2021高考数学大一轮复习考点规范练20三角函数的图象与性质理新人教A版
考点规范练20 三角函数的图象与性质
考点规范练B册第12页
基础巩固
1.函数y=|2sin x|的最小正周期为( )
A.π B.2π C.π2 D.π4
答案:A
解析:由图象(图象略)知T=π.
2.已知直线y=m(0
0)的图象相邻的三个交点依次为A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω=( )
A.π3 B.π4 C.π2 D.π6
答案:A
解析:由题意,得函数f(x)的相邻的两条对称轴分别为x=1+52=3,x=5+72=6,故函数的周期为2×(6-3)=2πω,得ω=π3,故选A.
3.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有fπ6+x=fπ6-x,则fπ6等于( )
A.2或0 B.-2或2 C.0 D.-2或0
答案:B
解析:由fπ6+x=fπ6-x知,函数图象关于x=π6对称,fπ6是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.
4.已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=π4对称 B.关于直线x=π8对称
C.关于点π4,0对称 D.关于点π8,0对称
答案:B
解析:∵函数f(x)的最小正周期为π,∴2πω=π.
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∴ω=2.∴f(x)=sin2x+π4.
∴函数f(x)图象的对称轴为2x+π4=kπ+π2,k∈Z,即x=π8+kπ2,k∈Z.
故函数f(x)的图象关于直线x=π8对称,故选B.
5.(2019河北邢台模拟)函数f(x)=tan2x-π3的单调递增区间是( )
A.kπ2-π12,kπ2+5π12(k∈Z) B.kπ2-π12,kπ2+5π12(k∈Z)
C.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z) D.kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z)
答案:B
解析:由kπ-π2<2x-π3f(0),则f(x)的单调递增区间是( )
A.kπ-π3,kπ+π6(k∈Z) B.kπ,kπ+π2(k∈Z)
C.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z) D.kπ-π2,kπ(k∈Z)
答案:C
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解析:由于f(x)≤fπ6对x∈R恒成立,故fπ6=sinπ3+φ=±1,即π3+φ=π2+kπ(k∈Z),
故φ=π6+kπ(k∈Z).
因为fπ2=-sinφ,f(0)=sinφ,-sinφ>sinφ,所以sinφ<0,所以φ=-5π6+2mπ(m∈Z),
所以f(x)=sin2x-5π6.
令2kπ-π2≤2x-5π6≤2kπ+π2(k∈Z),
得kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).
8.(2019河南漯河高级中学二模)已知函数y=sinπ3x+π6在区间[0,t]上至少取得2次最大值,则正整数t的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案:B
解析:函数y=sinπ3x+π6的周期T=6,当x=0时,y=12,当x=1时,y=1.因为函数y=sinπ3x+π6在区间[0,t]上至少取得2次最大值,所以t-1≥T,即t≥7,所以正整数t的最小值为7,故选B.
9.已知函数f(x)=sin xsin(x+3θ)是奇函数,其中θ∈0,π2,则f(x)的最大值为( )
A.12 B.22 C.1 D.2
答案:A
解析:函数f(x)=sinxsin(x+3θ)是奇函数,
∵y=sinx是奇函数,∴y=sin(x+3θ)是偶函数,
∴3θ=kπ+π2,k∈Z.
∴θ=π6,f(x)=sinxsinx+π2=12sin2x,则f(x)的最大值为12.
10.(2019北京西城期末)若函数f(x)=sin(x+φ)的图象记为曲线C,则“f(0)=f(π)”是“曲线C关于直线x=π2对称”的( )
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:在函数f(x)=sin(x+φ)中,若f(0)=f(π),
则sinφ=sin(π+φ),所以sinφ=0,φ=kπ,k∈Z,所以曲线C关于直线x=π2对称,充分性成立;
若曲线C关于直线x=π2对称,则f(0)=f(π)成立,即必要性成立.所以“f(0)=f(π)”是“曲线C关于直线x=π2对称”的充要条件.故选C.
