2013版《6年高考4年模拟》：第六章 数列 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和
【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》
第六章 数列
第一节 等差数列、等比数列的概念及求和
第一部分 六年高考题荟萃
2012年高考题
一、选择题
1.【2012高考重庆理1】在等差数列中，，则的前5项和=
A.7 B.15 C.20 D.25
【答案】B
【解析】因为，，所以，所以数列的前5项和,选B.
2.【2012高考浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是
A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项
B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0
C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意，均有
D. 若对任意，均有，则数列﹛Sn﹜是递增数列
【答案】C
【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．故选C。
3.【2012高考新课标理5】已知为等比数列，，，则（ ）
【答案】D
【解析】因为为等比数列，所以，又，所以
或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.
4.【2012高考上海理18】设，，在中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】D
【解析】当1≤≤24时，＞0，当26≤≤49时，＜0，但其绝对值要小于1≤≤24时相应的值，当51≤≤74时，＞0，当76≤≤99时，＜0，但其绝对值要小于51≤≤74时相应的值，∴当1≤≤100时，均有＞0。
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.
5.【2012高考辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=
(A)58 (B)88 (C)143 (D)176
【答案】B
【解析】在等差数列中，，答案为B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。
6.【2012高考福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B.
考点：等差数列的定义。
难度：易。
分析：本题考查的知识点为等差数列的通项公式。
【解析】法1：由等差中项的性质知，又.故选B.
法2：
7.【2012高考安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ）
【答案】B
【解析】．
8.【2012高考全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。
【解析】由,得，所以，所以，又，选A.
二、填空题
9.【2012高考浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______________。
【答案】
【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．
即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．
10.【2012高考新课标理16】数列满足，则的前项和为
【答案】1830
【解析】由得，
，
即，也有，两式相加得，设为整数，
则，
于是
11.【2012高考辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an =______________。
【答案】
【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题.
【解析】
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。
12.【2012高考江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若，，则__________。
【答案】35
【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。考查等差中项的性质及整体代换的数学思想
【解析】（解法一）因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列.
故由等差中项的性质，得，即，解得.
（解法二）设数列的公差分别为,
因为,
所以.所以.
【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握基本量法这一通法，同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式，前项和，等差中项的性质等.
13.【2012高考北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。
【答案】，
【解析】因为，
所以，。
14.【2012高考广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1，，则an=____．
【答案】
【解析】由得到，即，应为{an}是递增的等差数列，所以，故。
三、解答题
15【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．
【答案】解：（1）∵，∴。
∴ 。
∴ 。
∴数列是以1 为公差的等差数列。
（2）∵，∴。
∴。（﹡）
设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
∴综上所述，。∴，∴。
又∵，∴是公比是的等比数列。
若，则，于是。
又由即，得。
∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。
∴。
∴ 。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。
【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。
（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。
从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。
16.【2012高考湖北理18】（本小题满分12分）
已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.
【答案】 （Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，
由题意得 解得或
所以由等差数列通项公式可得
，或.
故，或.
（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；
当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时，；当时，；
当时，
. 当时，满足此式.
综上，
17.【2012高考广东理19】（本小题满分14分）
设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．
（1） 求a1的值；
（2） 求数列{an}的通项公式．
（3） 证明：对一切正整数n，有.
【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.
【解析】（1） 相减得：
成等差数列
（2）得对均成立
得：
（3）当时，
当时，
由上式得：对一切正整数，有。
18.【2012高考陕西理17】（本小题满分12分）
设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。
（1）求数列的公比；
（2）证明：对任意，成等差数列。
【解析】（1）设数列的公比为（）。
由成等差数列，得，即。
由得，解得，（舍去），所以。
（2）证法一：对任意，（lby lfx）
，
所以，对任意，成等差数列。
证法二：对任意，，
，
，
因此，对任意，成等差数列。
19.【2012高考重庆理21】（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分.）
设数列的前项和满足，其中.
（I）求证：是首项为1的等比数列；
（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.
【答案】（1）证明：由，得，即。
因，故，得，
又由题设条件知，
两式相减得，即，
由，知，因此
综上，对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。
（2） 当或时，显然，等号成立。
设，且，由（1）知，，，所以要证的不等式化为：
即证：
当时，上面不等式的等号成立。
当时，与，（）同为负；
当时， 与，（）同为正；
因此当且时，总有 （）（）>0,即
，（）。
上面不等式对从1到求和得，
由此得
综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。
20.【2012高考江西理16】（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和，,且Sn的最大值为8.
