2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第十章第二讲　二项式定理

2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第十章第二讲　二项式定理

第二讲　二项式定理 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[2017全国卷Ⅰ](1+‎1‎x‎2‎)(1+x)6展开式中x2的系数为(　　)‎ A.15 B.20 C.30 D.35‎ ‎2.[2019广东湛江一模](2x-3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,则(3x-2y)n的展开式的二项式系数之和等于 (　　)‎ A.16 B.32 C.64 D.128‎ ‎3.[多选题]下列关于多项式(1+‎2‎x‎-‎x)6的展开式的结论正确的是(　　)‎ A.各项系数之和为1‎ B.各项系数的绝对值之和为212‎ C.存在常数项 D.x3项的系数为40‎ ‎4.[2019安徽十校高三摸底考试](x - y - 2z)6的展开式中含x2y3z的项的系数为　　　　. ‎ ‎5.[2019天津高考](2x - ‎ ‎‎1‎‎8‎x‎3‎)8的展开式中的常数项为　　　　. ‎ ‎6.[2017 山东高考]已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=　　　. ‎ ‎7.[2017 浙江高考]已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=　　　,a5=　　　. ‎ 考法1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数 ‎1(1)[2018全国卷Ⅲ](x2+‎2‎x)5的展开式中x4的系数为 A.10 B.20 C.40 D.80‎ ‎(2)[2019全国卷Ⅲ](1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 A.12 B.16 C.20 D.24‎ ‎(3)[2019太原二模]‎(x‎2‎+x+y)‎‎4‎的展开式中x3y2的系数是　　　　. ‎ ‎(1)利用(x2+‎2‎x)5的展开式的通项公式求解;‎ ‎(2)先分别求出(1+x)4和2x2(1+x)4的展开式中x3的系数,再求和即可;‎ ‎(3)把x2+x+y看成x2+x与y的和,利用二项展开式的通项公式求解,或把(x2+x+y)4看成4个因式 x2+x+y的乘积,利用组合数公式求解. ‎ ‎(1)Tr+1=C‎5‎r(x2)5 - r(‎2‎x)r=C‎5‎r2rx10 - 3r,‎ 由10 - 3r=4,得r=2,‎ 所以x4的系数为C‎5‎‎2‎×22=40,故选C.‎ ‎(2)因为(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2·(1+x)4,(注意各项的分配)‎ 其中(1+x)4的展开式中x3的系数为C‎4‎‎3‎=4,2x2·(1+x)4的展开式中x3的系数为2C‎4‎‎1‎=8,‎ 所以(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为4+8=12,故选A.‎ ‎(3)解法一　‎(x‎2‎+x+y)‎‎4‎‎=‎‎[(x‎2‎+x)+y]‎‎4‎,(把“三项”当“两项”看)‎ 其展开式的第r+1项的通项公式为Tr+1=C‎4‎r‎(x‎2‎+x)‎‎4-ryr,(利用通项公式求解)‎ 因为要求x3y2的系数,所以r=2,‎ 即T3=C‎4‎‎2‎‎(x‎2‎+x)‎‎4-2‎y2=6(x2+x)2y2.‎ 因为‎(x‎2‎+x)‎‎2‎的展开式中x3的系数为2,‎ 所以x3y2的系数是6×2=12.‎ 解法二　(x2+x+y)4 表示4个因式x2+x+y的乘积,‎ 在这4个因式中,有2个因式选y ,其余的2个因式中有一个选x,剩下的一个选x2 ,即可得到含x3y2 的项,(利用组合数公式求解)‎ 故x3y2的系数是C‎4‎‎2‎·C‎2‎‎1‎·C‎1‎‎1‎=12.‎ ‎1.(1)在(1 - ‎3‎x)7+(x‎+‎ax)6的展开式中,若x2的系数为19,则a=　　　　. ‎ ‎(2)[2019浙江高考]在二项式(‎2‎+x)9的展开式中,常数项是　　　　,系数为有理数的项的个数是　　　　. ‎ 考法2 二项式系数的性质及应用 命题角度1　二项展开式中的系数和问题 ‎2(1)已知(1 - 2x)n(n∈N*)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,则(1 - 2x)n的展开式中所有项的系数和为　　　　. ‎ ‎(2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2 - (a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为　　　　. ‎ ‎(3)[2015 新课标全国Ⅱ](a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　. ‎ ‎(1)利用展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,建立关于n的方程,解方程,求出n的值,再令x=1,即可得展开式中所有项的系数和.