2018届二轮复习空间点、线、面的位置关系教学案文学案（全国通用）

2018届二轮复习空间点、线、面的位置关系教学案文学案（全国通用）

专题12 空间点、线、面的位置关系 ‎1.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等．‎ ‎2.以几何体的直观图、三视图为载体，考查考生识图、用图能力和对空间线面位置关系的掌握情况．‎ ‎3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现．‎ ‎1．点、线、面的位置关系 ‎(1)平面的基本性质 名称 图形 文字语言 符号语言 公理1‎ 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 ⇒l⊂α 公理2‎ 过不在一条直线上的三点有且只有一个平面 若A、B、C三点不共线，则A、B、C在同一平面α内且α是唯一的．‎ 公理3‎ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.‎ 平面α与β不重合，若P∈α，且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a ‎(2)平行公理、等角定理 公理4：若a∥c，b∥c，则a∥b.‎ 等角定理：若OA∥O‎1A1，OB∥O1B1，则∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.‎ ‎2．直线、平面的平行与垂直 定理名称 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行的判定定理 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行 ⇒a∥α 线面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b，⇒a∥b 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β且γ∩α＝a且γ∩β＝b⇒a∥b 线面垂直的判定定理 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α 线面垂直的性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 面面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 a⊥α，a⊂β，⇒α⊥β 面面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 α⊥β，b∈β，α∩β＝a，b⊥a⇒b⊥α ‎3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.‎ ‎【误区警示】‎ ‎1．应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件．‎ ‎2．作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图．注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化．‎ ‎3．若a、b、c代表直线或平面，△代表平行或垂直，在形如⇒b△c的命题中，要切实弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的．例如a、b、c中有两个为平面，一条为直线，命题⇒α∥β是成立的.⇒α∥β是不成立的．‎ 考点一　空间线面位置关系的判断 例1、　(1)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)‎ A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l ‎【答案】D ‎【解析】通解：若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B、C.故选D.‎ 优解：构造图形如图所示，知D项正确．‎ ‎ (2)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α ‎【答案】B ‎【解析】通解：对A，m，n还可能异面、相交，故A不正确；对B，由线面垂直的定义可知正确；对C，n还可能在平面α内，故C不正确；对D，n还可能在α内，故D不正确．‎ 优解：在正方体中，找出相应的m、n与面之间的关系，可知B正确．‎ ‎【方法规律】空间线面位置的判定方法 ‎1．借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．‎ ‎2．借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．‎ ‎3．借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．‎ ‎【变式探究】m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题：‎ ‎①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；‎ ‎③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.‎ 其中，所有真命题的序号是________．‎ ‎【答案】①④‎ 考点二　空间平行、垂直关系的证明 例2、(2015·高考全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为菱形，点G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明：平面AEC⊥平面BED.‎ ‎(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．‎ ‎【解析】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，‎ 所以AC⊥BD 因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BE，‎ 又BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.‎ ‎ (2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，‎ 可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.‎ 因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝AC＝x.‎ 由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝＝x.‎ 由已知得，三棱锥EACD的体积 VEACD＝×AC·GD· BE＝x3＝.‎ 故x＝2.‎ 从而可得AE＝EC＝ED＝＝＝.‎ 所以S△EAC＝AE·EC＝××＝3，△EAD的面积与△ECD的面积相等．‎ 在△AED中 ，作EF⊥AD于F，由AE＝ED知F为AD的中点，‎ ‎∴EF＝＝＝ ‎∴S△EAD＝AD·EF＝×2×＝.‎ 故三棱锥EACD的侧面积为3＋2.‎ ‎【方法规律】证明线线平行与线线垂直的方法 ‎1．证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．‎ ‎2．证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.‎ ‎【变式探究】如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE＝2ED.‎ ‎(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；‎ ‎(2)求证：PB∥平面AEC.