2019-2020学年广西桂林市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年广西桂林市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年广西桂林市高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．下列各点中，在二元一次不等式所表示的平面区域内的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据二元一次不等式,代入各个点的坐标,即可判断是否在不等式表示的平面区域内.‎ ‎【详解】‎ 对于A,将代入不等式可得不成立,所以不在不等式所表示的平面区域内,所以A错误;‎ 对于B,将代入不等式可得不成立,所以不在不等式所表示的平面区域内,所以B错误;‎ 对于C,将代入不等式可得成立,所以在不等式所表示的平面区域内,所以C正确;‎ 对于D,将代入不等式可得不成立,所以不在不等式所表示的平面区域内,所以D错误;‎ 综上可知,C表示的点在不等式表示的区域内 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了二元一次不等式表示的平面区域与点的关系,属于基础题.‎ ‎2．等差数列中，，，则的公差为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列性质可得方程组,求得公差.‎ ‎【详解】‎ 等差数列中,,,由通项公式可得 ‎ ‎ 解得 ‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列通项公式的简单计算,属于基础题.‎ ‎3．若，，则下列不等式正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据不等式性质,可判断四个选项即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 对于A,由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子,不等式成立”,可知A正确;‎ 对于B,若,则,则成立,所以B错误;‎ 对于C,若,当时,;当时,所以C错误;‎ 对于D,若,当时不等式不成立,所以D错误.‎ 综上可知,正确的为A 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了根据不等式性质判断不等式是否成立,属于基础题.‎ ‎4．命题p：，，则为（ ）‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据含有量词命题的否定,可得结果.‎ ‎【详解】‎ 命题p：,‎ 由全称命题的否定可知,为,‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了全称命题的否定,属于基础题.‎ ‎5．命题“若，则”的否命题是（ ）‎ A．“若，则”‎ B．“若，则”‎ C．“若，则”‎ D．“若，则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据否命题的定义,可得选项.‎ ‎【详解】‎ 命题“若,则”‎ 根据否命题定义,可知其否命题为: “若,则”‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了命题及其否命题的写法,属于基础题.‎ ‎6．抛物线上一点P到其焦点的距离为5．则点P的横坐标为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据抛物线定义,即可求得点的横坐标.‎ ‎【详解】‎ 抛物线 则准线方程为 ‎ 因为到其焦点的距离为5,则到其准线的距离也为5‎ 所以点的横坐标为4‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义及简单应用,属于基础题.‎ ‎7．“是”成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】因为，必要，若，则 或 ，即不一定成立，所以 ‎“是”成立的充分不必要条件，故选A.‎ ‎8．已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意设三角形的三边长分别为，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴所对的角为最大角，设为，‎ 则根据余弦定理得．‎ 本题选择A选项.‎ ‎9．若，满足，则的最大值是（ ）‎ A．1 B．-1 C．2 D．-2‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线在y轴上的截距最小值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：画出可行域（如图），‎ z＝x﹣2y⇒yxz，‎ 由图可知，‎ 当直线l经过点A（0，﹣1）时，z最大，且最大值为zmax＝0﹣2×（﹣1）＝2．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎10．设公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则等于（ ）‎ A． B． C．7 D．14‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列性质,.结合等差数列前n项和公式可得即可代入求值.‎ ‎【详解】‎ 公差不为零的等差数列中,‎ 由等差数列性质可知 则 由等差数列前n项和公式可知 所以 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n项和公式的应用,属于基础题.‎ ‎11．已知抛物线C：（）的焦点为F，不过F的直线与C的交点为A，B，与C的准线的交点为D．若，与的面积之比为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意画出图形,结合与的面积之比为,可得.由抛物线定义即可求得.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,画出抛物线如下图所示:‎ 过A作垂直准线并交准线于N,过B作垂直于准线并交准线于M.‎ 由抛物线定义可知,,则 因为与的面积之比为 则 所以在与中, ‎ 由,代入可得 根据抛物线定义可得 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线定义的简单应用,直线与抛物线的位置关系应用，抛物线到准线距离比的关系,属于中档题.‎ ‎12．第一象限内的点P在双曲线（，）的一条渐近线：上，、为双曲线的左、右焦点，，平行于另一条渐近线，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由在渐近线上可设出点坐标.结合平行于另一条渐近线可求得,代入求得点坐标.再根据,结合两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系即可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,画出几何图形如下图所示:‎ ‎ ‎ 因为在渐近线:上,设 ‎ ‎、为双曲线的左、右焦点,所以,‎ 由平行于另一条渐近线 则,化简可得 ‎ 所以 因为 则 所以,化简可得 ‎ 在双曲线中满足 所以 即 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线性质的简单应用,渐近线方程的应用,两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若三个正数1，b，16成等比数列，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等比中项定义,可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 三个正数1,b,16成等比数列 由等比中项定义可得 ‎ 解得 ‎ 由题正数 故答案为: 4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比中项的性质及简单应用,属于基础题.‎ ‎14．