‎ ‎(2)给x赋值0,可得(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,再给x赋值 - 2,可得m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,再代入条件,列出方程求解.‎ ‎(3)展开后根据已知条件列方程求解或运用分配律结合通项求解或利用赋值法巧妙求解.‎ ‎(1)因为(1 - 2x)n(n∈N*)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,‎ 所以Cn‎2‎‎=‎Cn‎7‎,解得n=9.‎ 令x=1,得(1 - 2x)9=(1 - 2)9= - 1,(对(1 - 2x)n中的x赋值)‎ 所以(1 - 2x)n的展开式中所有项的系数和为 - 1.‎ ‎(2)令x=0,则(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,‎ 令x= - 2,则m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,‎ 又(a0+a2+…+a8)2 - (a1+a3+…+a9)2‎ ‎=(a0+a1+a2+…+a9)(a0 - a1+a2 - a3+…+a8 - a9)=39,‎ 所以(2+m)9·m9=39,所以m(2+m)=3,‎ 解得m= - 3或m=1,故m的值为 - 3或1.‎ ‎(3)解法一　直接将(a+x)(1+x)4展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,‎ 由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.‎ 解法二　(1+x)4的展开式的通项为Tr+1=C‎4‎rxr,‎ 由题意可知,a(C‎4‎‎1‎‎+‎C‎4‎‎3‎)+C‎4‎‎0‎‎+C‎4‎‎2‎+‎C‎4‎‎4‎=32,解得a=3.‎ 解法三 　设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+a3+a5=32.‎ 令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5　①.‎ 令x= - 1,得0=a0 - a1+a2 - a3+a4 - a5　②.‎ 由① - ②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,所以a=3.‎ 命题角度2　与二项展开式中的系数有关的最值问题 ‎3已知(‎3‎x+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x - 1)n的展开式的二项式系数和大992,则在(2x - ‎1‎x)2n的展开式中,二项式系数最大的项为　　　　,系数的绝对值最大的项为　　　　. ‎ 先根据两个二项式系数和的关系求出n,由n值来确定(2x - ‎1‎x)2n中二项式系数最大的项.要确定其展开式中系数绝对值最大的项,可列不等式求解.‎ 由题意知,22n - 2n=992,即(2n - 32)(2n+31)=0,‎ 故2n=32,解得n=5.‎ 由二项式系数的性质知,(2x - ‎1‎x)10的展开式中第6项的二项式系数最大,‎ 故二项式系数最大的项为T6=C‎10‎‎5‎(2x)5( - ‎1‎x)5= - 8 064.‎ 设第k+1项的系数的绝对值最大,则Tk+1=C‎10‎k·(2x)10 - k·( - ‎1‎x)k=( - 1)kC‎10‎k·210 - k·x10 - 2k,‎ 令C‎10‎k‎·‎2‎‎10-k≥C‎10‎k-1‎·‎2‎‎10-k+1‎,‎C‎10‎k‎·‎2‎‎10-k≥C‎10‎k+1‎·‎2‎‎10-k-1‎,‎得C‎10‎k‎≥2C‎10‎k-1‎,‎‎2C‎10‎k≥C‎10‎k+1‎,‎ 即‎11-k≥2k,‎‎2(k+1)≥10-k,‎解得‎8‎‎3‎≤k≤‎11‎‎3‎.‎ 因为k∈Z,所以k=3.‎ 故系数的绝对值最大的项是第4项,T4= - C‎10‎‎3‎·27·x4= - 15 360x4.‎ 故二项式系数最大的项为 - 8 064,系数的绝对值最大的项为 - 15 360x4.‎ ‎2.(1)[2020山西大同高三调研]若(x‎-‎‎2‎x‎2‎)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大 ‎,则展开式中的常数项是(　　)‎ A.210 B.180 C.160 D.175‎ ‎ (2)已知(2x - ‎1‎x)n的展开式中的二项式系数和为32.