安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（八）数学（理）试题

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（八）数学（理）试题

‎2020届模拟08‎ 理科数学 测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知集合，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．等差数列满足：，若的前项和为，公差为，则下列结论不正确的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆的方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：‎ ‎3.1415926＜＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有 （ ）‎ A．2280 B．‎2120 ‎C．1440 D．720‎ ‎6．运行如图所示的程序，输出的结果为 （ ）‎ A．8 B．‎6 ‎C．5 D．4‎ ‎7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知直线l1:与l2:之间的距离为2，则直线l2被圆截得的弦长为 （ ）‎ A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ ‎9．已知实数满足不等式组，且目标函数的最小值为，最大值为n，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在边长为1的正中，点在边上，点是中点，若，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知定义在上的函数，满足，且时，，图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．已知函数的最小正周期为，且，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．在正方体中，点是的中点，则与所成角的正切值为 .‎ ‎14．已知双曲线的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x轴的直线被双曲线截得的弦长为，则 .‎ ‎15．已知函数，若，且的最小值为，则 .‎ ‎16．已知数列的前项和为，若且，数列的前项和为，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）已知的三个内角所对的边分别为，若.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若的面积为，求的值.‎ ‎18．（12分）如图，三棱锥中，平面平面，，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎19．（12分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.‎ ‎（1）若甲公司计划从这10次竞价中随机抽取3次竞价进行调研，其中每小时点击次数超过7次的竞价抽取次数记为，求的分布列与数学期望；‎ ‎（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x，每小时点击次数为，则点近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y关于x的回归直线.（附：回归方程系数公式：,）.‎ ‎20．（12分）如图，直线与y轴交于点，与抛物线交于，点与点关于x轴对称，连接并延长分别与x轴交于点.‎ ‎（1）若，求抛物线的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率分别为.‎ ‎①求证：为定值；‎ ‎②若，求.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）若在处的切线与轴平行，求的极值；‎ ‎（2）当或时，试讨论方程实数根的个数.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线l的参数方程为（其中为参数）.‎ ‎（1）把曲线的极坐标方程化为普通方程；‎ ‎（2）若直线与曲线有两个公共点，求实数的取值范围.‎ ‎23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求的最小值，及对应的x的取值范围.‎ ‎2020届模拟08理科数学答案与解析 ‎1．【答案】C【解析】由可得,所以.‎ ‎2．【答案】B【解析】.‎ ‎3．【答案】A【解析】由等差数列的性质可知，‎ ‎，即B,C,D都正确，故错误的只有A.‎ ‎4．【答案】D【解析】设椭圆的焦距为‎2c，由条件可得，故，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得，即，所以，，故，故该椭圆的方程为.‎ ‎5．【答案】A【解析】由于1,4,1,5,9,2,6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有，而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有，故得到的数字大于3.14的不同情况有.‎ ‎6．【答案】D【解析】所给程序的运行过程如下：b=1,a=3;b=2,a=7;b=3,a=15;b=4,a=31，不满足，输出b的值为4.‎ ‎7．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的，故表面积为.‎ ‎8．【答案】A【解析】由条件可知，直线过圆心，则圆心到直线l2的距离等于直线与l2之间的距离2，故直线l2被圆截得的弦长为.‎ ‎9．【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：‎ 且点，易得目标函数在点处取得最大值5，在点A处取得最小值，故. ‎ ‎10．【答案】C【解析】设,，则 ‎,,‎ 则 ‎，故，即.‎ ‎11．【答案】B【解析】由条件可知，的图象关于直线对称，结合可得，而，即，解之得，并且由图象可知，当时，单调递减，则为最大值，故，即B正确.‎ ‎12．【答案】D【解析】，‎ 其中，由可得，即关于对称，而与的距离为个周期，故，所以，，同理，由与的距离为个周期可得，所以，，所以，.‎ ‎13．【答案】2【解析】即为与所成角，取中点，连接，则，则.‎ ‎14．【答案】6【解析】设双曲线的焦距为，则，即，则，把代入双曲线可得，故，所以，.‎ ‎15．【答案】3【解析】由可得，即，‎ ‎，则，当且仅当，即时，取得最小值2，故.‎ 16． ‎【答案】【解析】当时，由及可得，由①‎ 可得时, ②，由①－② 可得，即，所以，，即是首项为2，公比为2的等比数列，故，‎ 则，则 ③，所以， ④‎ 由可得，所以，，由得，设，‎ 则，易得在时递减，在时递增，且，‎ 故的最小值为，故，故.‎ ‎17．【解析】（1）由及正弦定理可得，由余弦定理可得，解之得（舍去负值）.（6分）‎ ‎（2）由的面积为可得，由正弦定理可得，‎ ‎，由余弦定理可得.（12分）‎ ‎18．【解析】（1）取的中点，连接. ,,‎ 平面,平面，‎ 又OC平面,，而是的中点，.（6分）‎ （2） 平面平面,平面，‎ 平面平面,平面，‎ 再由（1）可知三条直线两两垂直.‎ 以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.‎ 由条件可得,.‎ 则，‎ ‎,,.‎ 设平面的一个法向量为，由可得 ‎，令，则.‎ 同理可得平面的一个法向量为，‎ 则.‎ 由图易知，二面角为锐角，二面角的余弦值为.（12分）‎ ‎19．【解析】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，‎ 由条件可知，的取值可能为0,1,2,3，且 ‎，‎ 所以，的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为.（6分）‎ ‎（2）根据折线图可得数据如下：‎ 点击次数y ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎7‎ 点击价格x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 则，则，‎ 所求回归直线方程为：.（12分）‎ ‎20．【解析】（1）由可得，‎ 设点，则，即.，‎ 故.‎ 由可得（舍去负值），抛物线的方程为.（5分）‎ ‎（2）①由条件可得.‎ ‎,‎ ‎（定值）.（8分）‎ ‎②直线的方程为：，直线的方程为：，‎ 则，则，‎ 由可得,，‎ ‎,，且,.（12分）‎ 21． ‎【解析】（1）,，‎ 由条件可得，解之得，‎ ‎,，‎ 令可得或（舍去）.‎ 当时，；当时，.‎ 即在上单调递增，在上单调递减，‎ 故有极大值，无极小值；（4分）‎ ‎（2）设，‎ 则.‎ ‎①当时，，当时，，当时，，‎ 故有极大值，此时，方程没有实数根；‎ ‎②当时，由可得 (*)‎ 由可知，(*)有两个实数根，不妨设为,‎ 则，则必有，‎ 且当时，当时，，‎ 即在上单调递增，在上单调递减，‎ 故有极大值，‎ 方程没有实数根.（8分）‎ ‎③当时，,，即在上单调递增,‎ ‎，,，‎ 设，易得在上递减，且，故.‎ 当时，，‎ ‎，‎ 即,方程有1个实数根.‎ 综上可知，当时，方程没有实数根，‎ 当时，方程有1个实数根.（12分）‎ ‎22．【解析】（1）方程可化为，‎ 即，把代入可得，‎ 整理可得.（5分）‎ ‎（2）把代入可得，‎ 由条件可得，解之得，‎ 即实数的取值范围是.（10分）‎ ‎23．【解析】（1）当时，不等式可变为，解之得,;‎ 当时，不等式可变为，解之得,不存在.‎ 综上可知，不等式的解集为.‎ 由可得，解之得，‎ 即实数的取值范围是.（5分）‎ ‎（2），‎ 当且仅当，即时，‎ 取得最小值1，此时，实数的取值范围是[1,2].（10分）‎