2017-2018学年广东省中山市高二上学期期末数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年广东省中山市高二上学期期末数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知命题p：∃x0∈R，log2（3+1）≤0，则￢p：（　　）‎ A．∃x0∈R，log2（3+1）＞0 B．∀x0∈R，log2（3x+1）≤0‎ C．∀x∈R，log2（3x+1）＞0 D．∀x∉R，log2（3x+1）＞0‎ ‎2．（5分）设a＜b＜0，则下列不等式中不正确的（　　）‎ A．＞ B．＞ C．|a|＞﹣b D．＞‎ ‎3．（5分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=，则A=（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎4．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A向北偏东30°方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（　　）‎ A．50m B．100m C．120m D．150m ‎6．（5分）已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4=40，Sn=210，Sn﹣4=130，则n=（　　）‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ ‎7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（　　）‎ A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3‎ ‎8．（5分）直线与曲线相切，则b的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C． D．1‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）椭圆+=1上一点M到左焦点F1的距离为4，N是MF1的中点，则|ON|=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．‎ ‎11．（5分）已知点P为双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，使 （O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，在同一个坐标系中，an=f（n）及Sn=g（n）的部分图象如图所示，则（　　）‎ A．当n=4时，Sn取得最大值 B．当n=3时，Sn取得最大值 C．当n=4时，Sn取得最小值 D．当n=3时，Sn取得最小值 ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）抛物线y=8x2的准线方程为　 　．‎ ‎14．（5分）已知ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为　 　．‎ ‎15．（5分）已知x＞0，y＞0且+=1，则xy的最大值为　 　．‎ ‎16．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017ex＜0的解集是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共计70分）‎ ‎17．（10分）已知p：方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：实数t满足不等式t2﹣（a﹣1）t﹣a＜0．‎ ‎（Ⅰ）若p为真命题，求实数t的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=2﹣2an．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c=0．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求△ABC的面积．‎ ‎20．（12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：．（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．‎ ‎（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；‎ ‎（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？‎ ‎21．（12分）在平面直角坐标系xOy，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，若直线l与该椭圆交于P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数，求证：直线l的斜率为定值．‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知命题p：∃x0∈R，log2（3+1）≤0，则￢p：（　　）‎ A．∃x0∈R，log2（3+1）＞0 B．∀x0∈R，log2（3x+1）≤0‎ C．∀x∈R，log2（3x+1）＞0 D．∀x∉R，log2（3x+1）＞0‎ ‎【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，log2（3+1）≤0，则￢p：∀x∈R，log2（3x+1）＞0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设a＜b＜0，则下列不等式中不正确的（　　）‎ A．＞ B．＞ C．|a|＞﹣b D．＞‎ ‎【分析】运用不等式的性质和函数的单调性，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：a＜b＜0，‎ 则＞，A正确；‎ a﹣b＜0，0＞a﹣b＞a，‎ 可得＜，‎ 则B不正确；‎ ‎|a|=﹣a＞﹣b，则C正确；‎ 由﹣a＞﹣b＞0，可得＞，‎ 则D正确．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查不等式的性质和函数的单调性的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=，则A=（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎【分析】由已知及正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．‎ ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosA===，‎ ‎∵A∈（0，π），‎ ‎∴A=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵S3=a2+10a1，a5=9，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A向北偏东30°方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（　　）‎ A．50m B．100m C．120m D．150m ‎【分析】如图所示，AO⊥平面OCD．CD=100．∠ACO=30°，∠ADO=45°．∠ODC=60°．设OA=h．在Rt△OAD，可得OD=h．同理可得：OC=h．在△OCD中，利用余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，AO⊥平面OCD．CD=100．‎ ‎∠ACO=30°，∠ADO=45°．∠ODC=60°．‎ 设OA=h．‎ 在Rt△OAD，则OD=h．‎ 同理可得：OC=h．‎ 在△OCD中，OC2=OD2+CD2﹣2OD•CD•cos60°．‎ ‎∴（h）2=h2+1002﹣2×h×100×，‎ 化为：h2+50h﹣5000=0，‎ 解得h=50．‎ 因此水柱的高度是50m．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了解三角形、直角三角形的边角关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4=40，Sn=210，Sn﹣4=130，则n=（　　）‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ ‎【分析】由题意可得a1+a2+a3+a4=40，并且an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=80，结合等差数列的性质可得a1+an=30，进而利用等差数列的前n项和公式可得答案．‎ ‎【解答】解：因为S4=40，所以a1+a2+a3+a4=40，‎ 因为Sn﹣Sn﹣4=80，所以an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=80，‎ 所以根据等差数列的性质可得：4（a1+an）=120，即a1+an=30．