高考数学精英备考专题讲座 平面解析几何
平面解析几何
一、高考预测
解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整
个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几
何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是
一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，
试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地
高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计 2012 年该部分的考查仍然是以选择题或
者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．
圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有 1～2 个选择题或者填空
题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标
准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难
度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的
位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思
想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干
知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计
2012 年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．
解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性
质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入
下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，
代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几
何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中
起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思
想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的
最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用．
二、知识导学
(一)直线的方程
1.点斜式： )( 11 xxkyy ；2. 截距式： bkxy ；
3.两点式：
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
；4. 截距式： 1 b
y
a
x ；
5.一般式： 0 CByAx ，其中 A、B 不同时为 0.
(二)两条直线的位置关系
两条直线 1l ， 2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；
重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.
设直线 ： y = 1k x + 1b ，直线 ： = 2k x + 2b ，则
∥ 的充要条件是 = ，且 = ； ⊥ 的充要条件是 =-1.
(三)圆的有关问题
1.圆的标准方程
222 )()( rbyax （r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为 r.
特别地，当圆心在原点（0，0），半径为 r 时，圆的方程为 222 ryx .
2.圆的一般方程
022 FEyDxyx （ FED 422 ＞0）称为圆的一般方程，
其圆心坐标为（
2
D ，
2
E ），半径为 FEDr 42
1 22 .
当 =0 时，方程表示一个点（ ， ）；
当 ＜0 时，方程不表示任何图形.
3.圆的参数方程
圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：
222 ryx cos
sin
xr
yr
（θ 为参数）
222 )()( rbyax cos
sin
x a r
y b r
（θ 为参数）
(四) 椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 1F 、 2F 的距离的和大于| 1F 2F |
这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| |，则这样的点不存在；若距离之和等于
| |，则动点的轨迹是线段 .
2.椭圆的标准方程： 12
2
2
2
b
y
a
x （ a ＞b ＞0）， 12
2
2
2
b
x
a
y （ a ＞b ＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 2x 项的分母
大于 2y 项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定
系数法求解.
(五)椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为 12
2
2
2
b
y
a
x （ ＞ ＞0）.
⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线 x= a 和 y= b 所围成的矩形里.
⑵ 对称性：分别关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭
圆的中心.
⑶ 顶点：有四个 1A （-a，0）、 2A （a，0） 1B （0，-b）、 2B （0，b）.
线段 1A 2A 、 1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，a 和 b 分
别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
a
ce 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平
程度.0＜e＜1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆.
椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 2a = 2b + 2c 、 两个关系，因此确定椭圆的
标准方程只需两个独立条件.
(六)椭圆的参数方程
椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x （ a ＞b ＞0）的参数方程为 cos
sin
xa
yb
（θ 为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角θ 与直线 OP 的倾斜角α
不同： tantan a
b ；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式 1sincos 22 相比较
而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
(七)双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义：平面内与两个定点 1F 、 2F 的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于
| 1F 2F |）的动点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a＜| |，这一条
件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| |，则动点的轨迹是两条
射线；若 2a＞| |，则无轨迹.
若 1MF ＜ 2MF 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 ＞ 时，
轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
2. 双曲线的标准方程： 12
2
2
2
b
y
a
x 和 12
2
2
2
b
x
a
y （a＞0，b＞0）.这里 222 acb ，
其中| |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
1 的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x ，它的焦点坐标是（-c，
0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是
c
ax
2
和
c
ax
2
.在双曲线中，a、b、c、
e 四个元素间有
a
ce 与 222 bac 的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个
独立的条件.
(九)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫
抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点，这条定直线 l 叫抛物线的准线。
需强调的是，点 F 不在直线 l 上，否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物
线。
2．抛物线的方程有四种类型： 2 2y px 、 2 2y px 、 2 2x py 、 2 2x py .
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项
即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向；一次项前面是负
号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程 y2=2px 为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为 y=0，由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的；
（5）准线方程
2
px ；
（6）焦半径公式：抛物线上一点 P（x1，y1）， F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的
的点.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.
注意事项
1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度.
当斜率 k 存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为 x=a
（a∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率 k 存在与否，要分别考虑.
⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a、b 分别是直线在 x 轴、y 轴上的截距，因为 a≠0，
b≠0，所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，
而应选择其它形式求解.
⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.
⑷当直线 1l 或 2l 的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直
⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运
用，这样可以简化计算.
2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上，还是两种
都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行 a、b、c、e 间的互求，并能根据所给
的方程画出椭圆.⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设
出标准方程后，运用待定系数法求解.⑷双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x 的渐近线方程为 xa
by 或表
示为 02
2
2
2
b
y
a
x .若已知双曲线的渐近线方程是 xn
my ，即 0 nymx ，那么双曲线
的方程具有以下形式： kynxm 2222 ，其中 k 是一个不为零的常数.⑸双曲线的标准方
程有两个 12
2
2
2
b
y
a
x 和 12
2
2
2
b
x
a
y （a＞0，b＞0）.这里 222 acb ，其中| 1F 2F |=2c.
要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.⑹求抛物线的标准方程，要线根
据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的
标准方程的类型，再由条件确定参数 p 的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、
准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，
知道其中一个，就可以求出其他两个.
解题的策略有：1、注意直线倾斜角范围 、设直线方程时注意斜率是否存在，可以设成 ，
包含斜率不存在情况，但不包含斜率为 0 情况。注意截距为 0 的情况；注意点关于直线对称
问题（光线的反射问题）；注意证明曲线过定点方法（两种方法：特殊化、分离变量）2、注
意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、相交弦定理、垂径定理等平面中
圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距离；
注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。以过某点的线段为弦的面积最小
的圆是以线段为直径，而面积最大时，是以该点为线段中点。3、注意圆与椭圆、三角、向
量（注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然后考虑坐标化）结合；4、注意构建平面
上的三点模型求最值，一般涉及“和”的问题有最小值，“差”的问题有最大值，只有当三
点共线时才取得最值；5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法：待定系
数法或定义法，注意焦点位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：焦点在 轴上时为 ，焦
点在 轴上时为 ；注意化抛物线方程为标准形式（即 2p、p、 的关系）；注意利用比例思想，
减少变量，不知道焦点位置时，可设椭圆方程为 。6、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义
解题； 熟练掌握求离心率的题型与方法，特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注
意利用比例思想方法，减少变量。7、注意圆锥曲线中的最值等范围问题：产生不等式的条
件一般有：①“ 法”；②离心率 的范围；③自变量 的范围；④曲线上的点到顶点、焦点、
准线的范围；注意寻找两个变量的关系式，用一个变量表示另一个变量，化为单个变量，建
立关于参数的目标函数，转化为函数的值域 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意
义，可考虑利用数形结合法， 注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围、离心率范
围以及根的判别式范围。8、求轨迹方程的常见方法：①直接法；★②几何法；★③定义法；
★④相关点法； 9、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出；
注意将有关向量的表达式合理变形；特别注意遇到角的问题，可以考虑利用向量数量积解决；
10、注意存在性、探索性问题的研究，注意从特殊到一般的方法。
三、易错点点睛
命题角度 1 对椭圆相关知识的考查
1．设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△FlPF2 为等
腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )
12.22.2
12.2
2. DCBA
[考场错解] A
[专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把
||
||
2
1
PF
PF 当作离心率．
[对症下药] D 设椭圆的方程为 2
2
2
2
b
y
a
x =l (a，b >0) 由题意可设|PF2|=|F1F2|=k，
|PF1|= 2 k，则 e= 12
22
2
kk
k
a
c
2．设双曲线以椭圆
925
22 yx =1 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的
渐近线的斜率为 ( )
A．±2 B．±
3
4 C．±
2
1 D．±
4
3
[考场错解] D 由题意得 a=5，b=3，则 c=4 而双曲线以椭圆 =1 长轴的两个端点
为焦点，则 a=c =4，b=3 ∴k=
4
3 a
b
[专家把脉] 没有很好理解 a、b、c 的实际意义．
[对症下药] C 设双曲线方程为 2
2
2
2
b
y
a
x =1，则由题意知 c=5，
c
a2
=4 则 a2=20 b2=5，
而 a=2 5 b= ∴双曲线渐近线斜率为±
a
b =
2
1
3．从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程 2
2
2
2
n
y
m
x =1 中的 m 和 n，则能组成
落在矩形区域 B={(x，y)‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为 ( )
A．43 B．72 C．86 D．90
[考场错解] D 由题意得，m、n 都有 10 种可能，但 m≠n 故椭圆的个数 10×10-10=90．
[专家把脉] 没有注意，x、y 的取值不同．
[对症下药] B 由题意得 m 有 10 种可能，n 只能从集合 11，
2，3，4，5，6，7，81 中选取，且 m≠n，故椭圆的个数：10
×8-8=72．
4．设直线 l 与椭圆
1625
22 yx =1 相交于 A、B 两点，l 又与双曲线
x2-y2=1 相交于 C、D 两点，C、D 三等分线段 AB，求直线 l
的方程 ( )
[考场错解] 设直线 l 的方程为 y=kx+b
如图所示，l 与椭圆，双曲线的交点为 A(x1，y1)、B (x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依
题意有 ABDBAC , =3 CD
由 )1(0)40025(50)2516(
11625
22222
bbkxxkyx
bkxy
得 所以 x1+x2=- .
