山西省汾阳中学校2019-2020学年高一期中考试数学试卷

山西省汾阳中学校2019-2020学年高一期中考试数学试卷

数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.下列说法正确的是（ ）‎ A.第二象限角大于第一象限角 B.不相等的角终边可以相同 C.若是第二象限角，一定是第四象限角 D.终边在轴正半轴上的角是零角 ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A.零向量没有方向 B.向量就是有向线段 C.只有零向量的模长等于 D.单位向量都相等 ‎3.设是第一象限角，且，则是第（ ）象限角 A.一 B.二 C.三 D.四 ‎4.下列是函数图象的对称轴方程的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.在中，是的中点，，若，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.设，，若，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设，不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.将函数的图象先左移，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，所得图象的解析式为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.函数，的值域为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.若函数，的图象都在轴上方，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.关于函数有下述四个结论：‎ ‎①是奇函数；‎ ‎②在区间单调递增；‎ ‎③是的周期；‎ ‎④的最大值为.‎ 其中所有正确结论的个数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.已知一扇形的圆心角为弧度，半径为，则该扇形的面积为 .‎ ‎14.若，，，则向量与的夹角为 .‎ ‎15.若，则的取值范围是 .‎ ‎16.函数，在上单调递增，则的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.若角的终边上有一点，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18.已知，.‎ ‎（1）求向量与的夹角；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎19.已知.‎ ‎（1）求函数的最小正周期和最大值，并求出为何值时，取得最大值；‎ ‎（2）求函数在上的单调增区间；‎ ‎（3）若，求值域.‎ ‎20.已知矩形，，，是平面内一点.‎ ‎（1）若点满足，求的最小值；‎ ‎（2）若点在线段上，求的范围.‎ ‎21.函数（，）的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值.‎ ‎22.中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为，其中心距地面，半径为，若某人从最低点处登上摩天轮，摩天轮匀速旋转，那么此人与地面的距离将随时间变化，后达到最高点，从登上摩天轮时开始计时.‎ ‎（1）求出人与地面距离与时间的函数解析式；‎ ‎（2）从登上摩天轮到旋转一周过程中，有多长时间人与地面距离大于.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 【答案】B ‎【解析】‎ A选项，第一象限角，而是第二象限角，∴该选项错误；‎ B选项，与终边相等，但它们不相等，∴该选项正确；‎ C选项，若是第二象限角，则，‎ ‎∴是第三象限角或第四象限角或终边在轴负半轴上的轴线角，∴该选项错误；‎ D选项，角的终边在轴正半轴上，但不是零角，∴该选项错误.‎ ‎2.【答案】C ‎【解析】‎ 零向量的方向是任意的，故A选项错误；‎ 有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；‎ 只有零向量的模长等于，故C选项正确；‎ 单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误.‎ ‎3.【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵是第一象限角，∴，，‎ ‎∴，，∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角，‎ ‎∵，∴，∴是第二象限角.‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】‎ 令，，解得，，当时，，选项D符合题意.‎ ‎5.【答案】A ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎6.【答案】C ‎【解析】‎ ‎，∵，‎ ‎∴，即，解得.‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∵，，三点共线，∴，即，‎ ‎∴解得.‎ ‎8.【答案】B ‎【解析】‎ 由诱导公式可知，‎ 又得，‎ 所以，.‎ ‎9.【答案】D ‎【解析】‎ 向左平移个单位，故变为，纵坐标不变，横坐标缩为原来的，变为.‎ ‎10.【答案】A ‎【解析】‎ 根据得，，‎ 令，由得，故，有，，二次函数对称轴为，当时，最大值，当时，最小值，综上，函数的值域为.‎ ‎11.【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，∴，∴，‎ 函数，的图象都在轴上方，‎ 即对任意的，都有，即，‎ ‎∵，∴，.‎ ‎12.【答案】C ‎【解析】‎ ‎，，所以为非奇非偶函数，①错误；‎ 当时，令，，又时单调递增，单调递减，根据复合函数单调性判断法则，当时，，均为增函数，所以在区间单调递增，所以②正确；‎ ‎，所以是的周期，所以③正确；‎ 假设的最大值为，取，必然，，则，与，矛盾，所以的最大值小于，所以④错误.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据扇形的面积公式可得.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】‎ 由得，∴，∴，∴.‎ ‎15.【答案】，‎ ‎【解析】‎ 因为，‎ 而，所以，‎ 所以，所以，，‎ 所以，.‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】‎ 结合正弦函数的图象及性质可得，解得，‎ 又，∴.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.若角的终边上有一点，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）点到原点的距离为，‎ 根据三角函数的概念可得，解得，（舍去）……………………………………………………………………………………4分 ‎（2）原式，…………8分 由（1）可得，，‎ ‎∴原式. ……………………………………………………………10分 ‎18.已知，.‎ ‎（1）求向量与的夹角；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎（1），，，……………………………………………………3分 设向量与的夹角为，则，‎ ‎∴，即向量与的夹角为. ……………………………………………6分 ‎（2），由，可得，……………10分 ‎∴，解得. ……………………………………………12分 ‎19.已知.‎ ‎（1）求函数的最小正周期和最大值，并求出为何值时，取得最大值；‎ ‎（2）求函数在上的单调增区间；‎ ‎（3）若，求值域.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎（1），………………………………………………………………1分 当，‎ 即，时，的最大值为.……………………………3分 ‎（2）令，‎ 得，，…………………………………………5分 设，，，‎ 所以，‎ 即函数在上的单调增区间为.………………………7分 ‎（3）由得，……………………………………8分 根据正弦函数图象可知，……………………………11分 所以.……………………………………………………………12分 ‎20.已知矩形，，，是平面内一点.‎ ‎（1）若点满足，求的最小值；‎ ‎（2）若点在线段上，求的范围.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）由可知，，三点共线，………………2分 则的最小值即为点到直线的距离.此时.……5分 ‎（2）以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，‎ 故，，，，………………………………………7分 由点在线段上设，……………………………………8分 故，，………………………………………………9分 所以，…………………………10分 根据二次函数性质可得.…………………………………12分 ‎21.函数（，）的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）由题可得，∴，‎ 又，且，∴，………………………………………2分 ‎∴，‎ 将点代入函数可得，…………4分 ‎∴,，解得，，‎ 又∵，∴，∴. ………………6分 ‎（2）∵点，是的中点，，‎ ‎∴点的坐标为，……………………………………………8分 又∵点在的图象上，‎ ‎∴，………………………………………………………10分 又，∴，‎ 从而得，解得. ……………………………………12分 ‎22.中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为，其中心距地面，半径为，若某人从最低点处登上摩天轮，摩天轮匀速旋转，那么此人与地面的距离将随时间变化，后达到最高点，从登上摩天轮时开始计时.‎ ‎（1）求出人与地面距离与时间的函数解析式；‎ ‎（2）从登上摩天轮到旋转一周过程中，有多长时间人与地面距离大于.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）根据题意摩天轮从最低点开始，后达到最高点，‎ 则转一圈，所以摩天轮的角速度为.……………………2分 则时，人在点处，则此时转过的角度为.……………………4分 所以………………………………………………6分 ‎（2）登上摩天轮到旋转一周，则.……………………………………7分 人与地面距离大于，即，‎ 所以，…………………………………………………………………9分 由，解得：.………………………………………………11分 所以人与地面距离大于的时间为分钟.‎ 故有分钟人与地面距离大于.………………………………………12分