2017-2018学年云南民族大学附属中学高二上学期期末考试数学(理)试题(Word版)
[考试时间:2018年1月30日 8:00至10:00]
2017-2018学年云南民族大学附属中学高二上学期期末考试数学试卷(理)
(考试时间 120 分钟 , 满分 120 分)
命题人: 审题人:
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合A={(x,y)|y2
0)的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数,若,则( )
A. B. C. D.
9.若是正实数,函数在上是增函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知梯形ABCD中,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,若P是DC的中点,则|+2|=( )
A. B.2 C.4 D.5
11.已知椭圆D:+=1(a>b>0)的长轴端点与焦点分别为双曲线E的焦点与实轴端点,若椭圆D与双曲线E的一个交点在直线y=2x上,则椭圆D的离心率为( )
A. -1 B.- C. D.
12.如图所示,点O为正方体ABCD A′B′C′D′的中心,点E为棱B′B的中点,若AB=1,则下列叙述正确的是( )
A.直线AC与直线EC′所成的角为45°
B.点E到平面OCD′的距离为
C.直线A′B′与直线AC所成的角为60°
D.过点O,E,C的平面截正方体所得截面为菱形
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(1-x)8的展开式中x6项的系数为________.
14.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=_____.
15.对于数列,定义数列为数列的“差数列”,若,的“差数列”的通项为,则数列的前项和=________.
16.点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值是
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知Sn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an.
(1)若是等差数列,且S1=5,S2=18,求an;
(2)若是等比数列,且S1=3,S2=15,求Sn.
18. (本小题满分12分)
在中,的角平分线与边相交于点,且
.
(Ⅰ)求的长及的值;
(Ⅱ)求的长.
19.(本小题满分12分)
某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动,规则是每邀请一位好友在该平台注册,并购买至少1万元的12月定期,邀请人可获得现金及红包奖励,现金奖励为被邀请人理财金额的1%,且每邀请一位最高现金奖励为300元,红包奖励为每邀请一位奖励50元.假设甲邀请到乙、丙两人,且乙、丙两人同意在该平台注册,并进行理财,乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表:
理财金额
1万元
2万元
3万元
乙理财相应金额的概率
丙理财相应金额的概率
(1)求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率;
(2)若甲获得奖励为X元,求X的分布列与数学期望.
20. (本小题满分12分)
如图所示,PA与四边形ABCD所在平面垂直,且PA=BC=CD=BD,AB=AD,PD⊥DC.
(1)求证:AB⊥BC;
(2)若PA=,E为PC的中点,设直线PD与平面BDE所成角为θ,求sinθ.
21.(本小题满分12分)
已知函数f=.
(1)若对任意x>0,f<0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若函数f有两个不同的零点,求实数a的取值范围。
22.(本小题满分12分)
已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点.
(1)若原点为O,求△OAB面积的最小值;
(2)过A,B作抛物线E的切线,分别为l1,l2,若l1与l2交于点P,当l变动时,求点P的轨迹方程.
理科答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5[]
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
A
B
D
D
C
A
A
B
D
二、填空题
13、 28 14、 15、 16、
17.解:(1)设数列的公差为d,则S1=a1=5,S2=2a1+a2=10+a2=18,所以a2=8,d=a2-a1=3,an=5+3=3n+2.4分
(2)设数列的公比为q,则S1=a1=3,S2=2a1+a2=6+a2=15,
所以a2=9,q==3,an=3×3n-1=3n,8分
所以Sn=n×3+×32+…+2×3n-1+3n①,
3Sn=n×32+×33+…+2×3n+3n+1②,
②-①,得2Sn=-3n+(32+33+…+3n)+3n+1=-3n++3n+1=-3n-++3n+1=,所以Sn=.12分[来源:]
18、(1),(2)
19.解:(1)设乙、丙理财金额分别为ξ万元、η万元,则乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率为P(ξ+η≥5)=PP+PP+PP=×+×+×=.4分
(2)X的所有可能的取值为300,400,500,600,700.
P=PP=×=,
P=PP+P(ξ=2)P(η=1)=×+×=,
P=PP+P(ξ=3)·P(η=1)+PP=×+×+×=,
P=PP+P(ξ=3)P(η=2)=×+×=,
P=P(ξ=3)P(η=3)=×=,
所以X的分布列为
X
300
400
500
600
700
P
10分
E(X)=300×+400×+500×+600×+700×=.12分
20.解:(1)证明:由PA⊥平面ABCD,AB=AD,可得PB=PD,
又BC=CD,PC=PC,所以△PBC≌△PDC,所以∠PBC=∠PDC.
因为PD⊥DC,所以PB⊥BC.3分
因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
所以PA⊥BC.
又PA∩PB=P,所以BC⊥平面PAB.
因为AB⊂平面PAB,所以AB⊥BC.5分
(2)由BD=BC=CD,AB⊥BC,可得∠ABD=30°,
又已知AB=AD,BD=PA=,所以AB=1.
如图所示,分别以BC,BA所在直线为x,y轴,过B且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系,
则B(0,0,0),P(0,1,),C(,0,0),E(,,),D(,,0),所以=(,,-),=(,,),=(,,0).
设平面BDE的法向量n=(x,y,z),8分
则即取z=-2,得n=(3,-,-2),10分
所以sin θ==
=.12分
21、(1)由f==+a+,得f′=-=-,2分
所以f在上单调递增,在上单调递减,所以f≤f=a+1,所以a+1<0,所以实数a的取值范围是.4分
(2)
22、解:(1)由题意可知,F(0,1),且直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1,
联立 ⇒x2-4kx-4=0.2分
设A,B,则x1+x2=4k,x1x2=-4,4分
所以S△AOB====≥2,
当k=0时,△OAB的面积最小,最小值为2 .6分
(2)由x2=4y,得y=,y′=,所以l1的方程为y- = ,即y = -.①
同理可得l2的方程为y = -.②9分
联立①②,得x==2k,y=-=-==-1,
所以点P的坐标为,
因为k∈R,所以点P的轨迹方程为y=-1. 12分