2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出集合B，再找出A和B的交集即可.‎ 详解：，‎ 又，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ 点睛：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.‎ ‎2．已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用复数的除法运算化简为的形式，则即可得到答案.‎ 详解：.‎ 则复数的虚部为.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.‎ ‎3．函数的零点所在区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由零点存在性定理判断即可.‎ 详解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由于，得函数在区间内存在零点.‎ 故选：B.‎ 点睛：零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎4．下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：运用奇偶性的单调性的定义和常见函数的性质，逐一分析即可.‎ 详解：对A，在定义域上没有单调性，故A错误；‎ 对B，是偶函数，故B错误；‎ 对C，在R上单调递增，故C错误；‎ 对D，为奇函数且在R上单调递减，故D正确.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，主要考查定义法和运用常见函数的性质，属于基础题和易错题.‎ ‎5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为 A. 1.5尺 B. 2.5尺 C. 3.5尺 D. 4.5尺 ‎【答案】B ‎【解析】设各节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则===85.5，所以=9.5，由题知==31.5，所以=10.5，所以公差=−1，所以==2.5，故选B．‎ ‎6．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边过点， 则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用三角函数的定义求得 结果，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．‎ 详解：由三角函数的定义可得 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎7．已知，为的导函数，则的图像是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，为奇函数，图象关于原点对称，排除，又，可排除，故选A.‎ ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎8．2018年6月18日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设事件 =“取到的两个为同一种馅”，事件=“取到的两个都是腊肉馅”，求出 ，利用，可得结论．‎ 详解：设事件 =“取到的两个为同一种馅”，事件=“取到的两个都是腊肉馅馅”，由题意，， ‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．‎ ‎9．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有( )‎ A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 360种 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由分类计数原理计算可得答案.‎ 详解：发言是甲乙有1,3或2,4两种情况可以选择，甲乙内部进行全排，剩下6人中选2个共有 种方法，所以方法总数为 种.‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查排列组合的综合应用，考查分类计数原理，属中档题.‎ ‎10．已知是球的球面上的四个点，平面，,，则该球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意把扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，然后求出球的表面积 详解：由题意画出几何体的图形如图， 把扩展为三棱柱， 上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，是正三角形， ‎ 所求球的表面积为： ‎ 故答案为：．‎ 点睛：本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．属于中档题．‎ ‎11．在区间上任意取两个实数，则函数在区间上且仅有一个零点的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数在区间上且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．‎ 详解：由题意知本题是一个几何概型， ‎ ‎∴ 是增函数若在有且仅有一个零点，则 ‎，‎ ‎ 即 ，‎ 看作自变量，看作函数 ，由线性规划内容知全部事件的面积为 ，满足条件的面积为，‎ ‎∴概率为 ， 故答案为 点睛：本题是一个几何概型，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎12．下列四个命题中真命题的序号是__________．‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎②命题，命题，则为真命题；‎ ‎③命题“”的否定是“”；‎ ‎④“若，则”的逆命题是真命题.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】分析：对命题逐一分析即可.‎ 详解：对①，，解得或，故“”是“”的充分不必要条件，即①正确；‎ 对②，为真命题，为假命题，则为假命题，即②不正确；‎ 对③，“”的否定是“”，故③正确；‎ 对④，逆命题为若，则，当时不成立，故④不正确.‎ 故答案为：①③.‎ 点睛：本题考查命题的真假判断、充分必要条件的判断、命题的否定及复合命题的真假，属于基础题和易错题.‎ ‎13．多项式的展开式中含的项的系数为__________．（用数字做答）‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】分析：在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于7，求出的值，即可求得展开式中含项的系数．‎ 详解：二项式展开式的通项公式为 ‎ 令 ，求得 ，可得含的项的系数为， 故答案为：10．‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎14．直线与抛物线围成的封闭图形的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：联解方程组，得直线与抛物线交于点A（-3，-6）和B（1，2），因此求出函数3-x2-2x在区间[-3，1]上的定积分值，就等于所求阴影部分的面积，接下来利用积分计算公式和法则进行运算，即可得到本题的答案．‎ 详解：由与，解得或1， ∴x=-3交于点和 ， ∴两图象围成的阴影部分的面积为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为：．‎ 点睛：本题求直线与抛物线围成的阴影部分图形的面积，着重考查了定积分计算公式和定积分的几何意义等知识，属于基础题．‎ ‎15．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（）如下表所示：（残差=真实值-预测值）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ 根据表中数据，得出关于的线性回归方程为：.据此计算出在样本 处的残差为-0.15，则表中的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：据题意计算出在样本处的残差为 可得，则在处 ‎ 由线性回归方程必过样本中心点 ,则 得到关于的方程，解出即可．‎ 详解：据题意计算出在样本处的残差为 可得，则在处 ‎ 由题意可知：产量的平均值为 ‎ 由线性回归方程为过样本中心点， 则 解得： 故答案为：4.5．‎ 点睛：本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程必过样本中心点，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎16．已知函数，若直线与曲线相切，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设切点的横坐标为，求出导函数，利用直线与曲线相切，转化求解切点横坐标以及的值即可．‎ 详解：设切点的横坐标为，‎ ‎ ‎ 则有： ， 令 ‎ 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 又因为，所以 ；‎ 点睛：本题考查利用曲线的切线方程求参数的方法，考查转化思想以及计算能力．