‎ 证明：(1)因为AD⊥CD，AD∥BC，‎ 所以CD⊥BC，又PB⊥CD，PB∩BC＝B，‎ PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ 所以CD⊥平面PBC，‎ 又CD⊂平面PCD，‎ 所以平面PCD⊥平面PBC.‎ ‎(2)连接BD交AC于点O，连接OE.‎ 因为AD∥BC，‎ 所以△ADO∽△CBO，‎ 所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，‎ 又PE＝2ED，‎ 所以OE∥PB.又OE⊂平面AEC，‎ PB⊄平面AEC，‎ 所以PB∥平面AEC.‎ 考点三　立体几何中的折叠、探索问题 例3、如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如图(2)．‎ ‎(1)求证：DE∥平面A′BC；‎ ‎(2)求证：A′C⊥BE；‎ ‎(3)线段A′D上是否存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE？若存在，求出DF的长；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，又因为DE⊄平面A′BC，所以DE∥平面A′BC.‎ ‎(2)证明：因为∠C＝90°，DE∥BC，所以DE⊥CD，由题意可知，DE⊥A′D，又A′D∩CD＝D，所以DE⊥平面A′CD，所以BC⊥平面A′CD，所以BC⊥A′C，又A′C⊥CD，且CD∩BC＝C，所以A′C⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A′C⊥BE.‎ ‎(3)线段A′D上存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE.‎ 理由如下：因为A′C⊥CD，所以，在Rt△A′CD中，过点C作CF⊥A′D于F，由(2)可知，DE⊥平面A′CD，‎ ‎【变式探究】已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AE＝2EB，AF＝2FC，将△AEF沿EF折起，使A变到A′，使平面A′EF⊥平面EFCB.‎ ‎(1)试在线段A′C上确定一点H，使FH∥平面A′BE.‎ ‎(2)试求三棱锥A′EBC的外接球的半径与三棱锥A′EBC的表面积．‎ 解：(1)AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AF＝2FC，所以EF＝BC＝，在A′C上取点H，使A′H＝2HC，连接HF，再在A′B上取点K，使A′K＝2KB，连接HK，EK，可知，KH∥BC，且KH＝BC，可知KH∥EF，且KH＝EF，所以四边形EFHK为平行四边形，FH∥EK，EK⊂平面A′EB，FH⊄平面A′EB，所以FH∥平面A′EB，故H点为A′C的靠近C点的三等分点．‎ ‎(2)由题意可知，A′E⊥平面EFCB，‎ BC＝4，EB＝1，A′E＝2，‎ A′B＝＝＝，‎ 设三棱锥A′EBC的外接球半径为R，可知(2R)2＝A′E2＋BE2＋BC2，(2R)2＝4＋1＋42＝21，所以R＝.‎ 三棱锥A′EBC的表面积为S＝S△A′BC＋S△A′BE＋S△BEC＋S△A′EC ‎＝×4×＋×1×2＋×4×1＋×2× ‎＝3＋＋2.‎ ‎ 1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)‎ ‎∴AB∥平面MNQ.‎ D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)‎ A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC ‎【答案】C ‎【解析】如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.‎ 又B‎1C⊥BC1，且A1B1∩B‎1C＝B1，‎ 所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.‎ ‎3．(2017·高考全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.‎ ‎(1)证明：AC⊥BD；‎ ‎(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎∴AE＝EC＝2，‎ 在△ABD中，设DE＝x，根据余弦定理cos∠ADB＝＝ ‎＝＝.‎ 解得x＝，∴点E是BD的中点，则VDACE＝VEACE，‎ ‎∴＝1∶1.‎ ‎4.(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.‎ ‎(1)证明：直线BC∥平面PAD；‎ ‎(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积．‎ 为正方形，则CM⊥AD.(5分)‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.(7分)‎ 因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.(8分)‎ 设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x，取CD的中点N，连接PN.‎ 则PN⊥CD，所以PN＝x.‎ 因为△PCD的面积为2，‎ 所以×x×x＝2，解得x＝2或x＝－2(舍去)．(10分)‎ 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.‎ 所以四棱锥PABCD的体积V＝××2＝4.(12分)‎ ‎1．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)‎ A．m∥l　　　　　 B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【答案】C ‎【解析】因为α∩β＝l，所以l⊂β.‎ 因为n⊥β，所以n⊥l.‎ ‎2．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．(2016·北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(导学号 55410121)‎ ‎(1)求证：DC⊥平面PAC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ 证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，‎ 所以PC⊥DC.‎ 又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，‎ 所以CD⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明：因为AB∥CD，CD⊥平面PAC，‎ 所以AB⊥平面PAC，AB⊂平面PAB，‎ 所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)解：棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.‎ 证明如下，取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，‎ 所以EF为△PAB的中位线，‎ 所以EF∥PA.‎ 又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，‎ 所以PA∥平面CEF. ‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求四面体N-BCM的体积．‎ VNBCM＝·S△BCM·＝.‎