2516
50
2k
bk
由
122 yx
bkxy 得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0
(2) 若 k=±1，则 l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故 k≠±1
所以 x3+x4= 21
2
k
bk
、由 BDAC x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4 -
22 1
2
2516
50
k
bk
k
bk bk=0
或 b =0
①当 k=0 时，由(1)得 x1、2=± 2164
5 b 由(2)得 x3、4=± 12 b 由
123 xxCDAB =3(x4-x1)即
13
1616164
10 22 bbb 故 l 的方程为 y=±
13
16
②当 b=0 时，由(1)得 x1、2=±
22516
20
k
，由(2)得 x3、4=
21
1
k
由
123 xxCDAB =3(x4-x3)即 .25
16,25
16
1
6
2516
40
22
xylk
kk
的方程为故 综上所述：直
线 l 的方程为：y= xy 25
16,13
16
[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解．
[对症下药] 解法一：首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的，情况．
设直线 l 的方程为 y=kx+b，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2， y2)、
C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有 CDABBDAC 3, ． 由
.11625
,
22 yx
bkxy
得
(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0．(1) 所以 x1+x2=- .
2516
50
2k
bk
由
.1
,
22 yx
bkxy 得
(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0．
若 k=±1，则 l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故 k≠±1．所以 x3+x4= 21
2
k
bk
由 4213 xxxxBDAC x1+x2=x2+x4 00
1
2
2516
50
22
kbk
k
bk
k
bk 或 b=0．
①当 k=0 时，由(1)得 .164
5 2
2,1 bx 由(2)得 x3、4=± 12 b 由 33 12 xxCDAB (x4-x3)．
即 .13
161164
10 22 bbb 故 l 的方程为 y=±
13
16
②当 b=0 时，由(1)得 x1、2=
22516
20
k
自(2)得 x3、4= 33,
1
1
122
xxCDAB
k
由 (x4-x3)．即 .25
16
1
6
2516
40
22
k
kk
故 l 的方程为 y= x25
16 ．再讨论 l 与 x 轴垂直时的情况．
设直线 l 的方程为 x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得 yl、2= .255
4 2c
y3、4= .||3||||3||.1 3412
2 yyyyCDABc 由 即
.
241
25,
241
2516255
8 22 xlccc 的方程为故
综上所述，直线 l 的方程是：y=
25
16 x、y=±
13
16 和 x=
241
25
x3、4= .12 b ∵x2-x1=3(x4-x3)
4
10 13
161616 22 bbb ．故 l 的方程为 y=±
13
16
②当 y0=0，x0≠0，由 (2)得 x4=x3≠0，这时 l 平行 y 轴．设 l 的方程为 x=c，分别代入椭圆、
双曲线方程得：yl、2= ,255
4 2c y3、4= .12 c ∵
y2-y1=3(y4-y3)
241
2516255
8 22 ccc
故 l 的方程为：
241
25x
③当 x0=0，y0=0 时，这时 l 通过坐标原点且不与 x 轴垂直．设 l 的方程为 y=kx，分别代入
椭圆、双曲线方程得：x1、2= .
1
1,
2516
20
24,32 k
x
k
.25
16)(3 3412 kxxxx 故 l 的方
程为 y= .25
16 xy 综上所述，直线 l 的方程是：y= x25
16 、y=
13
16 和 x= .
241
25
5．设 A、B 是椭圆 3x2+y2=λ 上的两点，点 N(1，3)是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线
与椭圆相交于 C、D 两点． (1)确定 A 的取值范围，并求直线 AB 的方程； (Ⅱ)试判断是否
存在这样的 A，使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上
画图)
[考场错解] (1)设 A(x1，y1)B(x2，y2)则有:
2
2
2
2
2
1
2
1
3
3
yx
yx (x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0
依题意，x1≠x2 ∴kAB-
21
21 )(3
xx
yy
∵N(1，3)是 AB 的中点，∴x1+x2=2,yl+y2=6 从而 kAB=-9 又
由 N(1，3)在椭圆内，∴λ <3×12+32=12 ∴λ 的取值范围是(-∞，12)直线 AB 的方程为
y-3=-9(x-1)即 9x+y-12=0
[专家把脉] ①用“差比法”求斜率时 kAB=
2
)(3
1
21
yy
xx
这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆
内，λ >3×12+32=12 应用结论时也易混淆．
[对症下药] (1)解法 1：依题意，可设直线 AB 的方程为 y=A(x-1)+3，代入 3x2+y2=λ ，整
理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ =0．① 设 A(x1，y1)、B(x2、y2)，则 x1，x2 是方程①的
两个不同的根，
∴△=4[λ (k2+3)-3(k-3)2]>0，② 且 x1+x2=
3
)3(2
2
k
kk ，由 N(1，3)是线段 AB 的中点，得
12
21 xx ，∴A(k-3)=k2+3．解得 k=-1，代入②得，λ >12，即λ 的取值范围是(12，+∞)．于
是，直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1)，即 x+y-4=0．
解法 2：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有
2
2
2
2
2
1
2
1
3
3
yx
yx (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
依题意，x1≠x2，∴kAB=-
21
21 )(3
yy
xx
∵N(1，3)是 AB 的中点，∴x1+x2=2，yl+y2=6，从而
kAB=-1． 又由 N(1，3)在椭圆内，∴λ >3×12+32=12， ∴λ 的取值范围是(12，∞)．直线 AB
的方程为 y-3=-(x-1)，即 x+y-4=0．
(Ⅱ)解法 1：∵CD 垂直平分 AB，∴直线 CD 的方程为 y-3 =x-1，即 x-y+2=0，代入椭圆方
程，整理得 4x2+4x+4
又设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD 的中点为 M(x0，y0)，则 x3， x4 是方程③的两根，∴x3+x4=-1，
且 x0=
2
1 (x3+x4)=- ，y0=x0+2=
2
3 ，即 M(- ， )．于是由弦长公式可得
|CD|= .)3(2||)1(1 43
2 xxk
④将直线 AB 的方程 x+y-4=0，代入椭圆方程得 4x2-8x+
16-λ =0 ⑤同理可得|AB|= .)12(2||.1 21
2 xxk ⑥ ∵当λ >12 时， )3(2 > )12(2 ,
∴|AB|<|CD|
假设存在λ >12，使得 A、B、C、D 四点共圆，则 CD 必为圆的直径，点 M 为圆心．点 M 到直
线 AB 的距离为 d= .2
23
2
|42
3
2
1|
2
|4| 00
yx ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+ .|2|2
3
2
12
2
9|2| 22 CDAB
故当λ >12 时，A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心， |2| CD 为半径的圆上．
(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A、B、C、D 共圆 △ACD 为直角三角形，
A 为直角 |AN|2 =|CN|·|DN|，即 )2
||)(2
||()2( 2 dCDdCDAB . ⑧
由⑥式知，⑧式左边=
2
12 ,由④和⑦知，⑧式右边
= ,2
12)2
9
2
3
2
23
2
)3(2)(2
23
2
)3(2(
∴⑧式成立，即 A、B、C、D 四点共圆解法 2：由(Ⅰ)解法 1 及λ >12，
∵CD 垂直平分 AB，∴直线 CD 方程为 y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-λ =0．③
将直线 AB 的方程 x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x2-8x+16-λ =0．⑤
解③和⑤式可得 xl，2= .2
31,2
122
4,3
x
不妨设 A(1+ )2
33,2
31(),2
33,2
31(,122
13,122
1 DC
)2
1233,2
3123(
)2
1233,2
3123(
CA
CA
计算可得 0CACA ,∴A 在以 CD 为直径的圆上．又 B 为 A 关于 CD 的对称点，∴A、B、C、D
四点共圆．
(注：也可用勾股定理证明 AC⊥AD)
