河南省郑州市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

河南省郑州市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

河南省郑州市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 在复平面内，复数对应的点位于（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合A={x|3x-x2＞0}，B={x|-1＜x＜1}，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 下列说法正确的是（　　）‎ A. “若,则”的否命题是“若,则” B. ,使 C. “若,则”是真命题 D. 命题“若,则方程有实根”的逆命题是真命题 4. 已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 曲线y=e-xcosx在点（0，1）处的切线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 如果执行程序框图，且输入n=6，m=4，则输出的p=（　　）‎ A. 240 B. 120 C. 720 D. 360 ‎ 7. 若当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（-x）是（　　）‎ A. 奇函数且图象关于点对称 B. 偶函数且图象关于直线对称 C. 奇函数且图象关于直线对称 D. 偶函数且图象关于点对称 8. ‎3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 已知x=log52，y=log2，z=，则下列关系正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知△ABC中，，延长BD交AC于E，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数若f（x）=ex+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 12. 已知双曲线-=1的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则（　　）‎ A. B. C. D. 与关系不确定 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 根据某地方的交通状况绘制了交通指数的频率分布直方图（如图），若样本容量为500个，则交通排指数在[5，7）之间的个数是______‎ 2. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，c=2，且2ccosB=2a-b，则△ABC面积的最大值为______‎ 3. 若数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=，则a25=______．‎ 4. 已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，其外接球的表面积为56π，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则a=______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 5. 已知等差数列的公差d≠0，其前n项和为Sn，若，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，证明：. ‎ 6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD，PA⊥PD，∠PAD=60°，Q为PD的中点． （1）证明：CQ∥平面PAB； （2）求二面角P-AQ-C的余弦值．‎ ‎ ‎ 1. 在△ABC中，点D在边AB上，DA=DC，BD=2，∠B=45°． （1）若△BCD的面积为3，求CD； （2）若AC=2，求A． ‎ ‎ ‎ 2. 已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为，经过点（1，）．经过F1，F2作平行直线m，n，交椭圆E于两点AB和两点C，D． （1）求E的方程； （2）求四边形ABCD面积的最大值． ‎ 3. 函数f（x）=2x-ex+1． （1）求f（x）的最大值； （2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范围． ‎ 4. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：，t为参数，θ∈[0，π）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ=8sin（θ+）． （1）在直角坐标系xOy中，求圆C的圆心的直角坐标； （2）设点P（1，），若直线l与圆C交于A，B两点，求证：|PA|•|PB|为定值，并求出该定值． ‎ 1. 已知函数．求不等式的解集M； ​设a，，证明：． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：在复平面内，复数==对应的点位于第一象限． 故选：A． 利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵A={x|0＜x＜3}，B={x|-1＜x＜1}， ∴A∩B={x|0＜x＜1}． 故选：C． 可以求出集合A，然后进行交集的运算即可． 本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：A错，否命题是“若a≤1，则a2≤1”； B错，根据指数函数的性质，第一象限内，底大图高，所以不存在∃x0∈（0，+∞），使； C正确．用逆否命题法判断；，则，显然成立； D错，逆命题是“若方程x2+x-m=0有实根，则m＞0“，方程x2+x-m=0有实根，所以不成立． 故选：C． 利用否命题，逆否命题，和学科知识判断即可． 