2018-2019学年广西南宁市第三中学、柳州市高级中学高二下学期联考（第三次月考）数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年广西南宁市第三中学、柳州市高级中学高二下学期联考（第三次月考）数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年广西南宁市第三中学、柳州市高级中学高二下学期联考（第三次月考）数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若复数满足 (是虚数单位),则的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以 ，‎ 因此的共轭复数是，选A.‎ ‎2．设集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再化简集合，由交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 中不等式变形得，‎ 解得，所以，‎ 由中不等式解得，所以，‎ 则，故选A .‎ ‎【点睛】‎ 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.‎ ‎3．下图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）‎ A．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大 B．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关 C．2010年我国实际利用外资同比增速最大 D．2008年我国实际利用外资同比增速最大 ‎【答案】D ‎【解析】根据柱状图和折线图依次判断各个选项即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由图表可知：‎ 年我国实际利用外资规模较年下降，可知错误；‎ 年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知错误；‎ 年我国实际利用外资同比增速最大，高于年，可知错误，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据统计图表判断命题的问题，属于基础题.‎ ‎4．若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．6 C．10 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件得到可行域，可知当在轴截距最小时，最大；通过图象平移可知当过时，最大，代入求得最大值.‎ ‎【详解】‎ 由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：‎ 则当在轴截距最小时，最大 由平移可知，当过时，最大 由得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划求解最值的问题，关键是通过直线的平移，根据在轴的截距来确定取得最大值时的点.‎ ‎5．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据二倍角公式和同角三角函数的平方关系可得，分子分母同时除以可构成关于的式子，代入可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据正切值，求解正弦、余弦的齐次式的值的问题，关键是能够通过二倍角公式和同角三角函数平方关系构造出齐次式，从而配凑出正切的形式.‎ ‎6．设 ，则 的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据的单调性可判断出，又，可得的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由的单调性可知：‎ 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查与指数函数有关的大小比较问题，关键是利用指数函数单调性来确定所求数字的大致范围，从而可判断出结果.‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A．7 B．14 C．30 D．41‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，模拟程序的运行，可得，‎ 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；‎ 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；‎ 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；‎ 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；‎ 此时，满足，推出循环，输出S的值为30，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎8．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A．32 B．16 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三视图可知几何体为一个三棱柱切掉一个三棱锥，分别求解出三棱柱和三棱锥的体积，作差即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，几何体为一个三棱柱切掉一个三棱锥 如下图所示：‎ 则为中点 ‎，‎ 所求几何体体积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查多面体体积的求解问题，关键是能够通过割补的方式来进行求解.‎ ‎9．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若函数为奇函数，则函数在区间上的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据对称轴之间距离可求得最小正周期，得到；利用平移变换得到，根据为奇函数可求得，从而可得到解析式；根据的范围求得的范围，从而可求得函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 由相邻两条对称轴之间的距离为，可知最小正周期为 即： ‎ 向左平移个单位长度得：‎ 为奇函数 ，‎ 即：，‎ 又 ‎ 当时，‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦型函数的值域问题的求解，关键是能够根据函数的性质和图象平移变换的原则得到函数的解析式，进而可通过整体对应的方式，结合余弦函数的解析式求解出函数的值域.