2018-2019学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．在三角形ABC中，“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，当，可得，而在三角形中，当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件．‎ ‎【考点】充分不必要条件的判定．‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】利用复数的除法将化简为形式，则它在复平面内对应点为，判断点所在的象限即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 它在复平面内对应点为,在第四象限，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3．某高校有男学生3000名，女学生7000名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生300名，女学生700名进行调查，则这种抽样方法是（ ）‎ A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎【答案】D ‎【解析】本题总体由差异明显的两部分组成，可采用分层抽样的方法进行抽样.‎ ‎【详解】‎ 总体由男生和女生组成，比例为，所抽取的比例也是，这种抽样方法是分层抽样法，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.‎ ‎4．某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为(　 　)‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.‎ ‎【详解】‎ 执行程序框图，输入，‎ 第一次循环；‎ 第二次循环；‎ 第三次循环；‎ 第四次循环；‎ 第五次循环；‎ 第六次循环，‎ 退出循环，输出，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎5．从某校高二年级随机抽取的5名女同学的身高(厘米)和 体重(千克)数据如下表：‎ ‎164‎ ‎160‎ ‎176‎ ‎155‎ ‎170‎ ‎57‎ ‎52‎ ‎62‎ ‎44‎ ‎60‎ 根据上表可得回归直线方程为,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，由待定系数法求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由表中数据可得，‎ 一定在回归直线方程 上，‎ ‎ ，解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程的求解与应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.回归直线过样本点中心是一条重要性质.‎ ‎6．设双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线右支交于点、，且，则的周长为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用双曲线的定义求出，结合即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线的定义可得 ‎;‎ 的周长为 ‎,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义与应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.解答与双曲线焦点有关的问题时往往需要应用.‎ ‎7．下列命题错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B．命题“∀，”的否定是“，”‎ C．若且为真命题，则均为真命题 D．“”是“”的充分不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据逆否命题的定义判断；根据全称命题“”的否定为特称命题“”判断；根据且命题的性质判断；根据“”等价于“或”，结合充分条件与必要条件的定义判断.‎ ‎【详解】‎ 根据逆否命题的定义可知，命题“若，则”的逆否命題是:“若 ,则 ‎，故正确；‎ 根据全称命题“”的否定为特称命题“”可得命题“∀，”的否定是“，”，故不正确；‎ 根据且命题的性质可得，若且为真命题，则均为真命题，故正确；‎ 因为“”等价于“或”，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查逆否命题的定义、全称命题的否定、且命题的性质、一元二次不等式的解法以及充分条件与必要条件的定义，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎8．已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，可得，结合以及离心率的定义，即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的左、右顶点分别为，，‎ 则，‎ 故圆心坐标为，半径为，‎ 又圆与直线相切，‎ 故，‎ 又，‎ 联立可得，‎ 故离心率为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程与离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ ‎9．已知定点，且动点满足，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设定点在点的左边，由，可知动点在双曲线右支上，则的最小值为右顶点到的距离，由双曲线的性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设定点在点的左边，‎ 因为，‎ 根据双曲线的定义可知点轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，‎ 设，，‎ 当在双曲线的顶点时，有最小值，‎ 最小值为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的定义与几何性质，考查了数形结合的思想的运用，属基础题. 关于双曲线定义的理解有以下几种情况：‎ ‎(1 ),,表示双曲线；‎ ‎（2）,,表示两条射线；‎ ‎（3）,表示双曲线的一支；‎ ‎（4）,表示一条射线.‎ ‎10．甲乙两人均知道丙从集合中取出了一点，丙分别告诉了甲点的横坐标，告诉了乙点的纵坐标，然后甲先说：“我无法确定点的坐标”，乙听后接着说：“我本来也无法确定点的坐标，但我现在可以确定了”，那么，点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由横坐标为或或的点唯一且甲知道横坐标且不能确定点，可确定横坐标不是或或，再根据乙知道的点纵坐标进行排除，即可得结果.