考察否命题，命题真假的判断，注意互为逆否命题的命题同真同假的应用，基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：双曲线的离心率为， 则=，令c=t，a=2t，则b==t， 则双曲线的渐近线方程为y=x， 即为y=±2x， 故选：A． 运用离心率公式，令c=t，a=2t，则b==t，再由渐近线方程，即可得到结论． 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由题意，y′=-e-xcosx-e-xsinx=-e-x（sinx+cosx）， 则y′|x=0=-e0（0+1）=-1． ∴曲线y=e-xcosx在点（0，1）处的切线斜率为-1， ∴曲线y=e-xcosx在点（0，1）处的切线方程为 y-1=-（x-0） 即：x+y-1=0． 故选：D． 本题先求出曲线y=e-xcosx的一阶导数，然后代入x=0计算出曲线y=e-xcosx在点（0，1‎ ‎）处的切线斜率，即可得到切线方程． 本题主要考查函数求导运算能力，以及根据导数代入具体点的横坐标，得到切线斜率，从而得出切线方程．本题属基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：根据题中的程序框图，模拟运行如下： 输入n=6，m=4，k=1，p=1， ∴p=1×（6-4+1）=3，k=1＜4，符合条件， ∴k=1+1=2，p=3×（6-4+2）=12，k=2＜4，符合条件， ∴k=2+1=3，p=12×（6-4+3）=60，k=3＜4，符合条件， ∴k=3+1=4，p=60×（6-4+4）=360，k=4=4，不符合条件， 故结束运行， 输出p=360． 故选：D． 根据题中的程序框图，模拟运行，依次计算k和p的值，利用条件k＜m进行判断是否继续运行，直到k≥m则结束运行，输出p的值即为答案． 本题考查了程序框图，主要考查了循环语句和条件语句的应用．其中正确理解各变量的含义并根据程序功能的需要合理的分析是解答的关键．属于基础题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】分析：由f（ ）=Asin（ +φ）=-A可求得φ=2kπ-（k∈Z），从而可求得y=f（ -x）的解析式，利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可． 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求φ是难点，考查正弦函数的奇偶性与对称性，属于中档题． 解：∵f（）=Asin（+φ）=-A， ∴+φ=2kπ-， ∴φ=2kπ-（k∈Z）， ∴y=f（-x）=Asin（-x+2kπ-）=-Acosx， 令y=g（x）=-Acosx，则g（-x）=-Acos（-x）=Acosx=g（x）， ∴y=g（x）是偶函数，可排除A，C； 其对称轴为x=kπ，k∈Z，对称中心为（kπ+，0）k∈Z，可排除B； 令k=0，x=，则函数的对称中心（，0）， 故选：D． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：3男2女共5名同学站成一排合影， 基本事件总数n==120， 2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数m==24， ∴2名女生相邻且不站两端的概率为p==． 故选：B． 基本事件总数n==120，2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数m==24，由此能求出2名女生相邻且不站两端的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：x=log52＜=，y=log2＞1，z==∈（，1）． ∴x＜z＜y． 故选：A ‎． 利用指数与对数函数的单调性即可得出． 本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：依题意，设=，=μ， 则==λ（-3+6）=-3+6， 又=+=+=+μ（）=（1+μ）-μ， 所以， 两式相加得λ=， 即=， 所以==， 故选：C． 设=，=μ，分别将分解为用基底，表示的向量，根据对应系数相等得方程组，即可求得λ． 本题考查了向量的线性运算，考查向量的分解，主要考查计算能力，属于基础题． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解：f（x）在定义域R内单调递增， ∴f（a）=ka，f（b）=kb，即ea+2a=ka，eb+2b=kb，即a，b为方程ex+2x=kx的两个不同根， ∴， 设g（x）=，， ∴0＜x＜1时，g′（x）＜0；x＞1时，g′（x）＞0， ∴x=1是g（x）的极小值点，∴g（x）的极小值为：g（1）=e+2， 又x趋向0时，g（x）趋向+∞；x趋向+∞时，g（x）趋向+∞， ∴k＞e+2时，y=k和y=g（x）的图象有两个交点，方程有两个解， ∴实数k的取值范围是（e+2，+∞）． 故选：B． 可看出f（x）在定义域R内单调递增，从而可得出ea+2a=ka，eb+2b=kb，即得出a，b是方程ex+2x=kx的两个不同根，从而得出，可设，通过求导，根据导数符号可得出g（x）的极小值为g（1）=e+2，并判断出g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，并得出x趋向0时，g（x）趋向正无穷，x趋向正无穷时，g（x）趋向正无穷，这样即可得出k＞e+2时，方程ex+2x=kx有两个不同根，即得出k的取值范围． 本题考查了对k倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：F1（-c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A ∵|PF1|-|PF2|=2a，及圆的切线长定理知， |AF1|-|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x， 则|（x+c）-（c-x）|=2a ∴x=a； |OA|=a， 在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2， ∴在三角形F1CF2中，有： OB=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）‎ ‎=×2a=a． ∴|OB|=|OA|． 