2017-2018学年河北省张家口市高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年河北省张家口市高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省张家口市高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． 或 D． 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合中的不等式的解集确定出，找出，的交集后直接取补集计算 ‎【详解】‎ 则或 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的解法及集合的交集，补集的运算，属于基础题。‎ ‎2．已知命题：，使得，则为（ ）‎ A． ，总有 B． ，使得 C． ，总有 D． ，使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案 ‎【详解】‎ 命题：，使得 ‎：，总有 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题。‎ ‎3．同学聚会时，某宿舍的4位同学和班主任老师排队合影留念，其中宿舍长必须和班主任相邻，则5人不同的排法种数为（ ）‎ A． 48 B． 56 C． 60 D． 120‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用捆绑法，然后全排列 ‎【详解】‎ 宿舍长必须和班主任相邻则有种可能，‎ 然后运用捆绑法，将其看成一个整体，然后全排列，故一共有种不同的排法 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了排列中的位置问题，运用捆绑法来解答即可，较为基础 ‎4．从装有大小形状完全相同的3个白球和7个红球的口袋内依次不放回地取出两个球，每次取一个球，在第一次取出的球是白球的条件下，第二次取出的球是红球的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用条件概率计算公式即可求出结果 ‎【详解】‎ 令事件为第一次取出的球是白球，事件为第二次取出的球是红球 ‎，则根据题目要求得，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了条件概率，只需运用条件概率的公式分别计算出事件概率即可，较为基础。‎ ‎5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）‎ A． 1 B． C． 2 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，根据题意列出关于的方程组，计算即可得到结果 ‎【详解】‎ ‎，则，‎ 在点处的切线与直线垂直则，，‎ 将点代入曲线中有，即 ‎，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是利用导数研究曲线上某点切线方程，两条直线垂直与斜率的关系，同时要求学生掌握求导法以及两直线垂直时斜率满足的条件。‎ ‎6．已知命题：，命题：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对两个命题进行化简，解出其解集，由是的必要不充分条件，可以得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围 ‎【详解】‎ 由命题：解得或，‎ 则，命题：，，‎ 由是的必要不充分条件，所以 故选 ‎【点睛】‎ 结合“非”引导的命题考查了必要不充分条件，由小范围推出大范围，列出不等式即可得到结果，较为基础。‎ ‎7．（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用积分的运算公式和定积分的几何意义即可求得结果 ‎【详解】‎ 为奇函数 又表示半圆的面积 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了积分的基本运算，以及定积分的几何意义，只要根据计算法则即可求出结果，注意几何意义。‎ ‎8．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）‎ A． 平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B． 平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则 C． 在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为 D． 若，则复数.类比推理：“若，则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案 ‎【详解】‎ 对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误 对于，若，则若，则不正确，故错误 对于，‎ 在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误 对于，在有理数中，由可得，，解得 ‎，故正确 综上所述，故选 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题。‎ ‎9．设，若，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）‎ A． 第4项 B． 第5项 C． 第4项和第5项 D． 第7项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用二项展开式的基本定理确定的数值，再求展开式中系数最大的项 ‎【详解】‎ 令，可得，令，则，‎ 由题意得，代入得，所以，‎ 又因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第项，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了赋值法求二项式的次数的应用问题，属于基础题。‎ ‎10．已知，则中（ ）‎ A． 至少有一个不小于1 B． 至少有一个不大于1‎ C． 都不大于1 D． 