【数学】2019届一轮复习人教A版（理）计数原理与概率与统计学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理）计数原理与概率与统计学案

‎【热点知识再梳理——胸有成竹】‎ 热点一：排列组合问题 ‎[1] 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，注意应用解题策略——相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果．常用解题途径有：‎ ‎(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．‎ ‎(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．‎ ‎(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．‎ ‎[2]在应用通项公式时，要注意以下几点：‎ ‎①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；‎ ‎②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；‎ ‎③公式中，a，b的指数和为n且a，b不能随便颠倒位置；‎ ‎④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．‎ ‎[3]在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．‎ ‎1．【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测】《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）‎ A. 240种 B. 188种 C. 156种 D. 120种 ‎【答案】D ‎【解析】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.‎ ‎2．【陕西省渭南市2017届高三二模】在某商业促销的最后—场活动中，甲、乙、丙、丁、戊、已名成员随机抽取个礼品，每人最多抽一个礼品，且礼品全被抽光， ‎ 个礼品中有两个完全相同的笔记本电脑，两个完全相同的山地车，则甲、乙两人都抽到礼品的情况有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 9 种 ‎【答案】A ‎【解析】若甲乙抽取的一个笔记本电脑和一个山地车，剩下2个礼品，‎ 被剩下的4人中的2个人抽取,有4种，‎ 若甲乙抽取的都是笔记本电脑或两个山地车，剩下2个礼品，‎ 被剩下的4人中的2个人抽取,有种，‎ 根据分类计数原理可得，共有24+12=36种，‎ 故选：A. ‎ ‎3.【湖南省株洲市2018届高三年级教 质量统一检测】展开式中的系数为( )‎ A. 14 B. -14 C. 56 D. -56‎ ‎【答案】B ‎4.【山西省运城市2017届高三4月模拟】的展开式中项的系数为20，则实数=__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】的展开式的通项为，令，解得，则，解得.‎ 热点二：古典概型与几何概型 ‎[4]解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．‎ ‎[5]当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎5.【湖北省荆州市2018届高三质量检查（III）】已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）‎ 注：，.‎ A. 6038 B. 6587 C. 7028 D. 7539‎ ‎【答案】B : xx ]‎ ‎ ‎ ‎6. 【山西省运城市2017届高三4月模拟】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不少于20分钟的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据几何概型可知:等待时间不少于20分钟的概率为，故选择C. ‎ ‎7．【新疆维吾尔自治区2018届高三第二次适应性（模拟）检测】在直线， ， ， 围成的区域内撒一粒豆子，则落入， ， 围成的区域内的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意，直线所围成的区域为一个长为，高为的矩形，所以其的面积为，‎ ‎ 又由，解得，‎ ‎ 所以由所围成的区域的面积为 ‎，‎ 所以概率为. ‎ ‎8.从中任取两个不同的数字，分别记为，则为整数的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ 热点三：统计与统计案例 ‎[6]在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．‎ ‎(1)在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法 ‎①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．‎ ‎②平均数：在频率分布直方图中，平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．‎ ‎(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．‎ ‎[7]回归分析：线性回归分析以散点图为基础，具有很强的直观性，有散点图作比较时，拟合效果的好坏可由直观性直接判断，没有散点图时，只须套用公式求r，再作判断即可．独立性检验没有直观性，必须依靠作判断．‎ ‎ (1)回归直线必过点；(2)与符号相同.(3)线性回归分析 就是分析求出的回归直线是否有意义，而判断的依据就是|r|的大小：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱.从散点图来看，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。‎ ‎9．某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：‎ 气温（℃）‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎-1‎ 用电量（度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得到线性回归方程，当气温为℃时，预测用电量均为（ ）‎ A. 68度 B. 52度 C. 12度 D. 28度 ‎【答案】A ‎【解析】由表格可知， ，根据回归直线方程必过得，因此当时， ，故选择A. ‎ ‎10．【江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试】已知具有线性相关的五个样本点，，，，，用最小二乘法得到回归直线方程，过点，的直线方程，那么下列4个命题中，‎ ‎①；②直线过点；③‎ ‎④.(参考公式，)‎ 正确命题的个数有( )‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B 综上可得，正确命题的个数有2个.‎ 本题选择B选项.‎ ‎11.