（1）确定常数k，求an；
（2）求数列的前n项和Tn。
【答案】解: （1）当时，取最大值，即，故，从而，又，所以
（1） 因为，
所以
【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.
利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.
21.【2012高考湖南理19】（本小题满分12分）
已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……
（1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.
（2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.
【答案】解（１）对任意,三个数是等差数列，所以
即亦即
故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是
（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有
由知，均大于０，于是
即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.
（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，
则
，
于是得即
由有即，从而.
因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，
综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.
22.【2012高考山东理20】本小题满分12分）
在等差数列中，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.
【答案】解：（Ⅰ）因为是一个等差数列，
所以，即．
所以，数列的公差，
所以，
（Ⅱ）对，若 ，
则 ，因此 ，
故得 （lb ylfx）
于是
2011年高考题
一、选择题
1．（天津理4）已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为
的前项和，，则的值为
A．-110 B．-90
C．90 D．110
【答案】D
2．（四川理8）数列的首项为，为等差数列且．若则，，则
A．0 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【解析】由已知知由叠加法
3．（全国大纲理4）设为等差数列的前项和，若，公差，，则
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
4．（江西理5） 已知数列{}的前n项和满足：，且=1．那么=
A．1 B．9 C．10 D．55
【答案】A
二、填空题
5．（湖南理12）设是等差数列，的前项和，且，
则= ．
【答案】25
6．（重庆理11）在等差数列中，，则__________
【答案】74
7．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。—2
【答案】
8．（广东理11）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则
k=____________．
【答案】10
9．（江苏13）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
【答案】
三、解答题
10．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立
（1）设的值；
（2）设的通项公式
本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。
解：（1）由题设知，当，
即，
从而
所以的值为8。
（2）由题设知，当
，
两式相减得
所以当成等差数列，且也成等差数
列
从而当时， （*）
且，
即成等差数列，
从而，
故由（*）式知
当时，设
当，从而由（*）式知
故
从而，于是
因此，对任意都成立，又由可知，
解得
因此，数列为等差数列，由
所以数列的通项公式为
11．（北京理20）
若数列满足，数列为数列，记=．
（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；
（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，
所以.
所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.
所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是递增数列.
综上，结论得证。
（Ⅲ）令
因为
……
所以
因为
所以为偶数,
所以要使为偶数,
即4整除.
当
时，有
当的项满足，
当不能被4整除，此时不存在E数列An，
使得
12．（广东理20）
设b>0,数列满足a1=b，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，
解：
（1）由
令，
当
①当时，
②当
（2）当时，（欲证）
，
当
综上所述
13．（湖北理19）
已知数列的前项和为，且满足：，N*，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论．
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分13分）
解：（I）由已知可得，两式相减可得
即
又所以r=0时，
数列为：a，0，…，0，…；
当时，由已知（），
于是由可得，
成等比数列，
，
综上，数列的通项公式为
（II）对于任意的，且成等差数列，证明如下：
当r=0时，由（I）知，
对于任意的，且成等差数列，
当，时，
若存在，使得成等差数列，
则，
由（I）知，的公比，于是
对于任意的，且
成等差数列，
综上，对于任意的，且成等差数列。
14．（辽宁理17）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求数列的前n项和．
解：
（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得
解得
故数列的通项公式为 ………………5分
（II）设数列，即，
所以，当时，
所以
综上，数列 ………………12分
15．（全国大纲理20）
设数列满足且
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设
解：
（I）由题设
即是公差为1的等差数列。
又
所以
（II）由（I）得
， …………8分
…………12分
16．（山东理20）
等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前n项和．
解：（I）当时，不合题意；
当时，当且仅当时，符合题意；
当时，不合题意。
因此
所以公式q=3，
故
（II）因为
所以
所以
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上所述，
17．（上海理22） 已知数列和的通项公式分别为，（），将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列
。
（1）求；
（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式。
解：⑴ ；
⑵ ① 任意，设，则，即
② 假设（矛盾），∴
∴ 在数列中．但不在数列中的项恰为。
⑶ ，
，，
∵
∴ 当时，依次有，……
∴ 。
18．（天津理20）
已知数列与满足：， ，且
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（III）设证明：．
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
（I）解：由
可得
又
（II）证明：对任意
①
②
③
②—③，得 ④
将④代入①，可得
即
又
因此是等比数列.
