北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期中考试试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间90分钟 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D） ‎ ‎2.计算 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎3.已知点，向量，则向量 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4.复数在复平面内对应的点位于 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎5.已知函数的定义域为,则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎6.圆的圆心到直线的距离为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎8.已知函数是的导函数，则下列结论中错误的是 ‎ ‎（A）函数的值域与的值域相同 ‎ ‎（B）若是函数的极值点，则是函数的零点 ‎（C）把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象 ‎（D）函数和在区间上都是增函数 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.‎ ‎9.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则=　　　　.‎ ‎10.在中, ,的面积为,则= 　; =　 　. ‎ ‎11.已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β；‎ ‎⑤α⊥β.当满足条件 时，m⊥β.‎ ‎12.已知函数 ‎① 当时，若函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围是 ；‎ ‎② 若函数的最小值为-1，则 ． ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎13.（本小题满分15分）‎ 已知是等差数列，是等比数列，且，成等比数列，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式和的前项和及的最小值；‎ ‎（Ⅱ）求和: ．‎ ‎14.（本小题满分16分）‎ 已知函数的图象经过点,‎ ‎（Ⅰ）求的值,并求函数的单调递增区间;‎ ‎（Ⅱ）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围. ‎ ‎15. （本小题满分15分）‎ 为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记表示学生的考核成绩，并规定为考核合格. 为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎(Ⅰ) 请根据图中数据，写出该考核成绩的中位数、众数，若从参加培训的学生中随机选取1人，估计这名学生考核为合格的概率；‎ ‎(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；‎ ‎16.（本小题满分16分）‎ ‎ 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的 ‎ 余弦值；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使得 ‎ ‎?若存在，求出 ‎ 的值；若不存在，说明理由．‎ ‎17.（本小题满分16分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）求曲线的最值； ‎ ‎（Ⅲ）求证:对任意的成立.‎ ‎ 参考答案 一、选择题：（） 1. D 2. B 3 .A 4.D 5. B 6.B 7. C 8. D 二、填空题：（） 9.；10.（前3后3）；11. ②④；12. .（前3后3）‎ 三、解答题：本大题共5小题，共78分.‎ ‎13.（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ）根据三者成等比数列，可知， …1分 故，解得， …2分 故； …3分 由， …5分 该二次函数开口向上，对称轴为，故时，取最小值-9. …7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，. …9分 所以,可得或（舍）. …11分 因此. …13分 从而数列是等比数列，公比为，首项为.‎ 所以 …15分 ‎ ‎14. (本小题满分16分） ‎ 解：（Ⅰ）根据题意得, …1分 即,解得. …2分 所以 …4分 ‎. …5分 由, …6分 得, …7分 所以函数的单调递增区间是. …8分 ‎(一个都没写的扣一分)‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.当时,, …10分 所以.所以. …12分 当,即时, f(x)取得最大值,最大值为. …14分 因为“不等式恒成立”等价于“”, …15分 所以.故实数的取值范围是. …16分 ‎ ‎15. （本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ）中位数为，众数为， …4分 设该名学生考核成绩合格为事件，由茎叶图中的数据可以知道， …5分 名同学中，有名同学考核合格，所以所求概率约为 . …7分 ‎ ‎（Ⅱ）的所有可能取值为 …8分 ‎ 因为成绩的学生共有人，其中满足的学生有人， …9分 所以， ‎ ‎ ， …13分 ‎ 随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …15分 ‎16. (本小题满分16分）‎ 解：（Ⅰ）因为，，，所以 ，…1分 同理，， …2分 又 ，所以 ， …3分 因为 ，所以． …4分 ‎ ‎（Ⅱ）因为，，，‎ ‎，所以 ,又 ，故，‎ 而四边形为正方形，所以 ．又，所以以为原点，‎ 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， …6分 如图:则 ，，，，则,‎ 取平面的一个法向量， …7分 设平面的一个法向量，则 即 …8分 令，则，，，则．…9分 设平面与平面所成锐二面角的大小为，则∴‎ 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…10分 ‎（Ⅲ）若与重合，则平面的一个法向量．由（Ⅱ）知平面的一个法向量，则，则此时平面与平面不垂直． …11分 若与不重合，如图，‎ 设，则 ．‎ 所以 …12分 设平面的一个法向量，则 即 令，则，，所以，…14分 若，则，即，所以．‎ 所以，线段上存在点使，且．…16分 ‎17. (本小题满分16分）‎ ‎（Ⅰ）因为,所以, …1分 ‎ 所以，而 …3分 所以曲线在处的切线方程为 ，化简得 …4分 ‎ ‎（Ⅱ）因为,令，得， …5分 则，，在区间 的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ 极大值 ‎…8分 所以在时取得最大值,无最小值. …10分 ‎（Ⅲ）由，因为，‎ 所以只需证明即可 …12分 因为，由（Ⅱ）知 …13分 ‎（仅在处，其余各处） …14分 所以在上单调递减，所以，‎ 所以对任意的成立. …16分