福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷（一）数学（文）试题

福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷（一）数学（文）试题

福建省2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷 文 科 数 学（一）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设复数满足，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎2．已知集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎3．若椭圆的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎4．甲、乙、丙三部门组织人员报名参加一项志愿者活动，已知甲、乙两部门各报了2人，丙部门报了1人，若从这5人中随机抽取3人，则这3人来自不同部门的概率为 A． B． C． D．‎ ‎5．已知函数是上的奇函数，当时，，则在处的切线的斜率为 A． B． C． D．‎ ‎6． 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知某圆锥的母线与底面所成的角为，轴截面的面积为，则该圆锥的侧面积为 A． B． C． D． ‎ ‎8． 2020年是‎5G的爆发之年，5月中国信通院发布了2020年4月国内手机市场运行分析报告，该报告统计了从2019年7月到2020年4月这十个月国内手机市场总出货量与国内‎5G手机出货量占同期手机出货量比重变化情况（简称市场占比），得到下面两个统计图，‎ 则下列描述不正确的是 A．2020年4月国内‎5G手机出货量是这十个月中的最大值 B．从2019年7月到2020年2月，国内‎5G手机出货量保持稳定增长 C．相比2020年前4个月，2019年下半年的国内手机市场总出货量相对稳定 D．2019年12月到2020年1月国内‎5G手机市场占比的增长率比2020年1月到2月的增长率大 ‎ ‎9．若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．中，角的平分线交于，已知，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数则在的所有零点之和等于 A． B． C． D．‎ ‎12．已知半径为的球与正方体的六个面均相切，为球的球面上的动点，若，则的轨迹对应的曲线长度为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．已知向量，且，则实数_____________．‎ ‎14．角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则_____________．‎ ‎15．若椭圆的左焦点是，坐标原点为，给定上的任意一点，则的最小值为_____________．‎ ‎16．点为函数图象上一点，已知向右平移个单位后仍落在上．‎ ‎①‎ ‎②存在这样的，使得上任一点向左平移后仍在上 ‎③存在这样的，使得上的点向右平移后仍在上 ‎ ‎④若在单调递减，则 上述四个结论中，所有正确结论的编号为_____________． ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）‎ 记为正项数列的前项和，已知．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记为正项等比数列的前项和，且，，若，求的最小值．‎ ‎18．（12分）‎ 某百货公司旗下有甲、乙两家分店．为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）经计算得到甲店日销售额的平均数为，方差为．‎ ‎①估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎②若公司规定，分店一年（按360天计算）中日销售额不低于58万的天数应不少于90天，结合上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求？‎ ‎（2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由． ‎ ‎19．（12分）‎ 如图，在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，．‎ ‎（1）点在侧棱上，且平面，证明：为的中点；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离．‎ ‎ ‎ ‎20．（12分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围．‎ ‎21．（12分）‎ 已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作的两条切线，切点分别为，记△的外接圆为，不论取何值，试判断以为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，将曲线绕点顺时针旋转得到曲线．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和直角坐标方程；‎ ‎（2）过点的直线交曲线于两点，求的最小值．‎ ‎23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）‎ 已知函数． ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集； ‎ ‎（2），，求的取值范围．‎ ‎2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷 文科数学试题答案及评分参考 评分说明：‎ ‎ 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．B ‎ ‎7．C 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D ‎1．【解析】依题意，，则其在复平面内对应的点位于第四象限，故选D．