（III）证明：由（II）可得，
于是，对任意，有
将以上各式相加，得
即，
此式当k=1时也成立.由④式得
从而
所以，对任意，
对于n=1，不等式显然成立.
所以，对任意
19．（浙江理19）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列
（1）求数列的通项公式及
（2）记，，当时，试比较与的大小．
本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。
（I）解：设等差数列的公差为d，由
得
因为，所以所以
（II）解：因为，所以
因为，所以
当，
即
所以，当
当
20．（重庆理21）
设实数数列的前n项和，满足
（I）若成等比数列，求和；
（II）求证：对
（I）解：由题意，
由S2是等比中项知
由解得
（II）证法一：由题设条件有
故
从而对有
①
因，由①得
要证，由①只要证
即证
此式明显成立.
因此
最后证若不然
又因矛盾.
因此
证法二：由题设知，
故方程（可能相同）.
因此判别式
又由
因此，
解得
因此
由，得
因此
2010年高考题
一、选择题
1.（2010浙江理）（3）设为等比数列的前项和，，则
（A）11 （B）5 （C） （D）
解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题
2.（2010全国卷2理）（4）.如果等差数列中，，那么
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】
3.（2010辽宁文）（3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】 B
解析：选B. 两式相减得， ，.
4.（2010辽宁理）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则
（A） (B) (C) (D)
【答案】B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。
【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。
5.（2010全国卷2文）(6)如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【答案】C
【解析】本题考查了数列的基础知识。
∵ ，∴
6.（2010安徽文）(5)设数列的前n项和，则的值为
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
【答案】 A
【解析】.
【方法技巧】直接根据即可得出结论.
7.（2010浙江文）(5)设为等比数列的前n项和，则
(A)-11 (B)-8
(C)5 (D)11
解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式
8.（2010重庆理）（1）在等比数列中， ，则公比q的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】A
解析：
9.（2010广东理）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=
A．35 B.33 C.31 D.29
【答案】C
解析：设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。由与2的等差中项为知，，即．
∴，即．，即．
10.（2010广东文）
11.（2010山东理）
12.（2010重庆文）（2）在等差数列中，，则的值为
（A）5 （B）6
（C）8 （D）10
【答案】 A
解析：由角标性质得，所以=5
二、填空题
1.（2010辽宁文）（14）设为等差数列的前项和，若，则 。
解析：填15. ,解得，
2.（2010福建理）11．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．
【答案】
【解析】由题意知，解得，所以通项。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。
3.（2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________
解析：考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，
所以。
三、解答题
1.（2010上海文）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。
已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，
又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；
(2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)；
由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15．
2.（2010陕西文）16.（本小题满分12分）
已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.
解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，
解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得
Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.
3.（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）
已知是各项均为正数的等比数列，且
，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。
（1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。
（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
4.（2010江西理）22. （本小题满分14分）
证明以下命题：
（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b
0
由a2+a7＝16.得 ①
由得 ②
由①得将其代入②得。即
（2）令
两式相减得
于是
=-4=
27. （2009福建卷文）等比数列中，已知
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
解：（I）设的公比为
由已知得，解得
（Ⅱ）由（I）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
28（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）
已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ），所以
（Ⅱ）由得即
所以当时，于是
所以
（Ⅲ）当时，结论成立
当时，有
所以
2007—2008年高考题
一、选择题
1.（2008天津）若等差数列的前5项和，且，则( )
A.12 B.13 C.14 D.15
答案 B
2.（2008陕西）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）
A．64 B．100 C．110 D．120
答案 B
3.（2008广东）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
答案 D
4.（2008浙江）已知是等比数列，，则=（ ）
A.16（） B.6（）
C.（） D.（）
答案 C
5.（2008四川）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()
A. B.
C. D.
答案 D
6.（2008福建)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为( )
A.63 B.64 C.127 D.128
答案 C
7.（2007重庆）在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 A
8.（2007安徽）等差数列的前项和为若（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
答案 B
9.（2007辽宁）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
答案 B
10.(2007湖南) 在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
答案 B
11.(2007湖北)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
12.(2007宁夏)已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
答案 D
13.(2007四川)等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 B
二、填空题
15.（2008四川）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为______.