‎ ‎10．在三棱锥中，平面平面，是斜边的直角三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据直角三角形可确定中点为 的外接圆圆心；利用面面垂直性质定理可得平面，由球的性质可知外接球球心必在上；在中利用勾股定理构造关于球的半径的方程，解方程求得半径，代入球的表面积公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 取中点，连接，，如下图所示：‎ 是斜边为的直角三角形 为的外接圆圆心 ‎ ‎ 又平面平面，平面平面 平面 由球的性质可知，外接球球心必在上 由题意可知：， ‎ 设外接球半径为 在中，‎ ‎，解得：‎ 外接球表面积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而可利用勾股定理构造出关于半径的方程，解方程求出半径.‎ ‎11．双曲线的左、右焦点分别为，在双曲线的右支，且，.则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据勾股定理可求得，利用双曲线定义可知，从而可得到的关系，进而得到离心率.‎ ‎【详解】‎ 由题意知：‎ 又， ‎ 根据双曲线定义可知：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够利用双曲线的定义构造出关于的齐次方程，进而可得离心率.‎ ‎12．已知函数满足，若函数与的图像交点为，则（ ）‎ A．0 B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数解析式和可判断出两个函数均关于点对称；从而可知交点关于对称，从而可知横坐标和为，纵坐标和为，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，可知关于点对称 又，即，可知关于点对称 ‎，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数对称性的应用，关键是能够判断出两个函数均关于点对称，可知交点关于点对称，进而可分别求得横纵坐标之和.‎ 二、填空题 ‎13．已知两个单位向量，满足，则与的夹角为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过平方运算将模长变为数量积运算的形式，可构造出关于夹角余弦值的方程，从而求得夹角.‎ ‎【详解】‎ 由题意知： ‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量夹角的求解问题，关键是通过平方运算得到向量的数量积运算的形式.‎ ‎14．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中1名女生1名男生的概率为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别求出“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数，以及“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数，基本事件个数之比即是所求概率.‎ ‎【详解】‎ 因为“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数为；‎ ‎“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数为；‎ 所以恰好选中一名男生和一名女生的概率为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型的问题，只需分别计算出基本事件总数以及满足条件的基本事件数，即可求解，属于基础题型.‎ ‎15．在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】确定圆心坐标和半径，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，利用直线被圆截得的弦长为求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程可知：圆心为，半径为 圆心到直线距离：‎ 所求弦长为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线被圆截得弦长的求解，属于基础题.‎ ‎16．已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】【详解】‎ 注意到，.‎ 则.‎ 易知，在区间 上单调递增，在区间上单调递减，在 处取得最小值.‎ 故，且 在区间 上单调递增.‎ ‎,,.‎ 当 、在区间 上只有一个交点，即的图像与 的图像相切时， 取最大值.‎ 不妨设切点坐标为 ，斜率为 ①‎ 又点在 上，于是， ②‎ 联立式①、②解得，.‎ 从而，.‎ 三、解答题 ‎17．已知等比数列的各项为正数，且，数列的前项和为 ，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）利用和可求出公比，利用等比数列通项公式求得结果；（2）利用求出，从而求得；利用分组求和法求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ，又 ‎ 或 各项均为正数 ‎ ‎(2)由得，当时：‎ 当时，也合适上式 ‎ 由得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式求解、分组求和法求数列前项和，涉及到利用求解通项公式、等差数列和等比数列求和公式的应用.‎ ‎18．在中，分别是角的对边，，且 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的取值范围 ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据向量垂直得到数量积为零，可得；利用正弦定理进行边角关系式化简，结合两角和差正弦公式可求得，进而得到；（2）利用余弦定理可整理得，根据基本不等式可求得，根据三角形两边和大于第三边可得，从而得到所求范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得：‎ 由正弦定理得：‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ 整理可得：‎ 又，当且仅当时取等号 ‎ ‎ 又 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题.