专家会诊 1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．2.注重思
维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时
忽略了斜率不存在的情形 3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数
形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别
式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，
参数法等．
命题角度 2 对双曲线相关知识的考查
1．已知双曲线 x2-
2
2y =1 的焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 021 MFMF ，则点 M 到 x 轴
的距离为 ( )
3.3
32.3
5.3
4. DCBA
[考场错解] B
[专家把脉] 没有理解 M 到 x 轴的距离的意义．
[对症下药] C 由题意得 a=1，b= 2 ，c= 3 可设 M (x0，y0)|MF1|=|ex0+a|=| x0+1|，
|MF2|= |ex0-a|=| x0-1| 由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2 得 x0
2= .3
32||,3
4
3
5
0
2
0 yy则
即点 M 到 x 轴的距离为 .33
2
2．已知双曲线 2
2
2
2
b
y
a
x =1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点 A，△OAF
的面积为
2
2a (O 为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
[考场错解] B
[专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角．
[对症下药] D 由题意得 A(
c
ab
c
a ,
2
)s△OAF=
2
1 ·c· baaabc
ab 22
1 2
，则两条渐近线为
了 y=x 与 y=-x 则求两条渐近线的夹角为 90°．
解不等式，得 .52
5,01.54
5 2 eeee 的取值范围是所以由于
专家会诊 1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调 e>1，必须明确焦
点与准线的对应性 2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定
时，方程可能有两种形式，应防止遗漏． 3．掌握参数 a、b、c、e 的关系，渐近线及其几
何意义，并注意灵活运用．
命题角度 3 对抛物线相关知识的考查。
1．过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，
则这样的直线 ( )
A.有且仅只有一条 B．有且仅有两条 C.有无穷多条 D．不存在
[考场错解] D 由题意得|AB|=5 p=4，通径长为 2×4=8 5<8，故不存在这样的直线．
[专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及 p 的意义．
[对症下药] B 解法一：由题意得 P=2，通径长为 4，而|AB|=x1+x2+p=7，由 7>4，则这
样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为 y=k(x-1)采用设而不求的
方法求出 k 有两个值，即直线有且仅有两条．
2．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线 y=2x2 上，l 是 AB 的垂直平分线． (1)当且仅当
x1+x2 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论； (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 2 时，
求 l 在 y 轴上截距的取值范围．
[考场错解] (Ⅱ)，设 l 在 y 轴上的截距为 b，依题意得 l 的方程为 y=2x+b，过点 A、B
的直线方程可写为 y= ,2
1 mx 与 y=2x2 联立得 2x2+
2
1 x-m=0．得 x1+ x2=-
4
1 ；设 AB 的中点 N
的坐标为(x0，y0)
则 x0= (x1+x2)=-
8
1 ,y0=- x0+m=
16
1 +m．由 N∈l,得 +m=- +b，于是 b=
16
5
16
5 m 即得 l
在 y 轴上截距的取值范围为[ ,16
5 ].
[专家把脉] 没有借助“△>0”来求出 m>
32
1 ，无法进一步求出 b 的范围，只好胡乱地
把 m 当作大于或等于 0．
[对症下药] (1)F∈l |FA|=|FB| A、B 两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线
的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意 y1、y2不同时为0， ∴上述条件等价于yl=y2 x1
2
=x2
2 (x1+x2)(x1-x2)=0；
∵x1≠x2，∴上述条件等价于 x1+x2=0． 即当且仅当 x1+x2=0 时，l 经过抛物线的焦点 F。
(Ⅱ)设 l 在 y 轴上的截距为 b，依题意得 l 的方程为 y=2x+b 过点 A、B 的直线方程可写为
y=-
2
1 x+m，所以 x1、x2 满足方程 2x2+ x-m=0，得 x1+x2=-
4
1 ； A、B 为抛物线上不同的两点
等价于上述方程的判别式
4
1 +8m>0，即 m>
32
1 设 AB 的中点 N 的坐标为(x0，y0)，则
x0= (x1+x2)=-
8
1 ，y0=- x0+m=
16
1 +m
由 N∈l，得 +m=- +b，于是 b=
16
5 +m>
32
9
32
1
16
5 即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为
(
32
9 ，+∞)．
3．如图，过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 p(x0，y0)(y0>0)，
作两条直线分别交抛物线于 A (x1，y1)，B(x2，y2)．(1)
求该抛物线上纵坐标为
2
P 的点到其焦点 F 的距离； (Ⅱ)
当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求
0
21
y
yy 的值，
并证明直线 AB 的斜率是非零常数．
[考场错解] (1)当 y=
2
p 时，x=
8
p 又抛物线的准线方程
为 x=-P，由抛物线定义得，所求距离为 .8
9)(8 ppp
(Ⅱ)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB 由 y2
1=2px1,y2
0=2px0
相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故 kPA=
01
2
yy
P
(x1≠x0)．
同理可得 kpB=
01
2
yy
P
(x2≠x0)由 kPA=-kPB 得 y0=-2 (yl+y2)故 .2
1
0
21
y
yy
设直线 AB 的斜率为 kAB。由 y2
2=2px2,y2
1=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)
故 kAB= ).()(
2
21
2112
12 xxyy
p
xx
yy
将 y1+y2=-
2
1 y0(y0>0)代入得 kAB=-
0
4
y
p 故 kAB 是非零常数．
[专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程，②计算不够准确．
[对症下药] (1)当 y=
2
p 时，x=
8
p ，又抛物线 y2= 2px 的准线方程为 x=
2
p ，
由抛物线定义得，所求距离为 -(- )= .8
5p
(Ⅱ)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB
由 y1
2=2px1，y2
0=2px0 相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，
故 kP A=
0101
01 2
yy
p
xx
yy
(x1≠x0)．同理可得 kPB=
01
2
yy
p
(x2≠x0)．
由 PA、PB 倾斜角互补知 kPA=-kPB，即 =-
02
2
yy
p
，所以 yl+y2=-2y0，
故
0
21
y
yy =-2. 设直线 AB 的斜率为 kAB
由 y2
2=2px2，y2
1=2pxl
相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，
所以 ).(2
21
2112
12 xxyy
p
xx
yykAB
将 yl+y2=-2y0(y0>0)代入得
,2
021 y
p
yy
pkAB 所以 kAB 是非零常数．
4．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O的两不同动点 A、B 满足 AO⊥
BO(如图所示)．
(1)求△AOB 的重心 C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；
(Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；
若不存在，请说明理由．
[考场错解]（Ⅰ）设△AOB 的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
)1(
3
3
21
21
yyy
xxx
∵OA 0 OBOAOB x1x2+yly2=0(2)
又点 A、B 在抛物线上，有 y1=x1
2，y2=x2
2 代入(2)化简得 xlx2=0 或-1
∴y=
3
1)(3
1
3
2
2
2
1
21 xxyy [（x1+x2）2-2x1x2]=3x2+
3
2 或 3x2，故重心为 G 的轨迹方程为 y=3x2
或 y=3x2+ .