都不小于1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用反证法证明，假设同时大于，推出矛盾得出结果 ‎【详解】‎ 假设，，，‎ 三式相乘得，‎ 由，所以，同理，，则与矛盾，即假设不成立，所以不能同时大于，所以至少有一个不大于，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查的是用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键，同时还运用了基本不等式，本题较为综合 ‎11．且，可进行如下“分解”：‎ 若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）‎ A． 44 B． 45 C． 46 D． 47‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 探寻规律，利用等差数列求和进行判断 ‎【详解】‎ 由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，‎ 是从开始的第个奇数，‎ ‎，‎ 第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。‎ ‎12．已知若存在，使得，则称与互为“1度零点函数”，若 与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过题意先求出函数的零点，根据计算出函数的零点范围，继而求出实数的取值范围 ‎【详解】‎ 令，当时，或 ‎，‎ 当时，解得，‎ ‎，‎ 若存在为 “度零点函数”，不妨令 由题意可得：或 即或 设，‎ 当时，，是减函数 当时，，是增函数 ‎，当时，，由题意满足存在性 实数的取值范围为 故选 ‎【点睛】‎ 本题给出了新定义，按照新定义内容考查了函数零点问题，结合零点运用导数分离参量，求出函数的单调性，给出参量的取值范围，本题较为综合，需要转化思想和函数思想，有一定难度。‎ 二、填空题 ‎13．已知随机变量，且，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用随机变量，关于对称，结合已知求出结果 ‎【详解】‎ 随机变量满足，‎ 图象关于对称 ‎，‎ 则 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了正态分布，由正态分布的对称性即可计算出结果 ‎14．对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求得样本中心点，代入回归直线方程即可求出的值 ‎【详解】‎ 由已知，‎ 代入回归直线方程可得：‎ 解得 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程，求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，将其代入线性回归方程即可求出结果 ‎15．用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且至少有一个数字是奇数的三位偶数，这样的三位数一共有______个.‎ ‎【答案】54‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用排列组合，先求出偶数的可能一共有多少个，然后减去三个数字都是偶数的情况 ‎【详解】‎ 当个位是偶数的时候共有种可能 三个数字都是偶数时，有种可能 则满足题意的三位数共有种 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合的数字的排序问题，只要按照题目要求进行分类求出一共的情况，然后减去不符合情况即可得出结果 ‎16．已知函数（），若对，都有恒成立，记的最小值为，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用转化思想将题目转化为，求出的表达式，运用导数求出结果 ‎【详解】‎ 由题意可得，恒成立 ‎，解得，即 为满足题意，当直线与曲线相切时成立 不妨设切点，‎ 切线方程为 ‎，，‎ 令，，‎ 当时，，是增函数 当时，，是减函数 则 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数综合，化归转化思想，消元思想，根据题意将其转化为问题，由相切求出，将二元问题转化为一元问题，然后利用导数求出最值，有一定难度，需要仔细缜密审题，理清题意 三、解答题 ‎17．已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据题意列出关于的方程组求解，再结合所对应的点在第二象限，即可求出 ‎【详解】‎ 设，则，∴‎ 又，.‎ ‎∴，联立，解得 又在第二象限，∴，即 ‎∴ ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的相关定义，设出复数的表示形式，根据题意列出方程组即可，本题较为基础，注意计算。‎ ‎18．电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额都在5000元到10000元之间，其频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求图中的值，并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人；‎ ‎（2）若将频率视为概率，从购物者中随机抽取50人，记消费金额在7000元到9000元的人数为，求的数学期望和方差.‎ ‎【答案】(1) 人(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图计算出频率，然后用样本估计总体 计算出消费金额在到的概率，然后计算的数学期望和方差 ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 消费金额不低于8000元的频率为，‎ 所以共人.‎ ‎（2）从购物者中任意抽取1人，消费金额在7000到9000的概率为，‎ 所以，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题结合频率分布直方图用样本估计总体，并计算相应值得数学期望和方差，只要运用公式即可得到结果，较为基础。‎ ‎19．某种子培育基地新研发了两种型号的种子，从中选出90粒进行发芽试验，并根据结果对种子进行改良.