浙江省金华十校2018-2019学年高一下学期期末调研考试数学试题

浙江省金华十校2018-2019学年高一下学期期末调研考试数学试题

www.ks5u.com 金华十校2018-2019学年高一下学期期末调研考试 第I卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合的补集，然后求其与集合的交集，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】依题意，所以，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.过点（1，0）且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线方程，代入点求得直线方程.‎ ‎【详解】依题意设所求直线方程为，代入点得，故所求直线方程为，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的知识，考查直线方程的求法，属于基础题.‎ ‎3.函数则＝（ ）‎ A. B. C. 2 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】依题意，，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特殊值排除A,B选项，根据单调性选出C,D选项中的正确选项.‎ ‎【详解】当时，，故A,B两个选项错误.由于，故，所以C选项正确，D选项错误.故本小题选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数值，考查对数函数和指数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎5.将函数的图象上各点沿轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得图象变换后的解析式，再根据正弦函数对称中心，求出正确选项.‎ ‎【详解】向右平移的单位长度，得到，由解得，当时，对称中心为，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数对称中心的求法，属于基础题.‎ ‎6.实数满足,则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的取值范围.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线到可行域边界的位置，由图可知目标函数分别在出取的最小值和最大值，最小值为，最大值为，故的取值范围是，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线性规划求最大值和最小值，考查数形结合数学思想方法，属于基础题.‎ ‎7.已知数列满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令，求得不等式，由此证得成立.‎ ‎【详解】当时，，当时，，当时，，所以，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系判断项的大小关系，属于基础题.‎ ‎8.在中，，且面积为1，则下列结论不正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形面积公式列式，求得，再根据基本不等式判断出C选项错误.‎ ‎【详解】根据三角形面积为得，三个式子相乘，得到，由于，所以.所以，故C选项错误.所以本小题选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角形面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题.‎ ‎9.若存正实数，使得，则（ ）‎ A. 实数的最大值为 B. 实数的最小值为 C. 实数的最大值为 D. 实数的最小值为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 将题目所给方程转化为关于的一元二次方程，根据此方程在上有解列不等式组，解不等式组求得的取值范围，进而求出正确选项.‎ ‎【详解】由得，当时，方程为不和题意，故这是关于的一元二次方程，依题意可知，该方程在上有解，注意到，所以由解得，故实数的最大值为，所以选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎10.如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方．设，（），记，，分别考察的所有运算结果，则（ ）‎ A. 有最小值，有最大值 B. 有最大值，有最小值 C. 有最大值，有最大值 D. 有最小值，有最小值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，用表示出，根据的取值范围，利用三角函数恒等变换化简，进而求得最值的情况.‎ ‎【详解】依题意，所以.设，则，所以，，所以，当时，取得最大值为.‎ ‎，所以，所以，当时，‎ 有最小值为.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎ 二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在答题卷的相应位置．‎ ‎11.若直线的方程为，则其倾斜角为____，直线在轴上的截距为_____.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得斜率，进而求得倾斜角；令，求得直线在轴上的截距.‎ ‎【详解】依题意，直线的斜率为，故倾斜角为.令，求得直线在轴上的截距.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角，考查直线的纵截距的求法，属于基础题.‎ ‎12.已知角终边上一点P的坐标为，则是第____象限角，____·‎ ‎【答案】 (1). 四 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的正负，判断出所在的象限，由此确定所在象限，根据三角函数的定义求得的值.‎ ‎【详解】由于，所以，故点在第四象限，也即为第四象限角.由三角函数的定义有.‎ ‎【点睛】本小题主要考查弧度制，考查三角函数在各个象限的符号，考查三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎13.已知函数为偶函数，则_____，函数的单调递增区间是_____.　‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用列方程，由此求得的值.化简解析式，然后根据复合函数单调性同增异减求得函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】，由于函数为偶函数，故，即，故.所以，由解得，由于是开口向下的二次函数，且左增右减，而底数为，根据复合函数单调性，可知函数在区间上单调递增.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求参数，考查复合函数单调性的判断方法，属于基础题.‎ ‎14.已知数列满足：，其前项的和为，则_____，当取得最小值时，的值为______.　‎ ‎【答案】 (1). (2). 8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的通项公式判断出数列是等差数列，并求得首项和公差，进而求得的值.利用，求得当为何值时，取得最小值.