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：‎ ‎(1)求直方图中的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数、中位数各是多少（结果保留整数）；‎ ‎(3)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，试计算数据落在上的概率.‎ ‎（参考数据：若，则,）‎ ‎【答案】（1）0.033（2）200（3）0.6827‎ ‎【解析】分析：（1）根据频率分布直方图即可求出的值， （2）根据频率分布直方图即可估计样本数据的众数、中位数；， （3）根据正态分布的定义即可求出答案.‎ 详解：‎ ‎（1）由已知得，‎ 解得； ‎ ‎（2） 众数=； ‎ 由前三组频率之和，‎ 前四组频率之和为，‎ 故中位数位于第四组内，‎ 中位数估计为 ； ‎ ‎（3）因为从而 点睛：本题考查了频率分布直方图的应用和正态分布，属于基础题．‎ ‎18．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面,分别是线段的中点，.‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)设点是线段的中点，求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：（1）取的中点为，连接,证明四边形为平行四边形即可证明平面；‎ ‎（2）以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系. 利用空间向量求出二面角的余弦值.进而得到正弦值.‎ 详解：‎ ‎（1）证明：取的中点为，连接,‎ ‎∵四边形是正方形, 分别是线段 的中点, ‎ ‎,且,‎ ‎∴且,‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴且平面，平面，‎ ‎（2）解：平面，四边形是正方形，‎ 两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系. ‎ 则 ‎. ‎ 设平面的法向量为，‎ 则 得 可取 设平面的法向量为，则 得 可取 ‎ 所以 ‎ 所以二面角的正弦值为. ‎ 点睛：本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎19．随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付.有关部门为了了解各年龄段的人使用手机支付的情况，随机调查了50次商业行为，并把调查结果制成下表：‎ 年龄（岁）‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 手机支付 ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎(1)若把年龄在的人称为中青年，年龄在的人称为中老年，请根据上表完成以下列联表；并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系？‎ 手机支付 未使用手机支付 总计 中青年 中老年 总计 ‎(2)若从年龄在的被调查中随机选取2人进行调查，记选中的2人中，使用手机支付的人数为，求的分布列及数学期望.‎ 参考公式：，其中.‎ 独立性检验临界值表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.005‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）不能（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）根据题意完成列联表，求出，然后进行判断；‎ ‎（2）利用超几何分布可求的分布列及数学期望.‎ 详解：‎ ‎（1）2×2列联表如图所示： ‎ 手机支付 未使用手机支付 总计 ‎ 中青年 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎ 中老年 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎28‎ ‎22‎ ‎50‎ ‎ ‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下不能认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系. ‎ ‎（2）年龄在的被调查者共人，其中使用手机支付的有人，则抽取的人中使用手机支付的人数可能取值为，‎ 则 ；‎ ‎；‎ ‎ ‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ 点睛：本题考查独立性检验的实际应用，考查利用超几何分布可求的分布列及数学期望.属基础题.‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. ‎ ‎【答案】（1）（2）27‎ ‎【解析】分析：（1）由题意知，右焦点即，且，从而求得，的值，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）由（1）知，分当直线的斜率不存在与存在两种情况进行讨论即可.‎ 详解：（1）解：由题意知，右焦点即，且，解得 ‎，所以椭圆方程为 ‎ ‎（2）解：由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，‎ 易知，所以直线 令，可知：,此时. ‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 设，直线直线 令，可知，‎ 联立，消去整理得，‎ ‎∴ ‎ 此时 ‎ ‎ 综上所述，‎ 点睛：解决定点、定值问题常用策略：‎ ‎(1)根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组(或不等式)，消去参数，求出定值或定点坐标．‎ ‎(2)先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行证明验证．‎ ‎21．设，.‎ ‎（1）令，求的单调区间；‎ ‎（2）已知在处取得极大值.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求出的解析式，然后求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求出的单调区间；（2）分别讨论 的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证可得结论.‎ 试题解析：（1），，则，‎ 当时，时，，当时，时，，‎ 时，，所以当时，函数单调递增区间为；‎ 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.（5分）‎ ‎（2）由（1）知，.‎ ‎①当时，时，，时，，‎ 所以在处取得极小值，不合题意.‎ ‎②当时，，由（1）知在内单调递增，‎ 当时，，时，，所以在处取得极小值，不合题意.‎ ‎③当时，即时，在内单调递增，在内单调递减，‎ 所以当时，，单调递减，不合题意.‎ ‎④当时，即，当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.‎ 综上可知，实数的取值范围为.‎ 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，体现了导数的综合应用，着重考查了函数的单调性、极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，把问题等价转化等是解答的关键，综合性强，难度较大，平时注意解题方法的积累与总结，属于难题.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，直线，直线.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；‎ ‎(2)已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的周长.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析 ：(1)直线，所以斜率，过（0，0），直角坐标方程为，同理可求的的直角坐标方程为.两边同时乘以，得，再由，代入可得故，所以圆过（2，1），r=,曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎(2) 直接利用极坐标方程联立求解，先联立得到，同理.又，所以,可解。‎ 试题解析：（1）依题意，直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为.‎ 因为，故，故，故，‎ 故曲线的参数方程为（为参数）‎ ‎（2）联立得到，同理.‎ 又，所以，‎ 即的面积为.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数,不等式的解集为.‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）3（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由已知可得，从而，即可求得实数的值；‎ ‎（2）关于的不等式恒成立，等价于恒成立，，从而求实数的取值范围.‎ 详解：（1）因为 所以不等式，即 所以，‎ 因为不等式解集为，‎ 所以,‎ 解得. ‎ ‎（2）关于的不等式恒成立，‎ 等价于恒成立，‎ 等价于恒成立，‎ 解得.‎ 点睛：本题主要考查不等式的解集与方程根的关系以及不等式恒成立问题，利用绝对值不等式的性质是解决本题的关键.‎