[专家把脉]没有考虑到 x1x2=0 时，△AOB 不存在
[对症下药] （Ⅰ）设△AOB 的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
)2(0,1 2121 yyxxkkOBOA OBOA 即 又点 A、B 在抛物线上，有 y1=x1
2，y2=x2
2 代入(2)化
简得 xlx2=-1
∴y=
3
1)(3
1
3
2
2
2
1
21 xxyy [（x1+x2）2-2x1x2]=
3
2)3(3
1 2 x =3x2+
3
2 所以重心为 G 的轨迹方程为
y=3x2+
(Ⅱ)S△AOB= 2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1 2
1))((2
1||||2
1 yyyxyxxxyxyxOBOA
由(1)得 S△AOB= 122
12)1(22
1222
122
1 66
2
6
1
6
2
6
1 xxxx
当且仅当 x1
6=x2
6 即 x1=-x2=-1 时，等号成立。所以△AOB 的面积存在最小值，最小值为 1。
专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的
中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问
题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
∴(x1，yl-1)=
12
5 (x2，y2-1)由此得x1=
12
5 x2，由于x1， x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以
2
2
2
22
2
2
1
2
12
5,
1
2
12
17
a
ax
a
ax
消去x2得 .
13
17
60
289
1
2
2
2
a
a
a
[专家把脉] (1)没有考虑到1-a2≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0．
[对症下药] (1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组
1
,12
2
2
yx
y
a
x
有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以
0)1(84
01
224
2
aaa
a 解
得0
2
6 且e≠
2 ，即离心率e的取值范围为(
2
6 )∪( 2 )．
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)．∵ PBPA
12
5 ∴(x1,y1-1)=
12
5 (x2,y2-1)由此得x1=
12
5 x2，
由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以
12
17 x2=- 2
2
2
22
2
1
2
12
5,
1
2
a
ax
a
a
，消x2，得
-
60
289
1
2
2
2
a
a ，由a>0，所以a=
13
17
2．给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点 (1)设l的斜率为1，
求 OA与 OB 夹角的大小； (Ⅱ)设 AFFB ，若λ ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．
[考场错解] (1)设 与 夹角为α ；由题意l的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y2=4x得
x2-6x+1=0设A(x1，y1)B(x2，y2)则有x1+x2=6，x1x2=1．易得 · OB =x1x2+y1y2=-3，
41|||| 2
2
2
2
2
1
2
1 yxyxOBOA cosα =
41
413
||||
OBOA
OBOA ∴α =-arccos
(Ⅱ)由题意知 AFFBAFFB ，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'．
∴|FB|=|BB'|，|AF|=|AA'| ∴|BB’|=λ |AA'|，λ ∈[4， 9]
设l的方程为y=k(x-1)由
xy
xky
4
)1(
2 得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0
∴x= 2
22 122
k
kk ∴|AA'|= 2
22 122
k
kk +l = 2
22 12)1(2
k
kk
|BB'|=
2
22
2
22 12)1(2122
k
kk
k
kk
]
4
3,
3
4[)0(9
12)1(2
12)1(24
12)1(2
12)1(2
|'|
|'|
22
22
22
22
kk
kk
kk
kk
kk
AA
BB
[专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义．(Ⅱ)思路不清晰．
[对症下药] (1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1．
将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1．
OBOA =(x1，y1)·(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3．
所以 OA与 OB夹角的大小为π -arc cos
41
413 (Ⅱ)由题设 AFFB 得 (x2-1，y2)=λ (1-x1，
-y1)，
即
12
12 ),1(1
yy
xx
由②得y2
2=λ 2y2
1．∵y2
1=4x1，y2
2=4x2，∴x2=λ 2x1 ③
联立①、③解得x2=λ ，依题意有λ >0，∴B(λ ，2 )或B (λ ，-2 )，又9(1，0)，得直线
.3
21 2 e
(2)当|PF1|=|F1F2|时，同理可得 2
2
2
2
2
2
]
1
)3([]
1
)3([ c
e
cec
e
ce
解得e2=3于是λ =1-3=-2．
(3)当|PF2|=|F1F2|时，同理可得
2
2
2
2
2
2
]
1
)3([]
1
)3([ c
e
cec
e
ce
=4c2 解得e2=1 于是λ =1-1=0
综上所述，当λ =
3
2 或-2或0时△PF1F2，F2为等腰三角形．
[专家把脉] (1)没有注意到因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2
为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围．
[对症下药] (1)证法一：因为A、B分别是直线l：y= ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B
的坐标分别是(- 0,e
a
)(0,a). 由 .,
,
,1
,
222
2
2
2
2 bac
c
by
cx
b
y
a
x
aexy
这里得
所以点M的坐标是(-c,
a
b 2
)，由 ABAM 得(-c+
a
b
e
a 2
, )=λ ( e
a
，a)． 即
2
2 1 e
a
a
b
e
ac
e
a
解得
证法二：因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(- ，0)，
(0，a)，设M的坐标是(x0，y0)，由 ABAM 得( a
e
ax ,0 )，
所以
.
)1(
0
0
ay
e
ax
因为点M在椭圆上，所以 2
2
0
2
2
0
b
y
a
x =1，
即 .1
1
)1(,1)()]1([
2
2
2
2
2
2
2
2
eeb
a
a
e
a
所以 e4-2(1-λ )e2+(1-λ )2=0，解得e2=1-λ 即
λ =1-e2．
(Ⅱ)解法一：因为PF1⊥l，所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，
必有|PF1|=|F1F2|,即 2
1
|PF1|=c. 设点F1到l的距离为d，由 |PF1|=d，
= c
e
eca
e
ace
22 1
||
1
|0)(| ,得
2
2
1
1
e
e
=e．所以e2=
3
1 ，于是λ =1-e2=
3
2 .即当λ = 时，△PF1F2为等腰三角形．
解法二：因为PF1⊥l，所以，∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有
|PF1|=|F1F2|,设点P的坐标是(x0，y0)，
则
acxey
ecx
y
22
0
10
00
0
0
解得
.
1
)1(2
,
1
3
2
2
0
2
2
0
e
aey
e
ex
由|PF1|=|FlF2|得
2
2
2
2
2
2
]
1
)1(2[]
1
)3([
e
aec
e
ce =4c2，
两边同时除以4a2，化简得
1
)1(
1
2
e
e =e2．从而e2=
3
1 于是λ =l-e2=
3
2 ．即当λ =
3
2 时，△PF1F2为
等腰三角形．
4．抛物线C的方程为y=ax2(a<0)，过抛物线C上一点P(x0，y0)(x0≠0)作斜率为k1，k2的两条
直线分别交抛物线C于A(x1，y1)B(x2，y2)两点(P、A、B三点互不相同)，且满足k2+λ k1=0(λ
≠0且λ ≠-1)．
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程； (Ⅱ)设直线AB上一点M满足 BM =λ MA，证明线
段PM的中点在y轴上 (Ⅲ)当A=1时，若点P的坐标为(1，-1)，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标
y1的取值范围．
[考场错解] (1)抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为(
4
a ，0)准线方程为x=-
(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2
由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1
-1,-k2
1-2k1-1)，B(k1-1，-k2
1+2k1-1)
于是 AP = (k1+2,k2
1+2k1)， AB =(2k1，4k1)， ABAP, 2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB为钝角且P、A、
B三点互不相同，故必有 · AB <0易得k1的取值范围是 k1<-2或
2
1 0}，
(Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0，由题意得
1
||
2
k
ykx ·
1
||
2
k
bkx =d2，即
12
222
k
yxk =d2，
由P(x，y)∈W，知k2x2-y2>0，所以
12
222
k
yxk =d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，
所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0；
(Ⅲ)当直线J与，轴垂直时，可设直线J的方程为，x=a (a≠0)．由于直线l，曲线C关于x轴
对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为(a，0)，所以△OM1M2，△OM3M4
的重心坐标都为(
3
2 a，0)，即它们的重心重合，
当直线l1与x轴不垂直时，设直线J的方程为y=mx+n(n ≠0)．
由
nmxy
dkyxk 0)1( 22222
, 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0
在△QF1F2中 aQFOT ||2
1
1 故有x2+b2= a2(x=±a)
(Ⅲ)C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要条件是：
)2(||22
1
)1(
2
0
22
0
2
0
byc
ayx
又 1MF =(-C-x0-y0)， 2MF =(c-x0,y0)由 · =x0
2-c2+y2
0=a2-c2=b2
即 |||| 21 MFMF cos∠F1MF2=b2又s= ||||2
1
21 MFMF sin∠FlMF2得tan ∠FlMF2=2
[专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面．
[对症下药] (1)证法一：设点P的坐标为(x，y)．由P(x，y)在椭圆上，得
.)()()(|| 22
2
2
2222
1 xa
cax
a
bbcxycxPF 2
由|x|≤a，知a+ xa
c ≥-c+a>0，所以 || 1PF =a+
a
c x．
证法二：设点P的坐标为(x，y)．记 ,||,|| 2211 rPFrPF
则r1= 22)( ycx ，r2= 22)( ycx .