答案 4
16.（2008重庆)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
答案 -72
17.(2007全国I) 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为 ．
答案
18.（2007江西）已知等差数列的前项和为，若，则 ．
答案 7
19.（2007北京）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．
答案
三、解答题
21.（2008四川卷）． 设数列的前项和为，已知
（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式
解 由题意知，且
两式相减得
即 ①
（Ⅰ）当时，由①知
于是
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即
当时，由由①得
因此
得
22.（2008江西卷）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.
（1）求；
（2）求证.
解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①
由知为正有理数，故为的因子之一，
解①得
故
（2）
∴
23..（2008湖北）.已知数列和满足：
,其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有
?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·（an-3n+21）=-bn
又b1x-(λ+18),所以
当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).
故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a-1, f'(x)= -1=,
x
(-1,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
∴极大值为f(0)=0，也是所求最大值；……………………4分
（Ⅱ）an+1=，∴an+1-1=，∴=-1-，……………………5分
则bn+1=-2 bn-1, ∴bn+1+=-2(bn+), b1+=1,
∴数列{ bn+}是首项为1，公比为-2的等比数列，…………………7分
∴bn+=(-2)n-1, ……………………8分
∴an=+1=+1，……………………9分
明显a1=2.5>-1，n≥2时(-2)n-1-<-2, ∴an>0>-1恒成立，
∴数列{an}为无穷数列。……………………11分
（Ⅲ）由⑴ln(1+x) ≤x，∴ln(1++)< ln(1+)3……………………12分
=3 ln(1+)≤3×=成立。 ………14分
52．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）（12分）数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)．
证明：(1)．数列{}是等比数列；
(2)．Sn+1=4an.
答案 ．（12分）
证明：(1)．数列{}是等比数列；
(2)．Sn+1=4an.
（1）由 得： 即
所以 所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列．
（2）由（1）得
所以
所以
53．（广东省华附、中山附中2011届高三11月月考理）
（14分）已知数列中,,且
（1）求证：;
（2）求数列的通项公式；
(3)设,是数列的前项和,求的解析式;
答案
解:
故,．……………………………………1分
又因为
则,即．………………………3分
所以, ……………………………………4
(2)
= …………………………………8
因为=
所以,当时, ………………………9
当时,……….(1)
得……(2)
=
…………………………12
综上所述: ……………………………14
54.（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）已知曲线上有一点列，点在x轴上的射影是，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设四边形的面积是，求证：
答案 解：（1）由得∵ ， ∴ ，
故是公比为2的等比数列
∴.…………………………………………………………6分
（2）∵ ，
∴, 而 ， …………………9分
∴四边形的面积为：
∴,
故.……………………………………………14分
55.（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）（本小题满分15分）
甲、乙两容器中分别盛有浓度为，的某种溶液500ml， 同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和. 记，，经次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为，
（I）试用，表示，；
（II）求证：数列｛－｝是等比数列，数列｛+｝是常数列；
（III）求出数列｛｝，｛｝的通项公式.
答案 （本小题满分15分）
（1）
（2）两式相减
所以等比
两式相加
＝…….＝ 所以常数列；
（3）
56．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）（本小题满分12分）
已知数列满足递推式：
（1）若的通项公式；
（2）求证：
答案 解：（1）
………………5分
（2）由（2）知
57．（重庆市南开中学高2011级高三1月月考理）（22分）已知函数的反函数为，数列满足：
处的切线在y轴上的截距为
（1）若数列的通项公式；
（2）若数列的取值范围；
（3）令函数
证明：
答案
58.（浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题理）（本小题满分14分）从集合中，抽取三个不同元素构成子集．
（Ⅰ）求对任意的，满足的概率；
（Ⅱ）若成等差数列，设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望．
答案 (Ⅰ)基本事件数为，满足条件
，及取出的元素不相邻，则用插空法，有种
故所求事件的概率是 7分
（Ⅱ）分析三数成等差的情况：
的情况有7种，123，234，345，456，567，678，789
的情况有5种，135，246，357，468，579
的情况有3种，147，258，369
的情况有1种，159
分布列是
1
2
3
4
． 14分
2010年联考题
题组二
一、填空题
1．（岳野两校联考）等差数列中，，公差，且、、恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比为（ ）
A．2 B． C． D．4
答案 D
2.（三明市三校联考）在等比数列中，已知，则的值为 （ ）
A．16 B．24 C．48 D．128
答案A
3.（昆明一中一次月考理）已知是公比为的等比数列，且成等差数列. 则
A．1或 B．1 C． D ．
答案:A
4. (安徽六校联考)若等差数列的前项和为，且为确定的常数，则下列各式中，也为确定的常数是( )