11.(2019云南昆明高三调研测试)函数f(x)=sin2x-π6的图象上相邻的两个最高点之间的距离为 .
答案:π
解析:函数f(x)的图象上相邻两个最高点之间的距离为函数f(x)的最小正周期,又函数f(x)=sin2x-π6的最小正周期为π,故f(x)的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π.
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为4π,且fπ3=1,则f(x)图象的对称中心是 .
答案:2kπ-2π3,0(k∈Z)
解析:由题意得2πω=4π,解得ω=12,故f(x)=sin12x+φ,
由fπ3=1可得12×π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,由|φ|<π2可得φ=π3,故f(x)=sin12x+π3,
由12x+π3=kπ可得x=2kπ-2π3,k∈Z.
∴f(x)的对称中心为2kπ-2π3,0,k∈Z.
能力提升
13.(2019全国Ⅱ,理9)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是( )
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|
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C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
答案:A
解析:y=|cos2x|的图象为,由图知y=|cos2x|的周期为π2,且在区间π4,π2内单调递增,符合题意;y=|sin2x|的图象为,由图知它的周期为π2,但在区间π4,π2内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cosx,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin|x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.
14.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,且-π2<φ<π2,则函数y=fx+π3为( )
A.奇函数,且在区间0,π4内单调递增
B.偶函数,且在区间0,π2内单调递增
C.偶函数,且在区间0,π2内单调递减
D.奇函数,且在区间0,π4内单调递减
答案:D
解析:因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,所以13π6+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-13π6,k∈Z.又-π2<φ<π2,则φ=-π6,则y=fx+π3=cos2x+π3-π6=cos2x+π2=-sin2x,所以该函数为奇函数,且在区间0,π4内单调递减,故选D.
15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在区间π18,5π36内单调,则ω的最大值为( )
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A.11 B.9 C.7 D.5
答案:B
解析:由题意得-π4ω+φ=k1π,k1∈Z,π4ω+φ=k2π+π2,k2∈Z,
解得φ=k1+k22π+π4,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.
∵|φ|≤π2,∴φ=π4或φ=-π4.
∵f(x)在区间π18,5π36内单调,
∴5π36-π18≤T2,T≥π6,即2πω≥π6,ω≤12.
∵ω>0,∴0<ω≤12.
若φ=π4,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9.
若ω=9,则f(x)=sin9x+π4在区间π18,5π36内单调递减,符合题意.
若φ=-π4,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11.
若ω=11,则f(x)=sin11x-π4在区间π18,3π44内单调递增,在区间3π44,5π36内单调递减,不符合题意.
综上,ω的最大值为9.
16.(2019山东临沂调研)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1ω>0,|φ|≤π2,其图象与直线y=-1相邻两个交点之间的距离为π,若f(x)>1对任意x∈-π12,π3恒成立,则φ的取值范围是( )
A.π12,π6 B.π6,π2 C.π12,π3 D.π6,π3
答案:D
解析:由题意可知,2πω=π,ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.
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因为f(x)>1对任意x∈-π12,π3恒成立,即sin(2x+φ)>0对任意x∈-π12,π3恒成立,所以-π6+φ≥2kπ,2π3+φ≤π+2kπ,k∈Z,所以π6+2kπ≤φ≤π3+2kπ,k∈Z.又|φ|≤π2,所以π6≤φ≤π3.故选D.
高考预测
17.已知函数f(x)=sin2x+π6,其中x∈-π6,a.当a=π3时,f(x)的值域是 ;若f(x)的值域是-12,1,则a的取值范围是 .
答案:-12,1 π6,π2
解析:若-π6≤x≤π3,则-π6≤2x+π6≤5π6,此时-12≤sin2x+π6≤1,即f(x)的值域是-12,1.
若-π6≤x≤a,则-π6≤2x+π6≤2a+π6.
因为当2x+π6=-π6或2x+π6=7π6时,sin2x+π6=-12,
所以要使f(x)的值域是-12,1,则π2≤2a+π6≤7π6,即π3≤2a≤π,所以π6≤a≤π2,
即a的取值范围是π6,π2.
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