由r1+r2=2a，r2
1-r2
2=4cx，得 || 1PF =r1=a+ xa
c ．
证法三：设点P的坐标为(x，y)．椭圆的左准线方程a+ =0．
由椭圆第二定义得
a
c
c
ax
PF
||
||
2
1 即
.||||||
2
1 xa
cac
axa
cPF
由x≥-a，知a+ ≥-c+a>0，所以 =a+
(Ⅱ)解法一：设点T的坐标为(x，y)．当 || PT =0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上．当
0|| PT 且 0|| 2 TF 时，由 |||| 2TFPT =0，得 .|| 2TFTP 又 |||| 2PFPQ ，所以T为线段F2Q的中
点．在△QF1F2中， ||2
1|| 1QFOT =a，所以有x2+y2=a2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2
解法二：设点T的坐标为(x，y)．当| |=0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上．
当 0|| PT 且 02 TF 时，由 02 TFPT 又| PQ|=| 2PF |，所以T为线段F2Q的中点．
设点Q的坐标为(x'，y')，则 ,
.2
'
2
'
yy
cxx
因此
.2'
,2'
yy
cxx ①由 || 1QF =2a得(x'+c)2+y'2=4a2．②
将①代入②，可得x2+y2=a2．综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2
(Ⅲ)解法一：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是
)4.(||22
1
)3(,
2
0
22
0
2
0
byc
ayx
由③得，|y0|≤a，由④得，|y0|≤
c
b2
，所以，当a≥
c
b2
时，存在点M，使S=b2；
当a< 时，不存在满足条件的点M．当a≥ 时， 1MF =(-c-c0,-y0)， 2MF =(c-c0,-y0)，
由 1MF · 2MF =x0
2-c2+y2
0=a2-c2=b2，
.2tan,sin||||2
1
,cos||||
21
2
2121
212121
MFFbMFFMFMFS
MFFMFMFMFMF
得
解法二：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是
)4.(||22
1
)3(,
2
0
20
2
0
2
byc
ayx
由④得|y0|
c
b2
，上式代入③得x2
0=a2- 2
4
c
b =(a-
c
b2
) (a+
c
b2
)≥0．
于是，当a≥ 时，存在点M，使s=b2;当a< 时，不存在满足条件的点M．
当a≥ 时，记k1=kF1M= ,,
0
0
22
0
0
cx
ykkcx
y
MF
由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2= |1|
21
2
1
kk
kk
=2．
专家会诊 (1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻
译过程，故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几
何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起．(2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的
去除．
故舍去
综上所述：当x=
2
9 时d取得最小值 15
[专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性，致使思路不清晰，计算繁琐．
[对症下药] [解](1)由已知可得点A(-6，0)，F(0，4)
设点P(x，y)，则 AP =(x+6，y)， FP=(x-4，y)，由已知可得
0)4)(6(
12036
2
22
yxx
yx
则 2x2+9x-18=0，x=
2
3 或x=-6．由于y>0，只能x= ，于是y= .2
35 点P的坐标是(
2
35,2
3 )
(2)直线AP的方程是x- 3 +6=0．设点M(m，0)，则M到直线AP的距离是
2
|6| m ．于是
2
|6| m =
|m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2．椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有，d2=(x-2)2+y2
=x2-4x+4+20-
9
5 x2 =
9
4 (x-
2
9 )2+15，由于-6≤m≤6，∴当x=
2
9 时，d取得最小值 15
2．如图，直线y=
2
1 x严与抛物线y=
8
1 x2-4交于A、B两点，线段AB的
垂直平分线与直线y=-5交于点Q． (1)求点Q的坐标 (2)当P为抛物
线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值．
[考场错解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5，-5) 直线OQ的方程为x+y=0
设P(x, 2
8
1 x -4)∵点P到直线OQ的距离
d=
|48)4(|16
5|328|16
5||2
125|||,328|
28
1
2
|48
1|
222
2
xxxdOQSOQxx
xx
OPQ
∵-4≤x≤8． ∴S△OPQ最大值=
16
5 |(-4+4)2-48|=15
[专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法．
[对症下药] (1)解方程组
48
1
2
1
2xy
xy
，得 ,
4
8
,2
4
2
2
1
1
y
x
y
x 即A(-4，-2)，B(8，4)，从而
AB的中点为M(2，1)，由
2
1ABk ，得线段AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2)．令 y=-5，得 x=5，
∴Q(5，-5)．
(2)直线OQ的方程为x+y=0，设P(x， -4)，∵点P到直线OQ的距离
d= .25|||328|
28
1
2
|48
1|
2
2
OQxx
xx
.|328|16
5||2
1 2 xxdOQS OPQ ∵P为抛物线
上位于线段AB下方点，且P不在直线OQ上． ∴ -4≤x<4 -4或4 3 -40，y2>0．由y=
2
1 x2，①得y'=x. ∴过点P的切线的斜率k切
=x1, ∵x1=0不合题意， ∴x1≠0．
∴直线l的斜率k1=
xk
11
切
,直线l的方程为y-
2
1 x2
1=
x
1 (x-x1)．②
方法一：联立①②消去y，得x2+ xx1
2 -x2
1-2=0． ∵M为PQ的中点，
).(1
2
1
1
2
0
1
2
10
1
21
0
xxxxy
x
xxx
消去x1,得y0=x0
2+ 2
02
1
x
+1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+ 22
1
x
+1(x≠0)，
方法二：由y1=
2
1 x2
1,y2=
2
1 x2
2，x0=
2
21 xx ，得y1-y2= x2
1- x2
2= (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，
则x0=
21
21
xx
yy k1=-
1
1
x
∴x1=-
0
1
x
,将上式代入②并整理，得y0=x2
0+ 2
02
1
x
+1(x0≠0)， ∴PQ中点M
的轨迹方程为y=x2+ 22
1
x
+1(x≠0)．
(Ⅱ)设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)．分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥y
轴，垂足分别为p'、 Q'，则 .||
||
||
||
|'|
||
|'|
||
||
||
||
||
21 y
b
y
b
QQ
OT
PP
OT
SQ
ST
SP
ST
由
bkxy
xy 2
2
1
消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0．③则
.
),(2
2
21
2
21
byy
bkyy
方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP,即 .