将试验结果汇总整理绘制成如下列联表：‎ ‎（1）将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为发芽和种子型号有关；‎ ‎（2）若按照分层抽样的方式，从不发芽的种子中任意抽取20粒作为研究小样本，并从这20粒研究小样本中任意取出3粒种子，设取出的型号的种子数为，求的分布列与期望.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，其中.‎ ‎【答案】(1) 有99%的把握认为发芽和种子型号有关(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据表格完成表格的填空并计算出做出判断 的可能值为0，1，2，3分别计算出概率，然后计算期望 ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 所以有99%的把握认为发芽和种子型号有关.‎ ‎（2）按分层抽样的方式抽到的20粒种子中，型号的种子共4粒，型号的种子共16粒，所以的可能值为0,1,2,3，‎ ‎，，，‎ 所以的分布列为 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了的计算和分布列与期望，只要将联表补充完整，按照计算方法即可求出 ‎，继而可以求出分布列与期望，较为基础。‎ ‎20．设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，且，，证明：.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后对参量进行分类讨论，得到函数的单调性 由极值点求出两根之和与两根之积，将二元转化为一元来求证不等式 ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，的定义域为，，‎ ‎①当时，，又由于，，故，所以在上单调递减；‎ ‎②当时，,,故，所以在上单调递增；‎ ‎③当时，由，解得，因此在上单调递减，在和上单调递增；‎ 综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增.‎ ‎（2）由（1）知，当时，有两个极值点，‎ 由，知，‎ 则 ‎，‎ 设，，‎ ‎，则在单调递增，即，‎ 则，即.‎ ‎【点睛】‎ 求含有参量的函数的单调区间，运用导数进行分类讨论，得到在定义域内不同的单调性，在证明不等式时结合的根与系数之间的关系，进行消元转化为一元问题，从而证明出结果，本题综合性较强，有一定难度。‎ ‎21．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）当时，求两点的极坐标；‎ ‎（2）设，求的值.‎ ‎【答案】(1) ， (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线化为极坐标方程，联立求出两点的极坐标 联立直线参数方程与曲线的普通方程，运用根与系数之间关系求出结果 ‎【详解】‎ ‎（1）曲线的普通方程，化为极坐标方程为 与联立，得，‎ 又∵，∴或 ‎∴两点的极坐标分别为，‎ ‎（2）直线的普通方程为化为参数方程为（为参数）①‎ 曲线的普通方程为②‎ 把①代入②，得 整理得，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 需要运用公式将普通方程与极坐标方程和参数方程之间的转化，在求解长度问题时，运用参数方程来解答会降低计算量。‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用分类讨论去绝对值， 然后求出不等式结果 由题意得，结合解集得出不等式组求出结果 ‎【详解】‎ ‎（1）即 ‎①当时，原不等式化为，即，解得，∴；‎ ‎②当时，原不等式化为，即，解得，∴.‎ ‎③当时，原不等式化为，即，解得，∴‎ ‎∴不等式的解集为或.‎ ‎（2）不等式可化为 问题转化为在上恒成立，又，得 ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含有绝对值问题的不等式，首先需要进行分类讨论去掉绝对值，然后求出不等式结果，在第问中需要进行转化，继而只有一个绝对值问题求解。‎ ‎23．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），将圆上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线.‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线的参数方程；‎ ‎（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标.‎ ‎【答案】(1) （为参数）(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用消参求出直线的普通方程，解出曲线的普通方程，然后转化为参数方程 转化为点到直线的距离，运用参数方程进行求解 ‎【详解】‎ ‎（1）由得，消元得 设为圆上的点，在已知变换下变为上的点，依题意得 由，得 ‎∴化为参数方程为（为参数）‎ ‎（2）由题意，最小值即椭圆上点到直线距离的最小值 设，（其中，）‎ ‎∴，此时，即（）‎ ‎∴，∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了普通方程与参数方程之间的转化，需要运用公式熟练求解，在求最值问题时运用参量来求解，转化为三角函数的最值问题。‎ ‎24．已知函数 ‎（1）设的最大值为，求的最小值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，且，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用不等式性质求出最小值 根据不等式求最大值 ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴（当且仅当时取“=”号）‎ ‎∴‎ ‎（2）∵（当且仅当时取“=”号），‎ ‎（当且仅当时取“=”号），‎ ‎（当且仅当时取“=”号），‎ ‎∴（当且仅当时取“=”号）‎ ‎∴（当且仅当时取“=”号）‎ ‎∴的最大值为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据绝对值的应用求出不等式的解集，运用不等式性质求解是本题关键，注意题目中的转化。‎