故选：C． 根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|-|PF2|=2a，转化为|AF1|-|AF2|=2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题． 本题考查双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用平面几何的性质，如三角形内心的性质等． 13.【答案】220 ‎ ‎【解析】解：由频率分布直方图得： 交通排指数在[5，7）之间的频率为： 0.24+0.2=0.44， ∴交通排指数在[5，7）之间的个数为： 0.44×500=220． 故答案为：220． 由频率分布直方图得交通排指数在[5，7）之间的频率，由此能求出交通排指数在[5，7）之间的个数． 本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵2ccosB=2a-b， 由正弦定理可得，2sinCcosB=2sinA-sinB， ∴2sinCcosB=2sin（B+C）-sinB， ∴2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB-sinB， ∴2sinBcosC-sinB=0， ∵sinB≠0， ∴cosC=， ∵C∈（0，π）， ∴C= 由余弦定理可得，4=a2+b2-2ab×cos60°=a2+b2-ab， ≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时取等号， ∴ab≤4， ∴△ABC面积s==，即面积的最大值为． 故答案为： 由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式化简可求cosC，进而可求C，然后由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcosC，由基本不等式可求ab的范围，代入三角形的面积公式s=可求． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和角正弦公式，基本不等式及三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题． 15.【答案】5-2 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查数列的递推公式，关键是依据数列的递推公式，求出数列的前n项，分析其变化的规律． ​根据题意，对数列的递推公式Sn+1+Sn=，①变形可得Sn+Sn-1=，②，将2个式子相减，即可得an+1+an=（-），变形可得an+1-=-（an+），令n=1、2、3、…，求出数列的a2、‎ a3、a4…，归纳可得an=-，将n=25代入计算即可得答案． 【解答】 解：根据题意，数列{an}中Sn+1+Sn=，① 则有Sn+Sn-1=，② ①-②可得：Sn+1+Sn-Sn-Sn-1=-， 即an+1+an=-， 则an+1-=-（an+）， 当n=1时，有a2-=-（a1+）=-2，解可得a2=-1， 当n=2时，有a3-=-（a2+）=-2，解可得a3=-， 当n=3时，有a4-=-（a3+）=-2，解可得a4=-， … 归纳可得：an=-， 则a25=-=5-2， 故答案为5-2． 16.【答案】2 ‎ ‎【解析】根据题意，画出示意图如右图所示，O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心， 则|OA|=|OP|=R， 设|OM|=h， ∵外接球的表面积是56π，∴R= ∴h2+=14 +（-h）2=14， 联立以上两式解得a=2， 故答案为：2． 利用外接球的表面积56π，求出四棱锥的外接球半径，进而利用勾股定理求解； 考查四棱锥外接球的理解，勾股定理的应用，正确画出示意图是解决本题的关键； 17.【答案】解：（1）因为{an}为等差数列，且a2+a8=22， ∴， 由a4，a7，a12成等比数列，得， 即（11+2d）2=（11-d）•（11+7d）， ∵d≠0， ∴d=2， ​∴a1=11-4×2=3 故an=2n+1（n∈N*） （2）证明：∵， ∴， ∴= 故． ‎ ‎【解析】本题考查数列的综合应用，等差数列以及等比数列的应用，裂项相消法求数列的和，考查计算能力．属于中档题. （1）利用等差数列以及等比数列的通项公式，求出数列的首项与公差，然后求数列{an}的通项公式； （2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可推出结果． ‎ ‎18.【答案】解：（1）证明：取PA中点N，连结QN，BN， ∵Q，N是PD，PA的中点，∴QN∥AD，且QN=， ∵PA⊥PD，∠PAD=60°，∴PA=AD，∴BC=AD， ∴QN=BC，又AD∥BC，∴QN∥BC，∴BCQN为平行四边形， ∴BN∥BC， 又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB， ∴CQ∥平面PAB． （2）解：取AD中点M，连结BM，取AM的中点O， 连结BO，PO，设PA=2， 由（1）得PA=AM=PM=2， ∴△APM为等边三角形，∴PO⊥AM， 同理，BO⊥AM， ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD， 以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，-1，0），C（，2，0），P（0，0，），Q（0，，）， =（），=（0，，）， 设平面ACQ的法向量=（x，y，z）， 则，取y=-，得=（3，-，5）， 平面PAQ的法向量=（1，0，0）， ∴cos＜＞==， 由图得二面角P-AQ-C的平面角为钝角，∴二面角P-AQ-C的余弦值为-． ‎ ‎【解析】（1）取PA中点N，连结QN，BN，推导出BCQN为平行四边形，从而BN∥BC，由此能证明CQ∥平面PAB． （2）取AD中点M，连结BM，取AM的中点O，连结BO，PO，推导出PO⊥AM，BO⊥AM，从而PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法二面角P-AQ-C的余弦值． 