‎ ‎2．【解析】依题意，，则，故选B．‎ ‎3．【解析】椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，设双曲线，则有，故其离心率，故选 A． ‎ ‎4．【解析】设甲部门的两人为，乙部门的两人为，丙部门的一人为，‎ 从中随机抽取3人，则所有基本事件为，，，，，，，，，，共10种；‎ ‎3人来自不同部门包含的基本事件为，，，，共4种；‎ 则3人来自不同部门的概率为．故选D． ‎ ‎5．【解析】方法一：由函数是上的奇函数可得，当时，，所以 ‎，所以，由导数的几何意义可得所求切线的斜率为，故选A．‎ 方法二：当时，，所以，因为函数是上的奇函数，可导的奇函数的导数是偶函数，所以，由导数的几何意义可得所求切线的斜率为，故选A．‎ ‎6．【解析】由程序框图可知，函数，绘制图象如下所示，结合图象可知，当时，，故选．‎ ‎7．【解析】 如图是圆锥的轴截面，由题意可得，，所以△是等边三角形，设圆锥底面圆半径为，则，‎ 所以，所以，所以圆锥侧面积为 ‎，故选C．‎ ‎8．【解析】因为2020年4月国内手机市场总出货量和国内‎5G手机市场占比均为十个月中的最大值，所以国内‎5G手机出货量最大，故A正确；‎ 从2019年7月到2020年2月，国内‎5G手机的市场占比保持稳定增长，受国内手机总出货量影响，2月国内‎5G手机的出货量比1月有所下降，故B错误；‎ 由上图知，相比2020年前4个月，2019年下半年的国内手机市场总出货量相对稳定，故C正确；2019年12月到2020年1月国内‎5G手机市场占比的增长率为，2020年1月到2月的增长率为，前者大，故D正确；故选B．‎ ‎9．【解析】通过，或构造函数，根据其在单调递增，可知，故A错误；‎ 因为与大小不能确定，故B错误；‎ 因为，所以，故C正确；‎ 令，则，故D错误．故选C．‎ ‎10．【解析】解法一：依题意，，，由正弦定理可知，‎ 中，①；中，②，‎ 将①÷②，得，故设，则，‎ 又因为③，由余弦定理可知，‎ 中，④；中，⑤，‎ 联立③④⑤，可求得，故，故选A．‎ 解法二：过作，‎ 因为，所以，‎ 由角平分线定理可知，，若设，则，．‎ 在中，①‎ 在中，②‎ 联立①②可得，故，故选A．‎ ‎11．【解析】由已知可作出函数的部分图象，可得当时与的图象的交点的横坐标分别为，‎ 所以在的所有零点之和等于5，故选C．‎ ‎12．【解析】依题意，的轨迹为平面与球的截面对应的圆．‎ 依题意，可计算得，，记的中点为，‎ 在直角中，可求得，故圆的周长为，故选．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．【解析】解法一：由已知，得，根据得 ‎，解得．‎ 解法二：由 ，得构成以为斜边的直角三角形，‎ 又，由勾股定理，得，即，解得．‎ ‎14．【解析】由已知可得，．‎ ‎15．【解析】解法一： 由已知，得设，‎ 则 ‎ ‎ 解法二：设，‎ 所以 令，则，‎ 当，‎ 解法三：由中线定理，得 设，‎ 则（令）‎ ‎，‎ 所以．‎ ‎16．【解析】由已知可得，图象的周期为，或一条对称轴为，‎ 故或，所以①错误；‎ 存在，，所以②正确；‎ 因为图象有一条对称轴为，则关于的对称点为，故存在，使得上的点向右平移后仍在上 ，所以③正确；‎ 因为时，在单调递减，且，故时，在单调递减也成立，所以④错误．故选②③．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）‎ 记为正项数列的前项和，已知．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记为正项等比数列的前项和，且，，若，求 的最小值．‎ ‎【命题意图】本题主要考查递推数列、等差数列、等比数列通项与和等基础知识；考查运算求解、推理论证等基本能力；考查分类与整合、化归与转化基本思想；取向数学运算、逻辑推理核心素养．‎ 解析：（1）当时，，可得． 1分 当时，由①，可得②． 2分 ‎①—②得：． 3分 整理得．因为，所以， 5分 所以． 6分 ‎（2）依题意，设为的公比，，，‎ 又，所以， 8分 所以， 10分 所以，‎ 由，得，故所求的最小值为5． 12分 ‎18．（12分）‎ 某百货公司旗下有甲、乙两家分店．为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）经计算得到甲店日销售额的平均数为，方差为．‎ ‎①估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎②若公司规定，分店一年（按360天计算）中日销售额不低于58万的天数应不少于90天，结合上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求？‎ ‎（2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由． ‎ ‎【命题意图】本题主要考查平均数、方差、直方图基础知识；考查数据处理、运算求解基本能力；或然与必然的统计概率基本思想；取向数据分析、数学运算核心素养．‎ 解法一：（1）①估计算乙店的日销售额平均数为． 4分 ‎②日销售额超过58万的天数占比不少于， 6分 甲日销售额不低于58万的概率约为， 8分 乙日销售额不低于58万的概率约为，‎ 两者均大于，两店均有达到这一规定的要求． 10分 ‎（2）答案不唯一，但需结合数据与统计概率相关知识加以说理，方能给分．‎ 答案一：甲店日销售额平均值略高于乙店，经计算，乙店方差为771，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；‎ 答案二：甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知，甲店的销售额方差明显低于甲店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；‎ 答案三：虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在80万-100万出现的概率比甲店高，故我认为乙店更有潜力，所以我选乙店． 12分 解法二：（1）①同解法一． 4分 ‎②日销售额超过58万的天数占比不少于； 6分 由甲店的频率分布直方图可知，若甲店日销售额不低于万元时的概率不低于，‎ 则， 8分 由乙店的频率分布直方图可知，乙店日销售额不低于60万元的概率约为，两店均有达到这一规定的要求． 