【湖北省荆州市2018届高三质量检查（III）】手机中的“运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的朋友圈里有大量好友参与了“运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：‎ 男 ‎0[ : ]‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎2‎ 女 ‎1‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有名，求的分布列和数 期望；[ : . . ]‎ ‎（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？‎ 积极型 消极型 总计 男 女 总计 附：.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由题意得在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为，‎ 然后根据题意可得的所有可能取值分别为0，1，2，3，分别求出概率后可得的分布列，然后可求得期望．（Ⅱ）结合题意可完成列联表，由表中数据得到，故可得没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．‎ 故随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴ . * ‎ ‎（Ⅱ）完成列联表 积极型 消极型 总计 男 ‎9‎ ‎6‎ ‎15‎ 女 ‎4‎ ‎11‎ ‎15‎ 总计 ‎13‎ ‎17‎ ‎30‎ 由表中数据可得 .‎ ‎∴没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.‎ 热点四：离散型随机变量及其分布列 ‎[8]求离散型随机变量均值的方法步骤：‎ ‎(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；‎ ‎(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E(ξ)．需要注意的是：E(ξ)是一个实数，即ξ作为随机变量是可变的，而E(ξ)是不变的．‎ ‎[9]求离散型随机变量的分布列的突破口：首先，明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值时所表示的意义；其次，利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率，如本例中，利用古典概型的概率公式求出随机变量取各个值时的概率；最后，列表格写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．‎ ‎[10]离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．‎ ‎[11]离散型随机变量ξ的方差D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度，D(ξ)越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散，反之，D(ξ)越小，ξ的取值越集中在E(ξ)附近，统计中常用标准差来描述ξ的分散程度．正确求出分布列是求均值和方差的前提，有时善于使用公式，可简化计算.‎ ‎12．【宁夏石嘴山市2018届高三4月适应性测试（一模）】某中 每年暑假举行“ 思维讲座”活动，每场讲座结束时，所有听讲者都要填写一份问卷调查.2017年暑假某一天五场讲座收到的问卷分数情况如下表：‎ 用分层抽样的方法从这一天的所有问卷中抽取300份进行统计，结果如下表:‎ ‎（1）估计这次讲座活动的总体满意率；[ : XX ]‎ ‎（2）求听数 讲座的甲某的调查问卷被选中的概率；‎ ‎（3）若想从调查问卷被选中且填写不满意的人中再随机选出5人进行家访，求这5人中选择的是理综讲座的人数的分布列及数 期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将每一 目的满意人数加到一起，除以总人数即可；（2）甲的调査问卷被选中的概率为；（3）根据古典概型的计算得到相应人数下的概率值，进而得到分布列和均值.‎ 所以的分布列为 ‎ . ‎ 点睛：求解离散型随机变量的数 期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数 期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.‎ ‎13．【山西省运城市2017届高三4月模拟】某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为.‎ ‎(1)若出现故障的机器台数为，求的分布列；‎ ‎(2) 该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90 ？‎ ‎(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）至少要3名工人（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先利用题意判定该随机变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求出每个变量对应的概率，再列表得到分布列；（2）利用互斥事件至少有一个发生的概率公式进行求解；（3）列出随机变量的所有可能取值，利用对应关系得到每个变量的概率，列表得到分布列，进而得到期望值.‎ ‎（2）设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为，即， ， ， ，这个互斥事件的和事件，则 ‎ ,‎ 至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90 .‎ ‎ ‎ 则，[ : ]‎ 故该厂获利的均值为.‎ ‎14．【宁夏银川一中2018届高三第二次模拟考试】随着互联 的快速发展，基于互联 的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：‎ ‎（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并 预测公司2017年4月的市场占有率；‎ ‎（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为元/辆和1200元/辆的、两款车型可供选择，按规定每辆单车最 多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各100辆进行 模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如右表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？‎ 参考公式：回归直线方程为，其中， ．‎ ‎【答案】(1) 预测公司2017年4月份(即时)的市场占有率为;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析： 求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论 ‎ 分别求出每款车相对应的数 期望，然后对比即可得到结论 ‎ ‎ ‎(2)由频率估计概率，每辆款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为、、、，‎ ‎∴每辆款车的利润数 期望为 (元)‎ 每辆款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为， ， ， ，‎ ‎∴每辆款车的利润数 利润为 ‎ (元)‎ ‎∵，‎ ‎∴应该采购款车.‎