1
1
2
2
x
by
x
by 则x1y2-bx1=x2y1-bx2，即
b(x2-x1)=(x2y1-x1y2)．于是
b= .2
12
1
2
1
21
12
2
21
2
12
xxxx
xxxx
.2||||
2
1
|2
1|
2
1
|2
1|||||
||
||
||
||
2
1
1
2
2
2
21
1
2
21
21
x
x
x
x
x
xx
x
xx
y
b
y
b
SQ
ST
SP
ST
||
1
2
x
x 可取一切不等于l的正数，
||
||
||
||
SQ
ST
SP
ST 的取值范围是(2，+∞)．
专家会诊①直线过定点的问题，常用直线系的思想处理． ②定值问题常常用函数的思想
处理，即把所求定值通过一些基本变量表示，最终化成常数．③最值问题往往用几何方法，
函数或不等式等方法处理．
四、典型习题导练
1、已知椭圆
22
221( 0)xy abab 右顶点与右焦点的距离为 31 ，短轴长为 2 2.（I）
求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A、B 两点，若三角形 OAB 的面积为
32,4
求直线 AB 的方程。
【解析】（Ⅰ）由题意，
2 2 2
31
2
ac
b
a b c
-----1 分解得 3, 1ac-----2 分
即：椭圆方程为 .123
22
yx -----4 分
（Ⅱ）当直线 AB 与 x 轴垂直时， 4
3
AB ， 此时 3AOBS 不符合题意故舍掉；
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： )1( xky ， 代入消去 y 得：
2 2 2 2(2 3 ) 6 (3 6) 0k x k x k ------5 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则
2
12 2
2
12 2
6
23
36
23
kxx k
kxx k
，
所以
2
2
4 3( 1)
23
kAB k
-----7 分原点到直线的 距离
21
kd
k
，
所以三角形的面积
2
22
1 1 4 3( 1)
2 2 2 31
k kS AB d kk
．由
232 224S k k ，
所以直线 : 2 2 0ABl x y 或 : 2 2 0ABl x y ．--------12 分
2、设椭圆
2
2
2 1(0 1)yxbb 的左焦点为 F ，左、右顶点分别为 AC、 ，上顶点为 B ，
过 F B C、 、 三点做 P .（Ⅰ）若 FC 是 的直径，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若 的
圆心在直线 0xy上，求椭圆的方程。
【解析】（Ⅰ）由椭圆的方程知 1a ∴ (0, ), (1,0),B b C 设 ( ,0)Fc …1 分∵ FC 是 P 的
直径，
∴ FB BC ,∵ ,,BC BF
bk b k c ∴ 1bb c ，…2 分∴
2 2 21 , 1 0b c c c c ，
解得： 51
2c …5 分∴椭圆的离心率 51
2
ce a
…6 分
（Ⅱ）解：∵ 过点 ,,F B C 三点，∴圆心 P 即在 FC 的垂直平分线，也在 BC 的垂直
端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线l 交椭圆于 P ，Q 两点． （Ⅰ）
求椭圆的方程；（Ⅱ）在线段OF 上是否存在点 ( ,0)Mm ,使得| | | |MP MQ ？若存在，求
出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）因为椭圆的短轴长： 2 2 1bb ，又因为两个焦点和短轴的两个端点恰
为一个正方形的顶点，所以： 2 2 2 2b c a b c ；故椭圆的方程为：
2
2 12
x y……4
分
（Ⅱ）（ 1）若l 与 x 轴重合时，显然 M 与原点重合， 0m ；
（2）若直线l 的斜率 0k ，则可设 : ( 1)l y k x，设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 则：
2 2 2
22
( 1) 2 ( 2 1) 2 0
2 2 0
y k x x k x x
xy
所以化简得：
2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k ；
2
12 2
4
12
kxx k PQ 的中点横坐标为：
2
2
2
12
k
k
，代入 : ( 1)l y k x可得： 的中
点为
N
2
22
2( , )1 2 1 2
kk
kk
， 由于| | | |MP MQ 得到
12 2
2
k
km 所以：
2
2
2
11(0, )11 2 22
km k
k
直线 ),(: 2
12
12
2 xxxx
yyyyBA
…10 分
22
12
12 )( yxxxx
yyy
2
22
12
2
1
2
2
4
1)()(4 xxxxx
xx
2
2
21
2
212
4
1
44 xxxxxxx 44
2112 xxxxx 44
12 xxx .12 分
直线 BA 恒过定点 )4,0( .……13 分
5、设椭圆
22
22: 1( 0)yxM a bab 的离心率与双曲线 221xy的离心率互为倒数，且
内切于圆 224xy。(Ⅰ)求椭圆 M 的方程；(Ⅱ)若直线 2y x m交椭圆于 A、B 两
点，椭圆上一点 (1, 2)P ，求 PAB 面积的最大值。
【解析】(Ⅰ)双曲线的离心率为 2 ，则椭圆 M 的离心率为
2
2 a
ce ，圆 422 yx
的直径为 4 ，则 42 a ，由
222
2
2
42
cab
a
c
a
2
2
2
b
c
a
所求椭圆 的方程为
2)( max ABPS …12 分
6、已知椭圆
22
22:1yxE ab的右焦点恰好是抛物线 2:4C y x 的焦点 F，点 A 是椭圆 E 的
右顶点. 过点 A 的直线l 交抛物线 C于 M，N 两点，满足OM ON ，其中O 是坐标原点. (Ⅰ)
求椭圆 E 的方程；(Ⅱ)过椭圆 E 的左顶点 B 作 y 轴平行线 BQ，过点 N 作 x 轴平行线 NQ，直
线 BQ 与 NQ 相交于点 Q. 若 QMN 是以 MN 为一条腰的等腰三角形，求直线 MN 的方程.
【命题意图】本题考查椭圆、抛物线等基础知识，考查转化求解能力.
【解析】(Ⅰ) 1,0F ，∴ 221, ,0a b A a ，设直线 :l x a my 代入 2 4yx 中，整
理得 2 4 4 0y my a .设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ，则 12
12
4,
4
y y m
y y a
，又∵
22
1 1 2 24 , 4y x y x，
∴
22
212
12 16
yyx x a，由 OM ON 得 2
1 2 1 2 40OM ON x x y y a a ，解得 4a 或
0a (舍)，
得 2 15b ，所以椭圆 E 的方程为
22
116 15
yx .
(Ⅱ)椭圆 E 的左顶点 4,0B ，所以点 24,Qy .易证 M，O，Q 三点共线.当 QM 为等腰
QMN 的底边时，由于ON OM ，∴O 是线段 MQ 的中点，∴
2
1
12
4 0,4
0
y
yy
所以 0m ，
即直线 MN 的方程为 4x ；
当 QN 为等腰 底边时，
22
122444
yy ，又∵ 12 16yy ，解得
2
1
2
2
8,
32,
y
y
1
2
22
42
y
y
或 1
2
22
42
y
y
∴ 2
2m ，所以直线 MN 的方程为 24 2xy ，
即 24yx .综上所述，当 为等腰三角形时，直线 MN 的方程为 4x 或
24yx .
7、在平面直角坐标系 xoy 中，动点 M 到定点 )4
1,0(F 的距离比它到 x 轴的距离大
4
1 ，设动
点 的轨迹是曲线 E .(Ⅰ)求曲线 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线l : 20xy与曲线 相
交于 A 、B 两点，已知圆C 经过原点O 和 AB、 两点，求圆C 的方程,并判断点 )4,0(M 关
于直线 的对称点 M 是否在圆C 上.
【解析】解：（ 1）由已知，即动点 到定点 的距离等于它到定直线
4
1x 的距
离，…2 分
∴动点 M 的轨迹曲线 E 是顶点在原点，焦点为 )4
1,0(F 的抛物线和点 1(0, )4 …………4分
∴曲线 的轨迹方程为 yx 2 和 1 ( 0)4yx .…6 分由
yx
yx
2
02
解得
1
1
y
x 或
4
2
y
x …8 分即 )1,1(A , )4,2(B 设过原点与点 A 、 B 的圆C 的方程为
022 FEyDxyx ，
则
042164
011
0
FED
FED
F
,解得
0
4
2
F
E
D
∴圆 的方程为 04222 yxyx
即
5)2()1( 22 yx …10 分由上可知，过点 )4,0(M 且与直线l 垂直的直线 MM 方程为：
4 xy
解方程组
02
4
yx
xy ，得
3
1
y
x 即线段 中点坐标为 )3,1(H ……12 分
从而易得点 )4,0(M 关于直线l 的对称点 M 的坐标为 )2,2(M 把代入 代入：
5)2()1( 22 yx ∴点 不在圆C 上.……14 分
8、过抛物线 yx 42 上不同两点 A 、 B 分别作抛物线的切线相交于点 P 00 ,( yx )，
0 PBPA .（Ⅰ）求 0y ；（Ⅱ）求证：直线 AB 恒过定点；（Ⅲ）设（Ⅱ）中直线 恒
过定点为 F ，若 0)( 2 FPFBFA 恒成立，求 的值.
【解析】(Ⅰ)设 )4,(
2
1
1
xxA ， )4,(
2
2
2
xxB ， )( 21 xx .由 yx 42 ，得：
2
' xy ，
2
1xkPA ，
2
2xkPB
0 PBPA ， PBPA ， 421 xx .直线 PA 的方程是： )(24 1
1
2
1 xxxxy .即
42
2
11 xxxy .
同理，直线 PB 的方程是：
42
2
22 xxxy .②由①②得： 14
21
0 xxy ， ),( 21 Rxx .
(Ⅱ)恒过点 )1,0( … 8 分
（Ⅲ）由(Ⅰ)得： )14,(
2
1
1 xxFA ， )14,(
2
2
2 xxFB ， )1,2( 21 xxP ，
)2,2( 21 xxFP ， 421 xx .