中，角A，B的对边分别为a，b，已知，，，则等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正弦定理,可直接求得.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得 ‎ 代入可得 可得 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题.‎ ‎15．若不等书对恒成立，则实数a的最大值是______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】构造基本不等式,即可求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 令 变形可得,‎ 由基本不等式可得 当且仅当,即时取等号 而对恒成立 所以 即的最大值为3‎ 故答案为:3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式在求最值中的应用,利用基本不等式求参数的最值,属于基础题.‎ ‎16．如图，，为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于其中一点，与轴交于点，且.直线与的外角平分线交于 点，则的周长为_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题意先得与相似，由确定相似比，再结合椭圆定义即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，是的外角平分线，‎ 所以，所以，又，所以，‎ 又由椭圆的方程可得：，‎ 所以的周长为.‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义，由两三角形相似确定相似比，结合椭圆的定义即可求解.‎ 三、解答题 ‎17．设命题p：，命题q：关于x的方程无实根.‎ ‎（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若为假命题，为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）解一元二次不等式,即可求得当为真命题时的取值范围;‎ ‎（2）先求得命题为真命题时的取值范围.由为假命题,为真命题可知,两命题一真一假.分类讨论,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当为真命题时,‎ 解不等式可得；‎ ‎（2）当为真命题时,由,‎ 可得,‎ ‎∵为假命题,为真命题,‎ ‎∴,两命题一真一假,‎ ‎∴或,‎ 解得或,‎ ‎∴m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据命题真假求参数的取值范围,由复合命题真假判断命题真假,并求参数的取值范围,属于基础题.‎ ‎18．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？‎ ‎【答案】将水池的底面设计成边长为20m的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元 ‎【解析】设出底面的长为,宽为,根据总容积求得与的等量关系.表示出总的造价后,将式子转化为关于的等式,结合基本不等式可求得最低总造价及底面的长和宽的值.‎ ‎【详解】‎ 设底面的长为m,宽为m,水池总造价为元,‎ 容积为1,可得,‎ 因此,‎ 根据题意, 池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为150元,有 ‎,‎ 由基本不等式及不等式性质,可得 ‎,‎ 即,‎ 当且仅当时,等号成立.‎ 所以,将水池的底面设计成边长为20m的正方形时,总造价最低,最低总造价是116000元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式在实际问题中的应用,根据基本不等式求最值,注意等号成立的条件,属于基础题.‎ ‎19．已知数列中，，其前n项和记为，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用递推公式及,可证明数列为等比数列,求得首项后,即可求得数列的通项公式.‎ ‎（2）将代入中求得数列.可知为等比与等差数列的和,即可利用分组求和法求得前n项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得,（）,‎ 两式相减得（）,‎ 又∵,,‎ ‎∴（）,‎ ‎∴是首项为1,公比为3的等比数列,‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）可知 则 所以,‎ 所以为等比数列与等差数列的和.利用分组求和法可得 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了递推公式及的应用,等比数列的证明及等比数列通项公式的求法,等差数列与等比数列前n项和公式的应用,分组求和法的应用,属于基础题.‎ ‎20．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理,将边转化为角,即可求得角.‎ ‎（2）根据正弦定理与余弦定理,可求得.再由三角形面积公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理及已知得,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵,‎ ‎∴由正弦定理得,‎ 由余弦定理 得,‎ 即,解得,,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用,属于基础题.‎ ‎21．数列中，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，对都有恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用递推公式及累加法,结合首项即可求得数列的通项公式.‎ ‎（2）先求得的表达式,并进行化简变形,由裂项法求和得.代入不等式后,分离参数,结合数列的单调性即可求得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由及,‎ 有 ‎∴,‎ ‎（2）因为,‎ ‎∴‎ ‎,‎ 又因为对任意的,都有,,‎ ‎∴,‎ ‎∴恒成立,‎ 只需,‎ ‎∵数列是递增数列,‎ ‎∴当时,,‎ ‎∴m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了累加法求数列通项公式,裂项求和法的应用,根据数列单调性求参数的取值范围,属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆C：（）的焦距等于短轴的长，椭圆的右顶点到左焦点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知直线l：（）与椭圆C交于A、B两点，在y轴上是否存在点，使得，且，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）存在，‎ ‎【解析】（1）由题意可得的关系,解方程组求得,即可得椭圆的标准方程.‎ ‎（2）设,,联立直线与椭圆方程,用韦达定理表示出,,利用弦长公式表示出.化简后用表示出,再通过判别式判断出的取值范围. 设出中点的坐标,由点斜式表示出直线的方程,并令求得的表达式及取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意椭圆的焦距等于短轴的长,椭圆的右顶点到左焦点的距离为 可得,‎ 解得,‎ 所以所求椭圆方程为；‎ ‎（2）设,,‎ 由,‎ 得,‎ ‎,‎ ‎∵,,‎ 假设存在点满足题意,‎ ‎,‎ 化简整理得,‎ 此时 恒成立,‎ 所以且,‎ 设中点,‎ 则,,‎ 由,则在线段AB的中垂线上.‎ 因为,‎ 直线的方程为,‎ 令,则,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴或,‎ 综上,存在满足题意.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆位置关系的综合应用,弦长公式及直线过定点的问题综合应用,属于难题.‎