求解两边和的范围的关键是能够通过余弦定理构造关于两边积的形式，利用基本不等式求出积的最大值，从而可得两边和的最大值.‎ ‎19．在直三棱柱中， 是的中点， 是上一点.‎ ‎（1）当时，证明： 平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明 与两线垂直，利用线面垂直的判定定理得出 平面 ；（2）若 ，则 ，可求 ，即可求三棱锥 体积.‎ 试题解析：（1）证明：因为是的中点，所以，‎ 在直三棱柱中，因为底面， 底面，所以,‎ 因为，所以平面，因为平面，所以.‎ 在矩形中，因为，‎ 所以，所以，所以,‎ ‎（或通过计算，得到为直角三角形）‎ 所以，因为，所以平面.‎ ‎（2）解：因为平面， ,‎ 因为是的中点，所以，在中， ,‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以.‎ ‎20．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出个利润为元，未售出的每个亏损元.根据以往天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了个这种蛋糕.以（单位：个， ）表示这天的市场需求量. （单位：元）表示这天售出该蛋糕的利润.‎ 需求量/个 天数 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎15‎ ‎（1）将表示为的函数，根据上表，求利润不少于元的概率；‎ ‎（2）估计这天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了名市民进行问卷调查，调查结果如下表所示，已知在购买意愿强的市民中，女性的占比为.‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 女性 ‎28‎ 男性 ‎22‎ 合计 ‎28‎ ‎22‎ ‎50‎ 完善上表，并根据上表，判断是否有的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关？‎ 附： .‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）0.7；（2）126.5；（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论，根据销售收入减去成本可以将表示为的函数，根据所求解析式，列不等式求出利润不少于元的的范围，找出表格中对应天数，利用古典概型概率公式可得利润不少于570元的概率；（2）这100天的平均需求量为；（3）先列出列联表，根据公式，，故有的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关.‎ 试题解析：（1）当时，，‎ 当时，，所以 当时，，∴，又，所以，‎ 因此，利润不少于570元的概率为.‎ ‎（2）这100天的平均需求量为.‎ ‎（3）根据题意，购买意愿强市民中女性的人数为，男性为8人，‎ 填表如下：‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 女性 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 男性 ‎8‎ ‎14‎ ‎22‎ 合计 ‎28‎ ‎22‎ ‎50‎ 根据公式，，‎ 故有的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查阅读能力、古典概型概率公式以及独立性检验的应用，属于中档题.‎ 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎21．如图：椭圆的顶点为,左右焦点分别为，，‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，试探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由？‎ ‎【答案】（1）；（2）在轴上存在定点，使得为定值 ‎【解析】（1）根据，和可构造出关于的方程组，求解可得标准方程；（2）当直线斜率不为时，设，‎ ‎，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，列出，代入韦达定理的结果可整理出，根据可求得和的值；当直线斜率为时，可知所求的依然满足是上面所求的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由知：……①‎ 由知：，即……②‎ 又……③‎ 由①②③得：，‎ 所求方程为：‎ ‎（2）①当直线的斜率不为时 设，，，直线的方程为 由得： ‎ 由，得：，故此时点，‎ ‎②当直线的斜率为时，‎ 综上所述：在轴上存在定点，使得为定值 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定点定值问题.解决定点定值问题的关键是建立起关于变量的等量关系式，通过化简、消元消去变量，从而得到定值；通常采用先求一般再求特殊的方式，对于直线斜率为零或不存在的情况，通常最后验证一般情况下得到的结论适合特殊情况即可.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当对于任意的，不等式恒成立，求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时函数在上单调递增；当时函数在,上单调递增，上单调递减；（2）‎ ‎【解析】（1）求得后，分别在、、、的情况下讨论的符号，从而可得函数的单调性；（2）将问题变为，当时，，从而构造关于的不等式，解不等式可知不合题意；当时，，可知，构造函数，可求得，从而可得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为．‎ ‎①当时 当或时，；当时，‎ 在，上单调递增；在上单调递减 ‎②当时，，在上单调递增 ‎③当时 当或时，；当时，‎ 在，上单调递增；在上单调递减 ‎④当时 当时，；当时，‎ 在上单调递减；在上单调递增 综上所述：‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；‎ 当时函数在上单调递增；‎ 当时函数在,上单调递增，上单调递减 ‎（2）由题意知：‎ 由（1）知, 函数在上单调递增,则 得，即：‎ 解得：或，不合题意 当时，在上单调递增；上单调递减 整理得：‎ 令，则 当时，，则在上单调递增 ‎，即 时，恒成立 综上所述：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数求解恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较，从而可构造出关于参数的不等式，解不等式可求得结果.‎