42)14)(14(
2
2
2
1
2
2
2
1
21
xxxxxxFBFA
2444
)()(
2
2
2
1
2
212 xxxxFP . 0)( 2 FPFBFA .故 1 .
9、已知点 )0,2(),0,2( BA ,直线 PA 与直线 PB 斜率之积为
4
3 ，记点 P 的轨迹为曲线
C .(Ⅰ)求曲线C 的方程；（Ⅱ）设 NM, 是曲线C 上任意两点，且 ONOMONOM ,
是否存在以原点为圆心且与 MN 总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说
明理由.
【解析】(Ⅰ)设 ( , )P x y 则由直线 PA 与直线 PB 斜率之积为
4
3 得 3
2 2 4
yy
xx
，
( 2)x .
2
12 2
4 12
43
mxx k
.（*）
由OM ON 得 12
12
1yy
xx ，整理得 22
1 2 1 2( 1) ( ) 0k x x km x x m .代入（*）式解
得
227 12( 1)mk此时 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x kmx m 中 0 .此时原点O到直线 MN
F'
1
y
xO
P
P0
F2
F1
的距离
2
| | 12
71
md
k
.故原点O到直线 MN 的距离恒为 12
7d .存在以原点为圆心且与
MN 总相切的圆，方程为 2212
7xy.--12分
10、已知对称中心为坐标原点的椭圆 1C 与抛物线 2
2 :4C x y 有一个相同的焦点 1F ，直线
:2l y x m与抛物线 2C 只有一个公共点.（1）求直线l 的方程；（2）若椭圆 经过直线
上的点 P ，当椭圆 的的离心率取得最大值时，求椭圆 的方程及点 P 的坐标.
(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的
数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)
4m .… 3 分∴直线 的方程为 24yx.…… 4 分
（2）法 1：∵抛物线 2C 的焦点为 1 0,1F ， 依题意知椭圆 的两个焦点的坐标为
120,1 , 0, 1FF
设点 1 0,1F 关于直线l 的对称点为 '
1 0 0,F x y ，
则
0
0
00
1 2 1,
1 2 4.22
y
x
yx
…7 分 解得 0
0
4,
1.
x
y
∴点 '
1 4, 1F … 8 分 ∴直线l 与直线
'
12:1F F y
的交点为 0
3 ,12P
9 分由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆 1C 的长轴长
122a PF PF
'
12PF PF '
12 4FF其中当点 P 与点 0P 重合时，上面不等式取等号∴ 2a . ∴
11
2e a.
故当 2a 时， max
1
2e ， 12 分此时椭圆 的方程为
22
143
yx，点 P 的坐标为
3 ,12
… 14 分
法 2：∵抛物线 2C 的焦点为 1 0,1F ， 依题意知椭圆 的两个焦点的坐标为
120,1 , 0, 1FF .5 分
设椭圆 的方程为
22
22 111
yx aaa
，… 6 分由 22
22
2 4,
11
yx
yx
aa
消去 y ，
得 2 2 2 2 25 4 16 1 1 16 0a x a x a a .（*） 7 分
若直线 MA 交直线 4x 于点 P ，过 作直线 MB 的垂线交 x 轴于点Q ，求 的坐标; (Ⅲ)
求点 在直线 上射影的轨迹方程.
【解析】(Ⅰ)由题意知 1, 2ca,故椭圆方程为
22
143
xy......3 分
(Ⅱ)设 ( , )M x y ， (4, )Pz则由图知 MN AN
PD AD ，得 2
6
yx
z
,故 6
2
yz x
.
设 0( ,0)Qx ,由 PQ MB 得：
0
6
2 142
y
yx
xx
，
2
0 2
64 4
yx x
.
又 M 在椭圆上，故 2244 3xy ，化简得 0
1
2x ，即 1( ,0)2Q ....8 分
(Ⅲ)点 在直线 上射影即 PQ 与 MB 的交点 H，由QH HB 得 HQB 为直角三角形，
设 E 为QB 中点，则 HE = 1
2 QB = 5
4
， 3( ,0)4E ，因此 H 点的轨迹方程为
212xx .
由点
2
21
1 1 1( , ), ( 2 , )4
xM x N x x 知直线 MN 的方程为
2
11
1()44
xxy x x .分别在其中令
0y
及 0x 得
2
1
1(2 ,0), (0, )2
xA x B .5 分将 ,,B M N 的坐标代入OB OM ON中得
11
22
211
1
0 ( 2 )
24
xx
xxx
,即 2
42
,7 分所以 21,.338 分
(Ⅱ)设椭圆 2C 的方程为
22
221( 0)xy abab ,将 1(2 ,0)Ax ,
2
1
1( , )4
xMx 代入,
得
2 2 4
1 1 1
2 2 2
4 1, 116
x x x
a a b ,9 分解得
4
2 2 2 1
14, 12
xa x b, 由 22ab 得 2
10 48x. 10 分
椭圆 的焦距
22
2 2 2 2 11
11
(48 )332 2 (48 ) 8 33 3 2
xxc a b x x
（或 2 2 2 2 2
1 1 1
3 3 3(48 ) ( 24) 24 24 8 33 3 3x x x ） ····· 12 分
······································
当且仅当 2 2 2
1 1 148 , 24 48x x x 时,上式取等号, 故 max(2 ) 8 3c , ···· 13 分
······································
此时椭圆 的方程为
22
1.96 48
xy14 分
13、已知点P是圆F1： 16)3( 22 yx 上任意一点，点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2
的中垂线与PF1交于M点．(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；(Ⅱ)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别
为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，
连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的
圆O的位置关系．
【解析】(Ⅰ)由题意得， 123,0 , 3,0FF （1分）
圆 1F 的半径为4，且 2| | | |MF MP （2分）
从而 1 2 1 1 2| | | | | | | | 4 | | 2 3MF MF MF MP F F （3分）
∴ 点M的轨迹是以 12,FF为焦点的椭圆,其中长轴 24a ,焦距
2 2 3c ，则短半轴 22 4 3 1b a c （4分）椭圆方程
为:
2
2 14
x y （5分）
(Ⅱ)设 00,K x y ，则
2
20
0 14
x y．∵ HK KQ ，∴ 00,2Q x y ．∴ 22
0022OQ x y
（6 分）
∴ Q 点在以O 为圆心，2 为半径的的圆上．即 点在以 AB 为直径的圆O 上．(7 分)
又 2,0A ，∴直线 AQ 的方程为 0
0
2 22
yyxx
．(8 分)令 2x ，得 0
0
82, 2
yD x
(9 分)
又 2,0B ， N 为 DB 的中点，∴ 0
0
42, 2
yN x
(10 分)∴ 00,2OQ x y ，
00
0
0
22, 2
xyNQ x x
(11 分)
∴ 22
000 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
4242 2 2 22 2 2
xxx y x yOQ NQ x x y x x x xx x x
（Ⅱ）由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，故可设直线 l 的方程为 y＝kx＋m（m≠0），
A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
y＝kx＋m，
x2＋y2＝a2． 消去 y 并整理，得(1＋k2)x2 ＋2kmx＋m2－a2＝0，
则△＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－a2)＝4(k2a2＋a2－m2)＞0，且 x1＋x2＝－2km
1＋k2 ，x1x2＝m2－a2
1＋k2 ．
∴y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．∵直线 OA，AB，OB 的斜率依次成等比
数列，∴y1
x1
·y2
x2
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
x1x2
＝k2，即－2k2m2
1＋k2 ＋m2＝0，又 m≠0，∴k2＝1，即 k＝
±1．
设点 O 到直线 l 的距离为 d，则 d＝ |m|
k2＋1，∴S△OAB＝1
2|AB|d＝1
2 1＋k2|x1－x2 |· |m|
k2＋1
＝1
2|x1－x2 ||m|＝1
2 m2(2a2－m2)．由直线 OA，OB 的斜率存在，且△＞0，得 0＜m2＜2a2 且 m2≠a2，
∴0＜ m2(2a2－m2)＜m2＋(2a2－m2)
2 ＝a2．故△OAB 面积的取值范围为（0，1
2a2）．…（10 分）
（Ⅲ）对椭圆 Γ 而言，有如下类似的命题：“设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 Γ 交于 A，B
两点，若直线 OA，AB，OB 的斜率依次成等比数列，则△OAB 面积的取值范围为（0，1
2ab）．”……
（13 分）
15、已知 12,FF分别为椭圆
22
221xy
ab( 0)ab 的左右焦点， ,MN分别为其左右顶
点，过 2F 的直线l 与椭圆相交于 ,AB两点. 当直线l 与 x 轴垂直时，四边形 AMBN 的面积
等于 2，且满足 222MF AB F N.⑴求此椭圆的方程；⑵当直线l 绕着焦点 2F 旋转但
不与 x 轴重合时，求 AM AN BM BN 的取值范围.
