2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系

2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系

‎2010~2014年高考真题备选题库 第7章 立体几何 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎1．（2014广东，5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．l1⊥l4‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 解析：构造如图所示的正方体ABCDA1B‎1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B‎1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C，选D.‎ 答案：D ‎2．（2014四川，5分）如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sin α的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. 解析：易证AC1⊥平面A1BD，当点P在线段CC1上从C运动到C1时，直线OP与平面A1BD所成的角α的变化情况：∠AOA1→→∠C1OA1点P为线段CC1的中点时，α＝，由于sin∠AOA1＝，sin∠C1OA1＝>，sin＝1，所以sin α的取值范围是.‎ 答案：B ‎2．（2014浙江，4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝‎15 m，AC＝‎25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)‎ 解析：由题意，在Rt△ABC中，sin∠ACB＝＝＝；则cos∠ACB＝.作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，设PH＝x，则CH＝x，由余弦定理得AH＝，tan θ＝tan∠PAH＝＝，故当＝时，tan θ取得最大值，最大值为.‎ ‎3．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)‎ A．α∥β且l∥α ‎ B．α⊥β且l⊥β ‎ C．α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l 解析：本题涉及直线与平面的基本知识，意在考查考生的空间想象能力、分析思想能力，难度中等偏下．由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.‎ 答案：D　‎ ‎4．（2013广东，5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)‎ A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 解析：本题考查空间线与面的平行、垂直的位置关系，考查考生空间想象能力及符号语言识别能力．A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．‎ 答案：D ‎5．（2013江苏，14分）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥‎ 平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：‎ ‎(1)平面EFG∥平面ABC；‎ ‎(2)BC⊥SA.‎ 证明：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推理论证能力．‎ ‎(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.‎ 因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC.‎ 同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，‎ 所以平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.‎ 又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.‎ 因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.‎ ‎6.（2012江苏，14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，A1B1＝A‎1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B‎1C1的中点．‎ 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；‎ ‎(2)直线A‎1F∥平面ADE.‎ 解：(1)因为ABC－A1B‎1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，‎ 又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.‎ 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，‎ 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，‎ 所以平面ADE⊥平面BCC1B1.‎ ‎(2)因为A1B1＝A‎1C1，F为B‎1C1的中点，所以A‎1F⊥B‎1C1.‎ 因为CC1⊥平面A1B‎1C1，且A‎1F⊂平面A1B‎1C1，‎ 所以CC1⊥A‎1F.‎ 又因为CC1，B‎1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B‎1C1＝C1，‎ 所以A‎1F⊥平面BCC1B1.‎ 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A‎1F∥AD.‎ 又AD⊂平面ADE，A‎1F⊄平面ADE，所以A‎1F∥平面ADE.‎ ‎7．(2011天津，13分)‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．‎ ‎(1)证明PB∥平面ACM；‎ ‎(2)证明AD⊥平面PAC；‎ ‎(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．‎ 解：(1)证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，‎ 所以PB∥MO.‎ 因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.‎ ‎(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.‎ ‎(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.‎