湖南省长沙市长沙县第九中学2020届高三模拟考试数学（文）试卷
数学（文）
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案B
2. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）。
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴复数的虚部是，
故选：B．
3.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案D
4.已知命题p：;命题q：若,则a
0.75，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）∴＝0.7，＝1.05，∴＝0.7x＋1.05.
将x＝6代入回归直线方程，
得＝0.7×6＋1.05＝5.25(小时)．
∴预测包装10个商品包装需要5.25小时．
（3）由题意可得
当掌握知识点个数x=3时，学生的学习功效值z取最大值9.
20. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.
（1）求的方程；
（2）若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点.
【答案】（1）或； （2）证明见解析．
【解析】
（1）当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即.
当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即，
综上可知：的方程为或. ············4分
（2）因为点在上，所以曲线的方程为. ········5分
设点，
直线，显然存在，联立方程有：.··········7分,
即即.··········9分
直线即············11分
直线过定点. ············12分
21. 已知函数
(1)求函数在区间的最小值;
(2)若函数在上有两个零点且﹐证明:
【解】（1）由，令，则
在上单调递增，又
所以存在，使得，所以在上，单调递减，
在上，单调递增，又，所以对
恒成立，即，所以函数在区间单调递减，
(2)证明：由（1）知函数在区间单调递减，
时，单调递增，又
所以时，，所以函数在区间单调递增，
函数在上有两个零点即与的图像有两个交点，则，且. 要证只需证,又
只需证,又,只需证,即证.
设即
,所以在单调递增,
所以,所以成立,故
（二）选作题（10分）：请考生在第22、23题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分．
22.在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线
的参数方程是，在以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线的极坐标方程是.
(1) 写出及的极坐标方程；
(2) 已知，与交于两点，与交于两点，求的最大值.
解：(1)直线的极坐标方程是；
曲线的极坐标方程是
(2)：，
23.(1)已知函数，解不等式
(2)已知均为正数，求证：
解：(1)当时，原不等式化为
当时，原不等式化为
当时，原不等式化为
综上所知：原不等式的解集为
(2)证明：
，当且仅当时等号成立
以上三个式子相加可得：