A. B. C. D.
答案 B
5．（昆明一中四次月考理）等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）
（A） （B） （C）8 （D）6
答案：A
6. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）已知等差数列的前项和为，若等于（ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
答案D
7．（玉溪一中期中理）等差数列中，，其前项和为，且（ ）
A． B．1 C． 0 D． 2
答案：C
8.（祥云一中二次月考理）各项均为正数的等比数列的前项和为，若则等于（ ）
A.16 B. 26 C. 30 D. 80
答案：C
9.（祥云一中二次月考理）在数列的值为 （ ）
A. 4950 B 4951 C.5050 D. 5051
答案：B
10.（祥云一中二次月考理）在等差数列成等比数列，则的通项公式为 （ ）
A. B.
C. D. 或
答案：D
二、填空题
11．（安庆市四校元旦联考）对于数列{}，定义数列{}为数列{}的
“差数列”，若，{}的“差数列”的通项
为，则数列{}的前项和=
答案
12．（祥云一中三次月考理）已知数列的通项公式为，数列的前项和为,则=_________
答案：1
13. （祥云一中三次月考文） 数列中，，则=
答案：2
三、解答题
14. （池州市七校元旦调研）在数列中，,
（I）设，求数列的通项公式;
（II）求数列的前项和
解：（I）由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
（II）由（I）知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
15.（三明市三校联考）（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，，且（为正整数）
（Ⅰ）求出数列的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.
解：（Ⅰ）， ① 当时，. ②
由 ① - ②，得. .
又 ，，解得 .
数列是首项为1，公比为的等比数列.
（为正整数） ……………………（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意可知，对于任意的正整数，恒有，.
数列单调递增， 当时，数列中的最小项为，
必有，即实数的最大值为1 ……………… （13分）
16. （安庆市四校元旦联考）（本题满分16分）各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有 ；
⑴求常数的值； ⑵求数列的通项公式；
⑶记，求数列的前项和。
解：（1）由及，得：
（2）由 ①
得 ②
由②—①，得
即：
由于数列各项均为正数， 即
数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式是
（3）由，得：
17.（祥云一中二次月考理）（本小题满分12分）
在数列
（1）
（2）设
（3）求数列
18.解（1）
（2）证法一：对于任意
=，
数列是首项为，公差为1的等差数列.
证法二：（等差中项法）
（3）由（2）得，
，
即
设
则
两式相减得，
整理得，
从而
题组一（1月份更新）
一、选择题
1、（2009滨州一模）等差数列中，，，则的值为
A．15 B．23 C．25 D．37
答案 B
2、（2009昆明市期末）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且a1，a3，a4成等比数列，
Sn为数列{an}的前n 项和，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
答案 D
3、（2009番禺一模）已知等比数列的各项均为正数，前项之积为，若＝，则必有（ ）
A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1
答案 B
4、（2009昆明一中第三次模拟）己知等比数列满足则=( )
A．64 B81 C．128 D．243
答案 A
5、（2009茂名一模）已知等差数列的公差为，且成等比数列，则等于（ ）
A、-4 B、-6 C、-8 D、8
答案 D
6、（2009牟定一中期中）等比数列中，若、是方程的两根，则的值为( )