‎ 详解：横坐标为或或的点唯一且甲知道横坐标且不能确定点，‎ 横坐标不是或或，‎ 乙得知甲不能确定点，‎ 乙可确定点横坐标不是或或，‎ 若乙知道的点纵坐标为、或；分别有两个坐标，乙都无法排除确定，‎ 只有乙知道点纵坐标为时有两种，乙可排除，‎ 可得点坐标为，故选C.‎ 点睛：本题主要考查推理案例，属于中档题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.‎ ‎11．已知椭圆，斜率为的的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，代入椭圆的方程，两式相减，结合线段的中点坐标为 ‎，利用斜率公式可得，，求出的值，即可得出椭圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 设，因为的中点坐标为，‎ 所以，‎ 则代入椭圆的方程，两式相减可得，‎ 所以 线段的中点坐标为，‎ ‎，‎ 直线的斜率为， ‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 椭圆的方程为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题. 对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.‎ ‎12．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）‎ A．2450 B．2451 C．2452 D．2453‎ ‎【答案】B ‎【解析】设第个图案的点的个数为，由图归纳可得个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设第个图案的点的个数为，由题意可得，‎ 故，‎ 由此可推得，以上个式子相加可得：‎ ‎,‎ 化简可得，‎ 故，‎ 故，‎ 即第个图形由个点组成，故选B .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ 二、填空题 ‎13．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒种子，有368粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_____________．‎ ‎【答案】0.368‎ ‎【解析】根据几何概型的概率意义，利用即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 正方形的面积 ,设阴影部分的面积为， 随机撒1000粒豆子,有368粒落到阴影部分，‎ 由几何概型的概率公式可得,‎ 即,故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.‎ ‎14．高二某班共有学生56人，座号分别为1,2,3,…,56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、19号、47号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是_____________．‎ ‎【答案】33‎ ‎【解析】根据系统抽样原理求出抽样间隔，由5号、19号、47号同学在样本中座号可得另外一位同学的座号.‎ ‎【详解】‎ 根据系统抽样原理得,抽样间隔是，‎ 因为5号、19号的座号间隔14，‎ ‎19号、47号座号间隔为28，‎ 可得另一位同学座号在19号、47号之间，‎ 所以样本中还有一个同学的座号是，故答案为33.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. ‎ 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.‎ ‎15．双曲线的右焦点为，左、右顶点为、，过作的垂线与双曲线交于、两点，若，则该双曲线的渐近线为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得，求出的坐标，利用斜率公式，由，可求得的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由可得，，‎ 将代入可得，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以该双曲线的渐近线为，‎ 即为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的方程与简单性质以及渐近线方程，属于中档题. 若双曲线方程为，则渐近线方程为.‎ ‎16．若为非零实数，则下列四个命题都成立：‎ ‎① ② ③若，则 ‎④若，则。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是。‎ ‎【答案】②④ ‎ ‎【解析】 对于①：解方程得 a=± i，所以非零复数 a = ± i 使得，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ¿，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的所有序号是②④ ‎ 三、解答题 ‎17．已知命题：，命题： ‎ ‎（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合，根据充分条件与必要条件的定义，利用包含关系列不等式组求解即可；（2）化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对于已知，∴，即，‎ ‎∴的取值范围为，‎ 对于已知，‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围为，‎ ‎∵是的充分条件，∴，‎ ‎∴①，即；‎ ‎（2）若为真命题，则；若为真命题，则，∵为真命题，为假命题，∴一真一假.‎ 若真假，则②无解；‎ 若假真，则 ‎③‎ ‎∴；‎ 综上：.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查一元二次不等式的解法以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题. 解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎18．（1）已知都是正数，并且，求证：；‎ ‎（2）已知，求证．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）作差化简可得，从而可得结果；（2）由，可得，即，利用分析法：要证，根据二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式化简可得，只需证明，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎.‎ ‎∵都是正数,∴,又∵,∴,‎ ‎∴,∴；‎ ‎（2）∵，∴，即，要证，‎ 只需证，只需要证，‎ 而，∴显然成立，于是命题得证.（或用作差法）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查作差法证明不等式，以及分析法证明等式、二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，属于中档题.