‎ ‎【详解】由于，故是等差数列，且首项，公差.所以 ‎.令，解得，故当时，取得最小值.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式，考查等差数列前项和公式，考查等差数列前项和的最小值有关问题的求解，属于基础题.‎ ‎15.已知，且，则_____.　‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据已知条件求得的值，平方后利用同角三角函数的基本关系式求得的值.‎ ‎【详解】由得，两边平方并化简得，由于，所以.而，由于，所以 ‎【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎16.已知，向量的夹角为，则的最大值为_____.　‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两边平方，化简后利用基本不等式求得的最大值.‎ ‎【详解】将两边平方并化简得，由基本不等式得 ‎，故，即，即，所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎17.若存在实数使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____.　‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的取值范围，将题目所给不等式转化为含的绝对值不等式，对分成三种情况，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于，故可化简得恒成立.‎ 当时，显然成立.‎ 当时，可得， ，可得且，可得，即，解得.‎ 当时，可得，可得且，可得，即，解得.综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查存在性问题的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（I）求的最小正周期；‎ ‎（II）求在上的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（I）；（II）3，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用降次公式和辅助角公式化简解析式，由此求得的最小正周期.（II）根据函数的解析式，以及的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得在区间上的最大值与最小值.‎ ‎【详解】（I）‎ 的最小正周期．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎，．‎ ‎【点睛】本小题主要考查降次公式和辅助角公式，考查三角函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题.‎ ‎19.在平面直角坐标中，圆与圆相交与两点．‎ ‎（I）求线段的长．‎ ‎（II）记圆与轴正半轴交于点，点在圆C上滑动，求面积最大时的直线的方程．‎ ‎【答案】（I）；（II）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先求得相交弦所在的直线方程，再求得圆的圆心到相交弦所在直线的距离，然后利用直线和圆相交所得弦长公式，计算出弦长.（II）先求得当时，取得最大值，根据两直线垂直时斜率的关系，求得直线的方程，联立直线的方程和圆的方程，求得点的坐标，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】（I）由圆O与圆C方程相减可知，相交弦PQ的方程为．‎ 点（0，0）到直线PQ的距离，‎ ‎（Ⅱ），.‎ 当时，取得最大值．‎ 此时，又则直线NC．‎ 由，或 当点时，，此时MN的方程为．‎ 当点时，，此时MN的方程为．‎ ‎∴MN的方程为或．‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆与圆相交所得弦长的求法，考查三角形面积公式，考查直线与圆相交交点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查两直线垂直时斜率的关系，综合性较强，属于中档题.‎ ‎20.在中，角的平分线交于点D，是面积的倍.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，，求的值.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据是面积的倍列式，由此求得的值.（II）用来表示，利用正弦定理和两角差的正弦公式，化简（I）所得的表达式，求得的值，进而求得的值，利用正弦定理求得的值.‎ ‎【详解】（I）因为AD平分角，所以．‎ 所以．‎ ‎（II）因为，所以，‎ 由（I）．‎ 所以，即．‎ 得，因为AD平分角，所以．‎ 因为，由正弦定理知，‎ 即，得．‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查三角形内角和定理，考查正弦定理解三角形，考查角平分线的性质，属于中档题.‎ ‎21.已知．‎ ‎（I）若函数有三个零点，求实数的值；‎ ‎（II）若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）或；（II）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）令，将有三个零点问题，转化为有三个不同的解的解决.画出和的图像，结合图像以及二次函数的判别式分类讨论，由此求得的值.（II）令，将恒成立不等式等价转化为恒成立，通过对分类讨论，求得的最大值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（I）由题意等价于有三个不同的解 由，可得其函数图象如图所示：‎ 联立方程：，‎ 由可得 结合图象可知 ‎．‎ 同理，由可得，‎ 因为，结合图象可知，‎ 综上可得：或．‎ ‎（Ⅱ）设，原不就价于，‎ 两边同乘得：， ‎ 设，‎ 原题等价于的最大值．‎ ‎（1）当时，，易得，‎ ‎（2），，易得，‎ 所以的最大值为16，即，故．‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数零点个数求参数，考查数形结合数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想，属于难题.‎ ‎22.已知数列满足，，其中实数.‎ ‎（I）求证：数列是递增数列；‎ ‎（II）当时.‎ ‎（i）求证：；‎ ‎（ii）若，设数列的前项和为，求整数的值，使得最小．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）（i）证明见解析；（ii）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）通过计算，结合，证得数列是递增数列.（II）（i）将转化为，利用迭代法证得.(ii)由（i）得，从而，即.利用裂项求和法求得，结合（i）的结论求得，由此得到当时，取得最小值．‎ ‎【详解】（I）由 所以，因为，所以，即，‎ 所以，所以数列是递增数列．‎ ‎（II）此时．‎ ‎（i）所以，有 由（1）知是递增数列，‎ 所以 所以 ‎（ii）因为 所以 有.‎ 由 由（i）知，所以 所以 所以当时，取得最小值．‎ ‎【点睛】本小题主要考查数列单调性的证明方法，考查裂项求和法，考查迭代法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