（A）2 （B） （C） （D）
答案 B
7、（2009上海十四校联考）无穷等比数列…各项的和等于 （ ）
A． B． C． D．
答案B
8、（2009江门一模）已知数列的前项和，是等比数列的充要条件是
A. B C. D.
答案 D
9、（2009杭州高中第六次月考）数列{}满足，，是的前项和，则的值为 （ ）
A． B． C．6 D．10
答案A
10、（2009聊城一模）两个正数a、b的等差中项是5，等比例中项是4，若a>b，则双曲线的离心率e等于 （ ）
A． B． C． D．
答案B
11、（2009深圳一模）在等差数列中，，表示数列的前项和，则
A． B． C． D．
答案 B
二、填空题
1、（2009上海十四校联考）若数列为
“等方比数列”。则“数列是等方比数列”是“数列是等方比数列”的 条件
2、（2009上海八校联考）在数列中，，且，_________。
答案 2550
3、（2009江门一模）是等差数列的前项和，若，，
则 ．
答案
4、（2009宁波十校联考）已知是等差数列，，则该数列前10项和=________
答案 100
三、解答题
1、（2009杭州二中第六次月考）数列中，其中且，是函数
的一个极值点．
（Ⅰ）证明: 数列是等比数列；
（Ⅱ）求．
（1）由题意得即，
，
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，
（2）即
，此式对也成立．
2、（2009滨州一模）已知曲线过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中．
（I）求与的关系式；
（II）令，求证：数列是等比数列；
（III）若（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有cn+1＞cn成立。
(1) 解：过的直线方程为
联立方程消去得
∴
即
（2）
∴是等比数列
，;
（III）由（II）知，，要使恒成立由=＞0恒成立，
即（－1）nλ＞-（）n－1恒成立．
ⅰ。当n为奇数时，即λ<（）n－1恒成立．
又（）n－1的最小值为1．∴λ<1． 10分
ⅱ。当n为偶数时，即λ>－（）n-1恒成立，
又－（）n－1的最大值为－，∴λ>－． 11分
即－<λ<1，又λ≠0，λ为整数，
∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有． 12分
3、（2009台州市第一次调研）已知数列的首项，前n项和.
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）记，为的前n项和，求的值.
解：（1）由①，得②，
②-①得：. 4分
（2）由求得. 7分
∴， 11分
∴. 14分
4、（2009上海青浦区）设数列的前和为，已知，，，，
一般地，（）．
（1）求；
（2）求；
（3）求和：．
（1）； ……3分
（2）当时，（）
， ……6分
所以，（）． ……8分
（3）与（2）同理可求得：， ……10分
设=，
则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得
，所以
． ……14分
5、（2009上海八校联考）已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形。
（1）证明:数列是等差数列；
（2）求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式；
（3）对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。
（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）
解: (1)依题意有,于是.
所以数列是等差数列. .4分
(2)由题意得,即 , () ①
所以又有. ②
由②①得：, 所以是常数． ６分
由都是等差数列.
，那么得 ,
. ( ８分
故 1０分
(3) 提出问题①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数
提出问题②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数
解：问题① 1１分
当为奇数时,,所以
当为偶数时,所以
作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：. １３分
当为奇数时,有,即 ①
， 当, 不合题意.15分
当为偶数时,有 ，,同理可求得
当时,不合题意. 1７分
综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或. 1８分
解：问题② 1１分
当为奇数时,,所以
当为偶数时,所以
作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：. １３分
当为奇数时,有,即 ①
， 当时，. 不合题意． 15分
当为偶数时,有 ，,同理可求得 .
；；当时，不合题意．1７分
综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为
；； ；1８分
6、（2009广州一模）已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，且a1=1.
(1)求证：数列{ an－×2n}是等比数列；
(2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)
(1)证法1：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，
∴ ……2分
由an+an+1=2n，得，故数列
是首项为，公比为－1的等比数列. ……4分
证法2：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，
∴ ……2分
∵
，
故数列是首项为，公比为－1的等比数列.
……4分
(2)解：由(1)得，即，
∴
……6分
∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]
， ……8分
要使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，
即对任意n∈N*都成立.
①当n为正奇数时，由(*)式得，
即，
∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1. ……10分
①当n为正奇数时，由(*)式得，
即，
∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1. ……10分
②当n为正偶数时，由(*)式得，
即，
∵2n－1>0，∴对任意正偶数n都成立.
当且仅当n=2时，有最小值1.5，∴λ<1.5. ……12分
综上所述，存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是(－∞，1).
……14分
7、（2009宣威六中第一次月考）已知数列满足，且
（1）用数学归纳法证明：；
（2）若，且，求无穷数列所有项的和。
解：
8、（2009广东三校一模）,是方程的两根,数列的前项和为,且
(1)求数列,的通项公式;
(2)记=,求数列的前项和.
