新疆维吾尔自治区吐鲁番市高昌区第二中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

新疆维吾尔自治区吐鲁番市高昌区第二中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

高昌区二中2019—2010年第一学期期末考试 数学（文理）试卷 一、单项选择题：（本大题共16个小题，每小题3分，共48分）‎ ‎1.已知集合，，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出，即可求得.‎ 详解】由题：，‎ 所以=.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查集合的交集运算，关键在于根据描述法表示的集合准确得出集合中的元素.‎ ‎2.下列四个函数中，在区间上为减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的性质即可判定函数的单调性.‎ ‎【详解】根据幂函数的性质，当时，在区间上为减函数，‎ 结合四个选项：满足题意.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查幂函数的性质的判定，判断函数在的单调性，需要熟练掌握幂函数的基本性质.‎ ‎3.函数是实数集上奇函数，若，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的性质即可得解.‎ ‎【详解】函数是实数集上的奇函数，若，‎ 则.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇函数的特点满足求值.‎ ‎4.的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数诱导公式化简可得，即可求解.‎ ‎【详解】由题：=.‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查求三角函数值，关键在于熟练掌握诱导公式的使用，可以记住口诀“奇变偶不变，符号看象限”.‎ ‎5.已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10＝(　　)‎ A. 100 B. 210‎ C. 380 D. 400‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 设等差数列的公差为，则，解得，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以数列的前的和为，故选B．‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )‎ A. 3 B. 9‎ C. 27 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，模拟程序的运算情况，即可得出输出的结果，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得：‎ 第一次循环，不满足判断条件；‎ 第二次循环，满足判断条件，‎ 终止循环，输出结果，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎7.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点且垂直于直线的直线方程的斜率为，由直线的点斜式方程，即得解.‎ ‎【详解】过点且垂直于直线的直线方程的斜率为，由直线的点斜式方程：‎ ‎，即 故选：A ‎【点睛】本题考查了过定点与已知直线垂直的直线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎8.双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出双曲线的标准方程得，即可得出其渐近线方程.‎ ‎【详解】由得：，‎ 所以其渐近线方程为.‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查求双曲线的渐近线方程，关键在于准确写出双曲线的标准方程，根据公式即可得渐近线方程.‎ ‎9.过点的抛物线的标准方程是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由于点在第四象限，故抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上，则标准方程可分别设为，，代入点，分别可得，，故选C.‎ 考点：求抛物线的标准方程.‎ ‎10. 某几何体的三视图如图所示,且正视图、侧视图都是矩形,则该几何体的体积是(　　)‎ A. 16 B. ‎12 ‎C. 8 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【思路点拨】由俯视图可知,该几何体是由四棱柱从中挖掉一个三棱柱所得到的几何体.‎ 解:该几何体是一个四棱柱挖去一个三棱柱后得到的几何体,其体积为2×3×4-×2×3×4=12.‎ ‎11.已知向量，向量，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的垂直关系求得数量积为0，由同角三角函数关系即可求得正切值.‎ ‎【详解】由题：向量，向量，且，‎ ‎，即，‎ 若则，与矛盾；‎ 所以，，‎ ‎=2.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查根据向量垂直关系坐标表示建立等量关系，根据同角三角函数的基本关系求正切值，需要熟练掌握向量数量积的运算.‎ ‎12.某校有男生人，女生人，现用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为的样本，则抽出的男生人数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的比例关系即可求解.‎ ‎【详解】由题设抽出的男生人数为x，‎ 则，‎ 解得：‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查分层抽样，根据抽样比求抽得的人数，关键在于熟练掌握分层抽样的方法，建立等式求解.‎ ‎13.将函数的图象向右平移，所得图象对应的表达式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的平移方式向右平移得到，化简得解.‎ ‎【详解】函数的图象向右平移，‎ 得到函数为.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查函数的平移，根据平移方式求函数解析式，熟记口诀“左加右减”，正确使用即可求得解析式.‎ ‎14.在三棱柱ABCA1B‎1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA‎1C1C所成的角为α，则sin α的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】如图，建立空间直角坐标系，易求点D.‎ 平面AA‎1C1C的一个法向量是＝(1，0，0)，所以cos〈，〉＝＝，则sin α＝.‎ ‎15.，，这三个数之间的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数和对数函数的单调性进行比较大小.‎ ‎【详解】由题：在定义域内单调递增，，‎ 在定义域内单调递减，，‎ 在定义域内单调递增，，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数和对数函数的单调性，依据单调性和中间值进行大小比较.‎ ‎16.下列四种说法中，错误的个数是（ ）‎ ‎①命题“，”的否定是“，”；‎ ‎②命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件；‎ ‎③“若，则”的逆命题为真；‎ ‎④若实数，，则满足的概率为.‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，①②说法正确，若③错误，根据古典概型④概率应该为.‎ ‎【详解】命题“，”的否定是“，”，所以①正确；‎ 命题“为真”即p，q至少有一个为真，不能推出命题“为真”，‎ 命题“为真”则p，q全为真，能够推出命题“为真”，所以命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件，所以②正确；‎ ‎“若，则”的逆命题是：若，则，当 时不成立，所以该逆命题不是真命题，所以③不正确；‎ 若实数，，有序数对对应平面内的点形成的区域面积为1，如图：‎ 其中扇形区域不满足，面积为，深色区域符合题意，‎ 则满足的概率为，所以④不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查命题的真假判断，涉及全称命题的否定，含有逻辑连接词的命题真假判断，不等式的性质辨析，求几何概型，涉及知识面比较广.‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）‎ ‎17.同时掷两枚质地均匀的硬币，则至少有一枚出现正面的概率是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出所有基本事件，得出至少有一枚出现正面包含的基本事件个数，即可求得概率.‎ ‎【详解】两枚硬币出现的结果可能为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共四种情况，‎ 至少有一枚出现正面包含三种情况，‎ 所以至少有一枚出现正面的概率是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查求古典概型，关键在于准确得出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，常用列举法求解简单题目.‎ ‎18.已知钝角的面积为，，，则该三角形的外接圆半径为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面积公式求得，结合钝角三角形分类讨论角B的取值，结合正弦定理即可得解.‎ ‎【详解】由题的面积为，，解得，‎ 若，根据余弦定理，‎ 结合正弦定理得，三角形为直角三角形与题目钝角三角形矛盾，‎ 所以，根据余弦定理，‎ 根据正弦定理可得：该三角形的外接圆半径为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查利用正余弦定理结合三角形面积公式求解三角形，尤其注意三角形为钝角三角形不一定是B为钝角，需要分类讨论清楚再求解.‎ ‎19.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合二次函数性质，根据函数开口方向分析解集情况即可得解.‎ ‎【详解】由解集可得，‎ 考虑二次函数，‎ 若，二次函数开口向上，的解集不可能为，‎ 所以必有且，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查根据二次不等式的解集求参数的取值范围，将问题转化为分析二次函数开口的问题求解.‎ ‎20.一个火柴盒长、宽、高分别为为、、，一只蚂蚁从火柴盒的一个角处，沿火柴盒表面爬到另一个角处，所经过的最短路径长为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将火柴盒所在的长方体进行表面展开，使AB在同一个矩形的对角线端点，共有三种不同的矩形，求出对角线长即可得到最短路径.‎ ‎【详解】展开火柴盒所在长方体的表面，使AB在同一个矩形的对角线端点，‎ 这样的不同矩形共有三个，其对角线长度分别为：‎ 这种情况对角线长为，‎ 这种情况对角线长为，‎ 这种情况对角线长为 所以最短路径.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查求物体表面的最短路径，常用办法是展开成平面图形，利用两点之间线段最短求最短路径.‎ 三、解答题：（本大题共5题，每题8分共40分）‎ ‎21.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照,分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）万；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x的值.‎ 试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，‎ 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．‎ 由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，‎ 解得a=0.30．‎ ‎（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．‎ 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 ‎300 000×0.12="36" 000．‎ ‎（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，‎ 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，‎ 所以2.5≤x<3．‎ 由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，‎ 解得x=2.9．‎ 所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．‎ ‎【考点】频率分布直方图 ‎【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．‎ ‎22.已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据同角三角函数关系求出，根据二倍角公式即可得解；‎ ‎（2）结合（1）求出，利用两角差的正切公式求解.‎ ‎【详解】（1），，‎ 所以，‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎【点睛】此题考查根据已知三角函数值求三角函数值，关键在于熟练掌握同角三角函数基本关系，二倍角公式以及和差公式.‎ ‎23.如图，在四棱锥中，底面是正方形平面且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（3）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）45°；（3）120°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，计算0即可证明垂直关系；‎ ‎（2）利用向量求出，即可得到异面直线所成角；‎ ‎（3）求出两个半平面的法向量，根据法向量所成角的大小求二面角的大小.‎ ‎【详解】（1）由题：底面是正方形，平面，‎ 所以两两互相垂直，且 以D为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，设=1，‎ 所以 ‎，所以，即；‎ ‎（2），‎ 所以夹角为135°，即异面直线与所成角45°‎ ‎（3）设平面的法向量，‎ 则，取，则，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，则，‎ 所以，‎ 即法向量所成角为60°‎ 所以二面角的大小为120°‎ ‎【点睛】此题考查空间直线垂直的证明，求异面直线的夹角，求二面角的大小，建立空间之间坐标系利用向量求解简便易行.‎ ‎24.在等比数列中，，且为和的等差中项.‎ ‎（1）求数列的首项和公比；‎ ‎（2）求数列的前项和 ‎【答案】（1）数列的首项为1，公比为3；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中所给关系，列方程组，即可求解；‎ ‎（2）根据等比数列求和公式求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为q，q≠0，‎ ‎，且为和等差中项.‎ 即解得：，‎ 即该数列的首项为1，公比为3；‎ ‎（2）由（1）所以，‎ 所以数列的前项和 ‎【点睛】此题考查等比数列基本量的计算，求数列的前n 项和，关键在于熟练掌握基本公式，根据方程组正确求解.‎ ‎25.已知点）和直线.‎ ‎（1）求以为圆心，且与直线相切圆的方程；‎ ‎（2）过直线上一点作圆的切线和，其中和为切点，求当四边形的面积最小时点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线与圆相切，求出圆的半径，即可得到圆的方程；‎ ‎（2）将四边形的面积表示出来得，取得最小值的条件是当与直线垂直时，建立方程组即可求解.‎ ‎【详解】（1）点到直线的距离为，‎ 以为圆心，且与直线相切的圆的半径为，‎ 所以圆的方程；‎ ‎（2）由题：四边形的面积，‎ 要使四边形的面积最小，即最小，当与直线垂直时取得最小值，‎ 设解得 所以 ‎【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，通过直线与圆相切求圆的半径，将四边形的面积转化为求圆心到直线距离的取值范围，涉及等价转化思想.‎