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：（1）∵△BCD的面积为3，∴，∴BC==， 在△BCD中，由余弦定理，有， ∴=； （2）在△ACD中，由正弦定理，有，∴CD=， 在△BCD中，由正弦定理，有， ∴==， ∵A∈（0°，67.5°），∴90°-A∈（22.5°，90°），135°-2A∈（0°，135°）， ∴90°-A=135°-2A或（90°-A）+（135°-2A）=180°， ∴A=45°或A=15°． ‎ ‎【解析】（1）由△BCD的面积求出BC，再利用余弦定理求出CD； （2）在△ACD中，由正弦定理将CD用cosA表示，再在△BCD中，利用正弦定理建立关于角A的方程，然后求出A即可． 本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用和三角形的面积公式，考查了转化思想和计算能力，属中档题． ‎ ‎20.【答案】解：（1）由题，所以c2=，则b2=，将点（1，）代入方程得， 解得：a2=4，b2=3，所以E的方程为； （2）当直线m的斜率存在时，设斜率为k，设A（x1，y1），B（x2，y2），又F1（-1，0），所以直线m的方程为y=kx+k， 联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，所以，， 所以|AB|====， 因为m，n之间的距离就是F2（1，0）到直线m：kx-y+k=0的距离：d=， 所以四边形ABCD面积为：S=|AB|•d=×=， 令t=3+4k2（t≥3），则S==6， 因为t≥3，所以0＜≤，所以0＜S＜6， 当直线m的斜率不存在时，四边形ABCD的面积为S=2c×， 综上，四边形ABCD的面积最大值为6． ‎ ‎【解析】（1）利用离心率求得a，b关系，再将点坐标代入椭圆方程求得a，b即可； （2）m斜率存在时，设出方程y=kx+k，与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出|AB|，再结合图形因为m，n之间的距离就是F2（1，0）到直线m：kx-y+k=0的距离：d=，表示出S=|AB|•d，运用换元思想，求出S的范围；m斜率不存在时，四边形ABCD的面积为S=2c×，综上可得面积最大值为6． 本题是直线与椭圆的综合问题，能有图象判断出m，n之间的距离就是到直线m的距离是一个关键，属于中档题． 21.【答案】解：（1）f（x）=2x-ex+1，f′（x）=2-ex， 令f′（x）＞0，解得：x＜ln2，令f′（x）＜0，解得：x＞ln2， ∴f（x）在（-∞，ln2）递增，在（ln2，+∞）递减， ∴f（x）的最大值是f（ln2）=2ln2-1； （2）x∈（0，1）时，f（x）在（0，ln2）递增，在（ln2，1）递减， 且f（0）=0，f（1）=3-e＞0，∴f（x）＞0， ∵tanx＞0，∴a≤0时，af（x）≤0＜tanx； a＞0时，令g（x）=tanx-af（x）， 则g′（x）=+a（ex-2）， ∴g（x）在（0，1）递增且g′（0）=1-a， ①0＜a≤1时，g′（0）≥0，g′（x）≥0， ∴g（x）在（0，1）递增，又g（0）=0， ∴此时g（x）＞0，即af（x）＜tanx成立， ②a＞1时，g′（0）＜0，g′（1）＞0， ∴∃x0∈（0，1），使得g′（x0）=0， 即x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）递减， 又g（0）=0， ∴g（x）＜0与af（x）＜tanx矛盾， 综上：a≤1． ‎ ‎【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值； （2）求出f（x）在（0，1）为正，a≤0时，符合题意，a＞0时，通过讨论①0＜a≤1，②a＞1时的情况，结合函数的单调性求出a的具体范围即可． 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题． 22.【答案】解：（1）圆C的极坐标方程为：ρ=8sin（θ+‎ ‎）． 转换为直角坐标方程为：， 转换为标准式为：圆， 所以圆心的直角坐标为（2，2）． （2）将直线l的参数方程为：，t为参数，θ∈[0，π）．  代入， 所以：，（点A、B对应的参数为t1和t2）， 则：t1t2=-12， 故：|PA||PB|=|t1t2|=12． ‎ ‎【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23.【答案】（1）解：①当x≤-1时，原不等式化为-x-1＜-2x-2解得：x＜-1； ②当时，原不等式化为x+1＜-2x-2解得：x＜-1，此时不等式无解； ③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1． 综上，M={x|x＜-1或x＞1}； （2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|-1＞0， 则f（ab）=|ab+1|，f（a）-f（-b）=|a+1|-|-b+1|． ∴f（ab）-[f（a）-f（-b）]=f（ab）+f（-b）-f（a）=|ab+1|+|1-b|-|a+1| =|ab+1|+|b-1|-|a+1|≥|ab+1+b-1|-|a+1|=|b（a+1）|-|a+1| =|b|•|a+1|-|a+1|=|a+1|•（|b|-1|）＞0， 故f（ab）＞f（a）-f（-b）成立． ‎ ‎【解析】（1）把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求． （2）由题意可得|a+1|＞0，|b|-1＞0，化简f（ab）-[f（a）-f（-b）]为|a+1|•（|b|-1|）＞0，从而证得不等式成立． 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题． ‎