解：(1)由.且得 2分
, 4分
在中,令得当时,T=,
两式相减得, 6分
. 8分
(2), 9分
,, 10分
=2
=, 13分
14分
9、（2009江门一模）已知等差数列和正项等比数列，，．
⑴求、；
⑵对，试比较、的大小；
⑶设的前项和为，是否存在常数、，使恒成立？若存在，求、的值；若不存在，说明理由．
解：⑴由，得-------1分 由且得-------2分
所以，-------4分
⑵显然，时，；时，，，-------5分
时，
-------6分 -------7分
因为、，所以时，-------8分
⑶-------9分，
恒成立，则有-------11分，解得，-------12分
，
-------13分
所以，当，时，恒成立-------14分
10、（2009汕头一模）在等比数列｛an｝中，an＞0 (nN＊），公比q(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，
a3与as的等比中项为2。
（1)求数列｛an｝的通项公式；
(2)设bn＝log2 an，数列｛bn｝的前n项和为Sn当最大时，求n的值。
解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，所以， + 2a3a5 +＝25
又an＞o，…a3＋a5＝5，…………………………2分
又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4
而q（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，，a1＝16，所以，
…………………………6分
（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，
所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列。。。。。。。。。9分
所以，
所以，当n≤8时，＞0，当n＝9时，＝0，n＞9时，＜0，
当n＝8或9时，最大。 …………………………12分
11、（2009深圳一模文）设数列的前项和为，，且对任意正整数,点
在直线上.
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.
（Ⅲ）求证： .
解：(Ⅰ)由题意可得：
①
时, ② …………………… 1分
①─②得， …………………… 3分
是首项为，公比为的等比数列， ……………… 4分
（Ⅱ）解法一: ……………… 5分
若为等差数列，
则成等差数列, ……………… 6分
得 ……………… 8分
又时，，显然成等差数列，
故存在实数，使得数列成等差数列. ……………… 9分
解法二: ……………… 5分
…………… 7分
欲使成等差数列,只须即便可. ……………8分
故存在实数，使得数列成等差数列. ……………… 9分
（Ⅲ） …… 10分
………… 11分
………… 12分
又函数在上为增函数，
， ………… 13分
，． ……… 14分
2009年联考题
一、选择题
1.(北京市朝阳区2009年4月高三一模理)各项均不为零的等差数列中，若，则等于 （ ）
A．0 B．2 C．2009 D．4018
答案 D
2. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理) 若数列是公比为4的等比数列，且
，则数列是（ ）
A. 公差为2的等差数列 B. 公差为的等差数列
C. 公比为2的等比数列 D. 公比为的等比数列
答案 A
3.（2009福州三中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
答案 B
4.（2009厦门一中文）在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
答案 A
5.（2009长沙一中期末）各项不为零的等差数列中，，则的值为 （ ）
A． B．4 C． D．
答案 B
6.（2009宜春）在等差数列中，，，则数列的前9项之和等于 （ ）
A.66 B．99 C．144 D.．297
答案 B
7.（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟）设等差数列的前n项和为
（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
答案：C.
二、填空题
8.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值为 ．
答案
9.（2009福州八中）已知数列则＿＿＿＿ , ＿＿＿＿
答案 100． 5000；
10.（2009宁乡一中第三次月考）11、等差数列中，且，则公差=
答案 10
11.（2009南京一模）已知等比数列的各项均为正数，若，前三项的和为21 ，
则
答案168
12.（2009上海九校联考）已知数列的前项和为，若，则 .
答案 128
三、解答题
13.（2009龙岩一中）设正整数数列满足：，当时，有．
（I） 求、的值；
（Ⅱ）求数列的通项；
(Ⅲ) 记，证明，对任意， .
解（Ⅰ）时，，由已知，得，
因为为正整数，所以，同理………………………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：。…………………………………………3分
证明：①时，命题成立；
②假设当与时成立，即，。……………4分
于是，整理得：，……………………………5分
由归纳假设得：，…………………6分
因为为正整数，所以，即当时命题仍成立。
综上：由知①②知对于，有成立．………………………………7分
(Ⅲ)证明：由 ③
得 ④
③式减④式得 ⑤…………………9分
⑥
⑤式减⑥式得
…………………11分
…………13分
则 ．……………………………………………………14分
14.（2009常德期末）已知数列的前n项和为且，数列满足且．
（１）求的通项公式；
（２）求证：数列为等比数列;