‎ 由等差数列的前n项和的公式可得：，并且Sn=210，‎ 所以解得n=14．‎ 故选B．‎ ‎【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质，以及等差数列的前n项和的公式．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（　　）‎ A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3‎ ‎【分析】‎ 先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值 ‎【解答】解：画出可行域如图阴影区域：‎ 目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，‎ 数形结合可知，当动直线过点A时，z最小 由得A（0，1）‎ ‎∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=3×0﹣2×1=﹣2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）直线与曲线相切，则b的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C． D．1‎ ‎【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，‎ 再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值．‎ ‎【解答】解：设切点坐标为（m，n）‎ y′|x=m=﹣=‎ 解得 m=1‎ ‎∵切点（1，n）在曲线的图象上，‎ ‎∴n=﹣，‎ ‎∵切点（1，﹣）又在直线上，‎ ‎∴b=﹣1．‎ 故答案为：B ‎【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．‎ ‎【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，‎ ‎∴f′（x）=x﹣sinx，‎ ‎∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，‎ 又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）椭圆+=1上一点M到左焦点F1的距离为4，N是MF1的中点，则|ON|=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义及中位线定理即可求得丨ON丨的值．‎ ‎【解答】解：设椭圆的焦点F2，连结F2M，由M为F1F2的中点，‎ 则ON为三角形F1F2M的中位线，‎ 则丨ON丨=丨MF2丨，‎ 由椭圆的定义可知：丨MF1丨+丨MF2丨=2a=10，丨MF1丨=4，‎ 则丨MF2丨=6，‎ 则丨ON丨=3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义，三角形的中位线定理的应用，考查数形结合思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知点P为双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，使 （O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先由：∵，判断出∠F1PF2=90°，再由|=||，解，求出c，由此得到双曲线离心率．‎ ‎【解答】解：∵（O为坐标原点），‎ ‎∴，∴||=||=||=c，‎ ‎∴∠F1PF2=90°，‎ 设|PF2|=x，则|PF1|=，‎ ‎，解得，‎ ‎∴=（）a，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意平面向量数量积的运算．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，在同一个坐标系中，an=f（n）及Sn=g（n）的部分图象如图所示，则（　　）‎ A．当n=4时，Sn取得最大值 B．当n=3时，Sn取得最大值 C．当n=4时，Sn取得最小值 D．当n=3时，Sn取得最小值 ‎【分析】由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4．②a7=0.7，S7‎ ‎=﹣0.8，S8=﹣0.4．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．分别利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可判断出．‎ ‎【解答】解：根据题意，由图象可知有4种可能：‎ ‎①，a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3；‎ 分析可得S7==28＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去；‎ ‎②，a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，则═﹣0.4，‎ 解得a1=﹣0.5，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去；‎ ‎③，a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，‎ 解得a1=1，∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去．‎ ‎④，a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4，由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，‎ ‎∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，‎ 解可得n≤=4+，‎ 当n=4时，Sn取得最大值；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了数形结合的思想方法、分类讨论的方法，注意对图象的可能情况进行分类讨论．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）抛物线y=8x2的准线方程为　y=﹣　．‎ ‎【分析】直接利用抛物线方程求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y=8x2，抛物线的标准方程为：x2=，‎ 该抛物线的准线方程为y=﹣．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为　{x|x＜或x＞1}　．‎ ‎【分析】根据不等式ax2+bx+c＞0的解集求得a、b、c的关系，‎ 再化简不等式cx2+bx+a＜0，求出它的解集即可．‎ ‎【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，‎ ‎∴1，2是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0，‎ ‎∴，‎ 解得b=﹣3a，c=2a；‎ ‎∴不等式cx2+bx+a＜0化为2ax2﹣3ax+a＜0，‎ ‎2x2﹣3x+1＞0‎ 解得x＜，或x＞1；‎ ‎∴所求不等式的解集为{x|x＜或x＞1}．‎ 故答案为：{x|x＜或x＞1}．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知x＞0，y＞0且+=1，则xy的最大值为　3　．‎ ‎【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得xy=12（）（）≤12×[（+）]2，计算即可得答案．‎ ‎【解答】解：已知x＞0，y＞0且+=1，‎ xy=12（）（）≤12×[（+）]2=3；‎ xy的最大值为3；‎ 故答案为：3‎ ‎【点评】本题考查基本不等式的性质与应用，关键是对xy的变形．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017ex＜0的解集是　（0，+∞）　．‎ ‎【分析】根据题意，设g（x）=，结合题意对其求导分析可得g（x）=为减函数，进而分析，可以将原不等式转化为g（x）＜g（0），分析可得x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设g（x）=，‎ 其导数g′（x）==，‎ 又由对任意的实数x，有f（x）＞f′（x），‎ 则有g′（x）＜0，函数g（x）=为减函数，‎ 又由f（x）+2017为奇函数，则有f（0）+2017=0，即f（0）=﹣2017，‎ f（x）+2017ex＜0⇒f（x）＜﹣2017ex⇒＜﹣2017⇒g（x）＜g（0），‎ 又由g（x）=为减函数，‎ 则有x＞0，‎ 即不等式f（x）+2017ex＜0的解集是（0，+∞）；‎ 故答案为：（0，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的综合应用，关键是构造新函数．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共计70分）‎ ‎17．