若(x+ax)(2x - ‎1‎x)n的展开式中的各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为　　　　　. ‎ ‎1.C　(1+x)6展开式的通项Tr+1=C‎6‎rxr,所以(1‎+‎‎1‎x‎2‎)(1+x)6的展开式中x2的系数为1×C‎6‎‎2‎‎+‎1×C‎6‎‎4‎=30,故选C.‎ ‎2. A　∵(2x- 3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,∴Cnn- 1‎·21·(- 3)n- 1=- Cnn- 2‎·22·(- 3)n- 2,解得n=4,24=16,则(3x- 2y)4的展开式的二项式系数之和等于16,故选A.‎ ‎3.BCD　由题意可得,(1‎+‎‎2‎x- x)6的展开式中,各项系数之和为26,各项系数的绝对值之和为212,(1‎+‎‎2‎x- x)6=[1+(‎2‎x- x)]6,该展开式第一项即为常数项,故多项式的展开式中一定存在常数项,由题中的多项式可知,若出现x3项,可能的组合只有(‎2‎x)0×(- x)3和(‎2‎x)1×(- x)4,则可得x3项的系数为C‎6‎‎3‎×13×C‎3‎‎0‎×20×(- 1)3‎+‎C‎6‎‎5‎×11×C‎5‎‎1‎×21×(- 1)4=40.故选BCD.‎ ‎【易错警示】　解答此题的易错点有两处:(1)混淆二项式系数与项的系数,在(ax+b)n的展开式中,第k+1项的二项式系数是Cnk,第k+1项的系数是Cnkan- kbk;(2)混淆二项式系数和与项的系数和,‎ 在(ax+b)n的展开式中,令x=1即得各项系数之和,为(a+b)n,而(ax+b)n的展开式中的二项式系数和为Cn‎0‎‎+Cn‎1‎+‎…‎+‎Cnn=2n.解题时一定要仔细审题,准确把握每一个概念和条件,以免出错.‎ ‎4.120　(x- y- 2z)6的展开式中含x2y3z的项为C‎6‎‎4‎x2·C‎4‎‎1‎(- y)3·(- 2z)=120x2y3z,故展开式中含x2y3z的项的系数为120.‎ ‎5.28　二项展开式的通项Tr+1=C‎8‎r(2x)8- r(- ‎1‎‎8‎x‎3‎)r=(- ‎1‎‎8‎)r·28- r·C‎8‎rx8- 4r,令8- 4r=0,可得r=2,故常数项为(- ‎1‎‎8‎)2×26×C‎8‎‎2‎=28.‎ ‎6.4　由题意可知Cn‎2‎32=54,所以Cn‎2‎=6,解得n=4.‎ ‎【易错警示】　此类题易错点有两处:一是符号因子易弄丢,导致失分;二是组合数与排列数的公式搞混,导致解方程出错.‎ ‎7.16　4　由题意知a4为含x的项的系数,根据二项式定理得a4=C‎3‎‎2‎×12×C‎2‎‎2‎×22+C‎3‎‎3‎×13×C‎2‎‎1‎×2=16,又a5是常数项,所以a5=C‎3‎‎3‎×13×C‎2‎‎2‎×22=4.‎ ‎1.(1)2　(1- ‎3‎x)7+(x‎+‎ax)6的展开式中x2的系数为C‎7‎‎6‎(- 1)6‎+‎C‎6‎‎1‎(a)1=C‎7‎‎6‎‎+‎aC‎6‎‎1‎,则aC‎6‎‎1‎‎+‎C‎7‎‎6‎=19,解得a=2.‎ ‎(2)16‎2‎　5　 ‎(‎2‎+x)‎‎9‎的通项公式为Tr+1=C‎9‎r‎(‎2‎)‎‎9- rxr(r=0,1,2,…,9),可得常数项为T1=C‎9‎‎0‎‎(‎2‎)‎‎9‎=16‎2‎,当系数为有理数时,r=1,3,5,7,9,有T2, T4, T6, T8, T10,共5个项.‎ ‎2.(1)B　解法一 　因为(x‎-‎‎2‎x‎2‎)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n=10,则(x‎-‎‎2‎x‎2‎)10的展开式的通项公式为Tk+1=C‎10‎k(x)10- k(- ‎2‎x‎2‎)k=(- 2)kC‎10‎kx‎10- k‎2‎‎- 2k=(- 2)kC‎10‎kx‎5- ‎5‎‎2‎k,令5- ‎5‎‎2‎k=0,解得k=2,所以常数项为(- 2)2C‎10‎‎2‎=180.‎ 解法二　因为(x‎-‎‎2‎x‎2‎)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n=10,则(x‎-‎‎2‎x‎2‎)10可以看成10个多项式x‎-‎‎2‎x‎2‎相乘,要想得到常数项,则需在其中2个多项式中取- ‎2‎x‎2‎,余下的8个多项式中都取x,则常数项为C‎10‎‎2‎(- ‎2‎x‎2‎)2(x)8=180.‎ ‎(2)40　因为(2x- ‎1‎x)n的展开式中的二项式系数和为32,所以2n=32,所以n=5.令x=1,得(x‎+‎ax)(2x- ‎1‎x)5的展开式中的各项系数的和为(1+a)(2- 1)5=2,即a=1,所以(x‎+‎ax)(2x- ‎1‎x)5的展开式中的常数项为C‎5‎‎3‎·(- 1)3·25- 3‎+‎C‎5‎‎2‎·(- 1)2·25- 2=40.‎