证明不等式常见方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）综合法；（4）分析法.‎ ‎19．（本题满分12分）有编号为， ，的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：‎ 编号 直径 ‎1．51‎ ‎1．49‎ ‎1．49‎ ‎1．51‎ ‎1．49‎ ‎1．51‎ ‎1．47‎ ‎1．46‎ ‎1．53‎ ‎1．47‎ 其中直径在区间［1．48，1．52］内的零件为一等品．‎ ‎（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；‎ ‎（2）从一等品零件中，随机抽取2个．‎ ‎（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）求这2个零件直径相等的概率．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）（i）所有可能的结果有：‎ ‎,,,,,,,,,； ‎ ‎（ii） ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于一等品零件共有6个，所以从10个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为．（2）（i）根据题设知一等品零件的编号为．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有： ,,,,,,,,,．共15种．（ii）解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”的所有可能结果有：‎ ‎,,,，共有6种．根据古典概型概率公式知6除以总数15即得所求概率．‎ 试题解析：（1）由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则． 4分 ‎（2）（i）解：一等品零件的编号为．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：‎ ‎,,,,,,,,,．共15种．‎ ‎ 8分 ‎（ii）解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果有：,,,,共有6种．‎ 所以． 12分 ‎【考点】1、基本事件；2、古典概型．‎ ‎20．已知抛物:，其焦点为，抛物线上一点到准线的距离4，且.‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）过点做直线交抛物线于，两点，求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】（1）由抛物线定义知点的坐标为，代入，可得，解得，从而可得结果；（2）当直线斜率不存在时，符合题意，当直线斜率存在时，设，联立方程可得，由平面向量数量积公式，利用韦达定理化简可得 ，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为到准线的距离4，且，‎ 所以由抛物线定义知点的坐标为，代入，‎ 可得，解得，抛物线方程为；‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，此时，解得，满足，∴，‎ 当直线斜率存在时，设，联立方程 ‎，设，则，‎ ‎∴‎ ‎，∴，，综上，成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查待定系数法求抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，以及平面向量数量积公式的应用，意在考查计算能力、转化思想的应用，考查学习综合应用所学知识解答问题的能力，属于综合题.‎ ‎21．某公司为了了解2018年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2018年全年网购消费金额(单位:千元)进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，,…,6组，制成如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求图中的值;‎ ‎（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷.结合图表数据，补全列联表，并判断是否有的把握认为样本数据中的网购迷与性别有关系?说明理由;‎ 男 女 合计 网购迷 ‎20‎ 非网购迷 ‎45‎ 合计 下面的临界值表仅供参考:‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 附： .‎ ‎【答案】（1）0.04；（2）列联表见解析，没有.‎ ‎【解析】（1）根据直方图中各矩形的面积之和为列方程求解即可；（2）根据直方图与表格中所给数据可完成列联表，根据列联表利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，∴；‎ ‎（2）列联表如图：‎ 男 女 合计 网购迷 ‎15‎ ‎20‎ ‎35‎ 非网购迷 ‎45‎ ‎20‎ ‎65‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎，‎ ‎∴没有99%的把握认为样本数据中的网购迷与性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.‎ ‎22．已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个顶点,且右焦点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）若点为椭圆的下顶点，是否存在斜率为,且过定点的直线，使与椭圆交于不同两点,且满足? 若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在直线满足题意，直线的方程为或 ‎【解析】（1）由椭圆的一个顶点,求得的值，由右焦点到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求得的值，从而可得，进而可得结果；（2）直线的方程，带入椭圆方程得，利用韦达定理求出的中点的坐标为，结合斜率公式将问题转化为解方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆的方程为：，由已知得，设右焦点为，‎ 由题意的，∴或（舍去），∴，‎ ‎∴椭圆的方程为：；‎ ‎（2）直线的方程，带入椭圆方程得，‎ 由得，设，则，设的中点为，则点的坐标为，∵，‎ ‎∴点在线段的中点上，，化简得：，‎ ‎∵，∴，所以，存在直线满足题意，直线的方程为或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查待定系数法椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