（10分）已知p：方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：实数t满足不等式t2﹣（a﹣1）t﹣a＜0．‎ ‎（Ⅰ）若p为真命题，求实数t的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）若p为真命题，根据椭圆的方程的特点建立不等式关系即可求实数t的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，‎ 所以3﹣t＞t+1＞0，解得﹣1＜t＜1，‎ 即实数t的取值范围是{t|﹣1＜t＜1}；…（5分）‎ ‎（Ⅱ）因为p是q的充分不必要条件，‎ 所以﹣1＜t＜1是不等式t2﹣（a﹣1）t﹣a＜0的解集的真子集，‎ 因为t2﹣（a﹣1）t﹣a=0的两根为﹣1，a，所以只需a＞1，‎ 即实数a的取值范围{a|a＞1}…（10分）‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，以及充分条件和必要条件的判断，利用定义法是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=2﹣2an．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用递推关系式推出，即可证明数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）化简数列的通项公式，然后求解数列的和即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：因为Tn=2﹣2an，所以T1=2﹣2T1，即，所以 又，所以TnTn﹣1=2Tn﹣1﹣2Tn（n≥2），‎ 即，‎ 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列…（6分）‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，‎ 所以 所以…（12分）‎ ‎【点评】本题考查数列的递推关系式应用，数列求和，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c=0．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理化简已知的式子，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；‎ ‎（2）由题意和平方关系求出sinB，由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC，由正弦定理求出a和c关系，根据题意和余弦定理列出方程，代入数据求出a、c，由三角形的面积公式求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，acosC+asinC﹣b﹣c=0，‎ 由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0，‎ 由sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）得，‎ sinAcosC+sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC=0，‎ 则sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC=0，‎ 又sinC≠0，则sinA﹣cosA=1，‎ 化简得，，即，‎ 又0＜A＜π，所以A=；‎ ‎（2）在△ABC中，cosB=得，sinB==…（7分）‎ 则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB ‎==…（8分）‎ 由正弦定理得，==…（9分）‎ 设a=7x、c=5x，‎ 在△ABD中，由余弦定理得：‎ AD2=AB2+BD2﹣2•AB•BD•cosB，‎ ‎，‎ 解得x=1，‎ 则a=7，c=5…（11分）‎ 所以△ABC的面积S==…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和差的正弦公式等，注意内角的范围，考查化简、变形、计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：．（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．‎ ‎（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；‎ ‎（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？‎ ‎【分析】（1）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1﹣P）×2﹣日产量（x）×次品率（P）×1，根据分段函数分段研究，整理即可；‎ ‎（2）利用基本不等式求函数的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）当x≥6时，P=，则T=x×2﹣x×1=0．‎ 当1≤x＜6时，P=，则T=（1﹣）x×2﹣（）x×1=．‎ 综上所述，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为：T=．…（6分）‎ ‎（2）由（1）知，当x≥6时，每天的盈利为0．‎ 当1≤x＜6时，T（x）==15﹣2[（6﹣x）+]≤15﹣12=3，‎ ‎∴T≤3．‎ 当且仅当x=3时，T=3．‎ 综上，当日产量为3万件时，可获得最大利润3万元．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了利润函数模型的应用，并且利用基本不等式求得函数的最值问题，也考查了分段函数的问题，分类讨论思想．是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）在平面直角坐标系xOy，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，若直线l与该椭圆交于P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数，求证：直线l的斜率为定值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式求得a=2b，将P代入椭圆方程即可求得a和b的值；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知设直线AP的方程x=my+2，则直线BQ的方程x=﹣my+m，代入椭圆方程即可求得P和Q点坐标，根据斜率公式即可求得直线l的斜率为定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意椭圆的离心率e===，则a2=4b2，将（1，）代入椭圆，‎ ‎∴，则b2=1，a2=4，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，1），直线BQ，AP的斜率均存在且不为0．‎ 证明：设直线AP的方程为：x=my+2，则直线BQ的方程为：x=﹣my+m，‎ 联立，消去x整理得：（4+m2）y2+4my=0，‎ ‎∴P（，﹣），‎ 联立，消去x整理得：（4+m2）y2﹣2m2y+m2﹣4=0，‎ ‎∴Q（，），‎ ‎∴直线l的斜率为==，‎ 直线l的斜率为定值．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及直线斜率公式的应用，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）假设存在a，使得k=2﹣a，根据（I）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（I）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），‎ ‎，‎ 令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4，‎ ‎①当|a|≤2时，△≤0，f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于0，在（0，+∞）上，f'（x）＞0，‎ 故f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为，‎ 当0＜x＜x1时，f'（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f'（x）＜0；当x＞x2时，f'（x）＞0，‎ 故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a＞2．‎ 因为，‎ 所以，‎ 又由（1）知，x1x2=1．于是，‎ 若存在a，使得k=2﹣a．则．即lnx1﹣lnx2=x1﹣x2，‎ 亦即（*），‎ 再由（1）知，函数在（0，+∞）上单调递增，而x2＞1，‎ 所以．这与（*）式矛盾，故不存在a，使得k=2﹣a ‎【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．此题是个难题 ‎　‎