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方
程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.
【解析】⑴当直线l 与 x 轴垂直时，由
212222AMBN
bSaa ，得 1b .
又 222MF AB F N,所以
222 ba c a ca ，即 2ac ，又 221ac，
解得 2a . 因此该椭圆的方程为
2
2 12
x y. (4 分)
⑵设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，而 ( 2,0), ( 2,0)MN ，所以 11( 2 , )AM x y ，
11( 2 , )AN x y ，
22( 2 , )BM x y ， 22( 2 , )BN x y .从而有
22
1 1 1 2 2 2( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )AM AN BM BN x x y x x y
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 ( ) 2 ( ) 2 4x x y y x x x x y y y y . (6 分)
因为直线l 过椭圆的焦点(1,0) ，所以可以设直线 的方程为 1 ( )x ty t R ，则由
2
2 12
1
x y
x ty
消去 x 并整理，得 22( 2) 2 1 0t y ty ，所以 122
2
2
tyy t
，
12 2
1
2yy t
. (8 分)
进而 1 2 1 2 2
4( ) 2 2x x t y y t
，
2
1 2 1 2 2
22( 1)( 1) 2
tx x ty ty t
，可得
2
22
2 2 2 2
4 2 2 2 1( ) 2( ) ( ) 2( ) 42 2 2 2
ttAM AN BM BN t t t t
2 2 2
86
( 2) 2tt. (10 分)
令 2 2tm ，则 2m . 从而有 2
2
8 6 1 3 98( )88AM AN BM BN m m m ，而
110 2m，
所以可以求得 AM AN BM BN 的取值范围是 9[ ,0)8 .(12 分)
16、已知 1F 、 2F 分别是椭圆 C 1 ： 12
2
2
ya
x 的左、右焦
点，
M、N 分别是双曲线 C 2 ： 12
2
2
2
y
a
x 的左、右焦点，
过 N 作双曲线渐进线的垂线，垂足为 P，
若 PF 2 ⊥x 轴（1）椭圆C 与双曲线 C 的方程；
（2）分别过 F 和 N 作两条平行线 1l 、 2l ， 1l 交椭圆于 A、B，
2l 交双曲线右支于 D、E，问：是否存在 R ，使得
||||
1
DEAB
为定值，若不存在，说
明理由。
解：(1)可求出 a2=2 ∴两种曲线的方程分别为 122,12
22
2
2
yxyx
(2)若 L1，L2 不垂直于 x 轴，设其斜率为 k，则
12
)1(
2
2
yx
xky
2
)2(
22 yx
xky
2
2
21
2)1(2
k
kAB
可求出
2
2
2 2(1 )
1
kDE k
2
1 , 定值为
8
23 当 L1，L2 与 x 轴垂直时
1 1 3 2
28AB DE
2
1 存在 , 定值为
8
23
17、如图，过点 (0, 2)D 作抛物线 2 2 ( 0)x py p的切线l ，切点 A 在第二象限．（1）
求切点 A 的纵坐标；（2）若离心率为
2
3 的椭圆 )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 恰好经过切点 A，设
切线l 交椭圆的另一点为 B，记切线 、OA、OB 的斜率分别为 kkkkkk 42,,, 2121 若 ，求椭
（2）由（1）得 )2,2( pA ，切线斜率
p
k 2 ，设 ),( 11 yxB ，切线方程为 2 kxy ，
由
2
3e ，
得 22 4ba ．…7 分所以椭圆方程为 1
4 2
2
2
2
b
y
b
x ，且过 ， 42 pb ．…
9 分
由 041616)41(
44
2 222
222
bkxxk
byx
kxy
，
2
2
10
210
41
416
41
16
k
bxx
k
kxx
，…11
分
136144
22
yx …15 分
18、已知曲线 )0()0,0(1: 222
22
2
2
2
1 xryxCxbab
y
a
xC ：和曲线 都过点 A
（0，－1），且曲线 1C 所在的圆锥曲线的离心率为
2
3 .（Ⅰ）求曲线 1C 和曲线 2C 的方程；
（Ⅱ）设点 B,C 分别在曲线 ， 2C 上， 21,kk 分别为直线 AB,AC 的斜率,
当 12 4kk 时，问直线 BC 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理
由.
2
11
22
1 1 1
4 1 81
4 1 4 4 1
kkyxk k k
，即
1
1 14yxk ．…12 分故 BC 过定点 0,1 ．…13 分
19、在Δ ABC 中，顶点 A,B, C 所对三边分别是 a,b,c 已知 B(-1, 0), C(1, 0),且 b,a, c
成等差数列.(I )求顶点 A 的轨迹方程；(II) 设顶点 A 的轨迹与直线 y=kx+m 相交于不同的
两点 M、N，如果存在过点 P(0,- )的直线 l,使得点 M、N 关于 l 对称，求实数 m 的取值范围.
【解析】（I）由题知
，
，
acb
a
2
2 得 b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．由椭圆定义知，顶点 A
的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为 2，半焦距为 1，于是短
半轴长为 3 ．∴ 顶点 A 的轨迹方程为 )0(134
22
yyx ．…4 分
（II）由
，
，
01243 22 yx
mkxy
消去 y 整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0．
∴Δ =(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)>0，整理得：4k2>m2-3．①令 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
，
，
2
2
21
221
43
)3(4
43
8
k
mxx
k
kmxx
设 MN 的中点 P(x0，y0)，则 ，2210 43
4)(2
1
k
kmxxx
2021210 43
3)(2
1)(2
1
k
mkxmmkxmkxyyy ，……7 分
i)当 k=0 时，由题知， )30()03( ，， m ．………8 分
ii)当 k≠0 时，直线 l 方程为 xky 1
2
1 ，由 P(x0，y0)在直线 l 上，得 22 43
4
2
1
43
3
k
m
k
m
，
得 2m=3+4k2．②
把②式代入①中可得 2m-3>m2-3，解得 00，解得
2
3m ．∴
22
3 m ．
验证：当(-2，0)在 y=kx+m 上时，得 m=2k 代入②得 4k2-4k+3=0，k 无解．即 y=kx+m 不会过
椭圆左顶点.同理可验证 y=kx+m 不过右顶点．∴ m 的取值范围为( 22
3， )．…………11 分
综上，当 k=0 时，m 的取值范围为 )30()03( ，， ；当 k≠0 时，m 的取值范围为
( )．…12 分
20、已知圆 1C 的圆心在坐标原点O ,且恰好与直线 1 :l 2 2 0xy 相切. (Ⅰ) 求圆的
标准方程；（Ⅱ）设点 A为圆上一动点, AN x 轴于 N ,若 动 点 Q 满足
1)OQ mOA m ON （ ,(其中 m 为非零常数),试求动点 的轨迹方程 2C ；（Ⅲ）在（Ⅱ）
的结论下，当 3
2m 时, 得到曲线C ，与 1l 垂直的直线 l 与曲线 交于 B 、 D 两点,求
OBD 面积的最大值.
【解析】 (Ⅰ)设圆的半径为 r ,圆心到直线 1l 距离为 d ，则
22
| 2 2 | 2
11
d
2 分圆 的方
程为 224xy
（Ⅱ）设动点 ( , )Q x y , 0, 0()A x y , 轴于 , 0( ,0)Nx
由题意, 0 0 0( , ) ( , ) (1 )( ,0)x y m x y m x ，所以 0
0
xx
y my
5 分
即:
0
0
1
xx
yym
，将 1( , )A x ym
代入 224xy,得
22
2 144
xy
m 7 分 2
0
0
9
0
5
1
5
2
0
0
9
0
5
1
5