10分 ‎（2）同解法一． 12分 ‎19．（12分）‎ 如图，在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，．‎ ‎（1）点在侧棱上，且平面，证明：为的中点；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离． ‎ ‎【命题意图】本题主要考查线面平行、线面垂直、多面体的体积、点面距等基础知识；考查空间想象、运算求解、推理论证等基本能力；考查转化与化归、数形结合等基本思想；取向数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．‎ 解析：（1）设，在正六边形中，易知为中点． 1分 因为平面，平面，平面平面，‎ 所以． 3分 因为为中点，所以为的中点． 4分 ‎（2）设，连结．‎ 在正六边形中，易得，．‎ 又因为，所以． 5分 在正六边形中，，所以，．‎ 又因为，所以．‎ 因为，所以，即． 6分 ‎，，，平面，‎ 所以平面． 8分 平面，平面，所以平面平面，‎ 又因为平面，，平面平面，‎ 所以平面，又因为，所以平面，‎ 又因为平面，所以，易得． 10分 记为点到平面的距离，由， 11分 可得，可得． 12分 ‎20．（12分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围．‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数单调性、零点基础知识；考查运算求解、推理论证基本能力；考查数形结合、分类与整合等基本思想；取向数学运算、逻辑推理等核心素养．‎ 解法一：（1）． 1分 ‎①当时，，所以，所以在上递减． 2分 ‎②当时，由可得，由可得，‎ 所以在上递减，在上递增． 4分 ‎（2）①当时，由（1）可知，在上递减，不可能有两个零点． 5分 ‎②当时，，令，则，所以在上递增，而， 7分 当时，，从而没有两个零点． 8分 当时，，‎ 在上取，，‎ 所以在上有个零点； 10分 在上取，‎ 因为，‎ 所以在上有个零点．综上所述，的取值范围为． 12分 解法二：（1）同解法一． 4分 ‎（2）方程等价于，所以有两个零点等价于有两个解， 5分 令，‎ 则， 7分 令，则，所以在上递增， 8分 而，所以当时，，，当时，，，所以在上递增，在上递减． 10分 ‎，当时，，当时，．若有两个零点，则与有两个交点，所以的取值范围是． 12分 解法三：（1）同解法一． 4分 ‎（2）问题等价于方程有两个解，即． ‎ 令，，‎ 则有两个零点等价于与有两个交点． 6分 因为，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，，当时，． 8分 是斜率为，过定点的直线．‎ 当与相切的时候，设切点，‎ 则有，消去和，可得，‎ 即，即． 10分 令，显然是增函数，且，‎ 于是，此时切点，斜率． 11分 所以当与有两个交点时，，所以的取值范围是． 12分 ‎21．（12分）‎ 已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作的两条切线，切点分别为，记△的外接圆为，不论取何值，试判断以为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎【命题意图】本题主要考查曲线的方程、垂直平分线的性质等基础知识；考查运算求解能力；体现数形结合思想；取向逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养．‎ 解析：（1）依题意，得， 1分 ‎ 假设点的坐标为，则， 3分 ‎ 化简，得到，所以点的轨迹的方程是. 4分 ‎ ‎（2）解法一：假设，，‎ 抛物线方程化成，求导，得， 5分 ‎，中垂线的斜率是中点坐标是 的中垂线方程是， 6分 ‎ 又即 代入上面式子，得 同理可得的中垂线方程是， 7分 ‎ 联立方程，得圆心坐标是. 8分 ‎ 以为直径的圆的方程为 9分 化简整理，得，‎ 即 10分 ‎ 由的任意性，得，‎ 即，解得， 11分 所以以为直径的圆恒过定点． 12分 ‎ 解法二：（1）同解法一； 4分 ‎（2）假设，，‎ 抛物线方程化成，求导得， 5分 ‎，中垂线的斜率是中点坐标是，‎ 的中垂线方程是， 6分 ‎ 又即 代入上面式子，得 同理可得的中垂线方程是， 7分 ‎ 联立方程，得圆心坐标. 8分 ‎ 由对称性可知，定点存在且必在轴上，设为点，则 ‎， 9分 则 ‎ 10分 由的任意性，得，解得， 11分 ‎ 所以以为直径的圆恒过定点． 12分 ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，将曲线绕点顺时针旋转得到曲线．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和直角坐标方程；‎ ‎（2）过点的直线交曲线于两点，求的最小值．‎ ‎【命题意图】本题主要考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程、参数几何意义基础知识；考查推理论证、运算求解等基本能力；考查数形结合、化归与转化等基本思想；取向数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．‎ 解析：（1）设是曲线上任意一点，‎ 则绕点逆时针旋转得到点 2分 因为在曲线上，所以=1，‎ 化简得曲线的极坐标方程是． 3分 可得，将代入即得 曲线直角坐标方程． 5分 ‎（2）设直线的参数方程为（为参数） 6分 代入直角坐标方程得， 7分 设点对应的参数分别为，则， 8分 由参数的几何意义得， 9分 当且仅当时，取得最小值1． 10分 ‎23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）‎ 已知函数． ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集； ‎ ‎（2），，求的取值范围．‎ ‎【命题意图】本题主要考查绝对值不等式基础知识；考查运算求解基本能力；考查函数与方程、分类与整合、数形结合等基本思想；取向数学运算核心素养．‎ 解析：（1）当时，‎ 当时，无解，故不成立； 1分 当时，，解得； 3分 当时，恒成立，综上所述，． 5分 ‎（2），等价于， 7分 即， 8分 得． 10分