‎20．设 ，其中，，与无关.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）试用关于的代数式表示：；‎ ‎（3）设，，试比较与的大小.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ;(3).‎ ‎【解析】分析：（1）由，即可求出p；‎ ‎（2）当时，，两边同乘以，再等式两边对求导，最后令即可；‎ ‎（3）猜测：，利用数学归纳法证明.‎ 详解：（1）由题意知，所以. ‎ ‎（2）当时，，‎ 两边同乘以得：‎ ‎，‎ 等式两边对求导，得：‎ ‎， ‎ 令得：‎ ‎，‎ 即.‎ ‎（3），，‎ 猜测：，‎ 当时，，，，此时不等式成立；‎ ‎②假设时，不等式成立，即：，则时，‎ 所以当时，不等式也成立； ‎ 根据①②可知，，均有.‎ 点睛：利用数学归纳法证明等式时应注意的问题 ‎(1)用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0；‎ ‎(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．‎