江苏省淮安市楚州中学2020届高三第三次阶段测试数学（文）试题

江苏省淮安市楚州中学2020届高三第三次阶段测试数学（文）试题

‎2020届楚州中学高三年级第三次阶段测试高三数学（文）试卷 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把正确答案填写在答题卡相应的位置.）‎ ‎1.函数 的最小正周期为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用正切型函数周期求解公式求解.‎ ‎【详解】因为正切型函数的周期为，所以最小正周期为.‎ ‎【点睛】本题主要考查正切型函数的周期求解方法，熟记求解公式是解决本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎2.已知向量，且，则实数的值是______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，即可得出，从而求出的值。‎ ‎【详解】解：，，，故答案为：1。‎ ‎【点睛】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，是简单题。‎ ‎3.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据奇函数的定义，得到，即 ‎，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.‎ ‎【详解】因为函数是奇函数，‎ 所以，从而得到，即，‎ 所以，所以，所以切点坐标是，‎ 因为，所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 故答案是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.‎ ‎4.已知向量，，，则________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据得出，然后根据得出，最后通过化简即可得出结果。‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 即，。‎ ‎【点睛】本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若，则，考查计算能力，是简单题。‎ ‎5.已知函数，若不等式的解集为，则的值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，整理为的解集是，所以，即，，所以，故填：.‎ 考点：一元二次方程与韦达定理 ‎6.已知θ是第四象限角，且 cosθ＝，那么的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由同角三角函数的基本关系得sinθ，利用两角和公式及二倍角公式化简求解即可.‎ ‎【详解】依题意，有：sinθ＝－，‎ ‎＝＝＝‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式、两角和的正弦公式，属于基础题.‎ ‎7.已知函数f(x)的导函数，x∈(－1,1)，f(0)＝0，若，则实数x的取值范围__________.‎ ‎【答案】（1，）‎ ‎【解析】‎ 是增函数，，由f(0)＝0得，所以，函数为奇函数；所以不等式转化为，解不等式得 点睛:解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内 ‎8.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是________．‎ ‎【答案】钝角三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理把角化为边，结合余弦定理可判断三角形的形状.‎ ‎【详解】由正弦定理原式可化为，‎ 由余弦定理，所以为钝角.故的形状是钝角三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角形形状的判定，一般求解思路是先边角进行转化，从边的角度或者是从角的角度进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎9.已知二次函数，不等式的解集的区间长度为6(规定：闭区间的长度为)，则实数的值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意的解集为，分析可得和是方程的两根，将二次函数根与系数的关系与相结合，可得的值．‎ ‎【详解】根据题意的解集为，‎ 则和是方程即的两根，‎ 则，，‎ 不等式的解集的区间长度为6，即，‎ 则有，解可得，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎10.若函数，在上恒成立，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分离参数法转化为在上恒成立，然后利用换元法结合二次函数求解的最大值即可.‎ ‎【详解】因为恒成立，所以在上恒成立；‎ 设，则，，‎ 因为时，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查恒成立问题，恒成立问题一般是利用分离参数法求解，分离参数后求解新函数的最值即可.侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.‎ ‎11.设函数是偶函数，当时，，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数的图象，将问题转化为当直线与函数的图象有四个交点时，求实数的取值范围，利用数形结合思想可求解.‎ ‎【详解】令，得，则问题可转化为：当直线与函数的图象有四个交点时，求实数的取值范围.‎ 作出函数的图象如下图所示，当时，直线与函数的图象有四个交点，因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，一般转化为两个函数的交点个数，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎12.设函数则满足的x的取值范围是____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.‎ ‎【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.‎ ‎13.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若四点均位于图中的“晶格点”处，且的位置所图所示，则 的最大值为________．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ 先建立直角坐标系，由向量投影知 取最大值时 ,即 ‎ 点睛：平面向量数量积的类型及求法 ‎(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.‎ ‎(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.‎ ‎14.在中，，则的最大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形内角和定理与诱导公式化简可得，即，可得为锐角，为钝角，展开代入利用基本不等式的性质即可得出的最大值，结合的范围即可得解．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，可得为锐角，为钝角．‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ ‎∴的最大值是，‎ ‎∵A为锐角，∴A的最大值是，故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15.已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合；‎ ‎（2）若，求函数的单调增区间．‎ ‎【答案】（1）取得最小值0，（2）单调增区间是和．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简，再根据余弦函数的性质可得当，即时，取得最小值 ；（2）令， 解得，结合，分别令，可得函数在的单调增区间是和.‎ 试题解析：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ． ‎ 当，即时，取得最小值0．‎ 此时，取得最小值时自变量x的取值集合为．‎ ‎（2）因为，‎ 令， ‎ 解得，‎ 又，令，，令，，‎ 所以函数在的单调增区间是和．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式、三角函数的图像与性质，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.‎ ‎16.在中，角的对边分别为 已知.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理，边化角，及，可求得；‎ ‎（2）由向量的数量积公式转化为三角形的边角等式，再利用余弦定理统一边，可得，再由三边关系及角B的余弦定理可求，再由同角关系及和角公式可求.‎ ‎【详解】（1）因为，则由正弦定理，得． ‎ 又，所以，即． ‎ 又是的内角，所以，故；‎ ‎（2）因为， 所以，‎ 则由余弦定理，得，得． ‎ 从而， ‎ 又，所以．‎ 从而．‎ ‎【点睛】（1）正弦定理的简单应用，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化；‎ ‎（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；‎ ‎（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解；‎ ‎（4）注意向量关系与边角关系转化及面积中边角关系的应用.‎ ‎17.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为.如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为多少米？‎ ‎【答案】160m ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出池底的长为，表示出另一边的长度，根据造价情况表示出水池的总的造价，结合基本不等式求解最值.‎ ‎【详解】设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为， ‎ 由题意可得水池总造价 ‎， ‎ 则，‎ 当且仅当，即时，有最小值297600， ‎ 此时另一边的长度为，‎ 因此，当水池的底面周长为时，水池的总造价最低，最低总造价是元，‎ 故答案为160．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，根据题意构建数学模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.‎ ‎18.已知函数为实数）‎ ‎（1）若在处有极值，求a的值；‎ ‎（2）若在上是增函数，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求解导数，根据是极值点，可得，从而可求的值；‎ ‎（2）根据在上是增函数可得在恒成立，再利用分离参数法可求的范围.‎ ‎【详解】（1），‎ 因为在处有极值，所以，即，解得，‎ 经检验可得符合题意，所以.‎ ‎（2）因为在上是增函数，所以在恒成立，‎ 即有恒成立，‎ 当时，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用极值求解参数和利用单调性求解参数范围，恒成立问题一般是利用分离参数法求解，分离参数后转化为求解新函数的最值问题.‎ ‎19.已知函数是偶函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）因为函数是偶函数，所以有，即求出 的值；（2）分离参数，因为，所以不等式等价于，使得不等式恒成立，只要即可求出的范围。‎ 试题解析（1）因为函数是定义域为的偶函数，所以有，‎ 即，即，故.‎ ‎（2），且在上恒成立，‎ 故原不等式等价于在上恒成立，‎ 又，所以，所以，从而，‎ 因此，.‎ ‎20.已知函数，其中是自然对数的底数，.‎ ‎(1) 若是函数的导函数，当时，解关于的不等式；‎ ‎(2) 若在 上是单调增函数，求的取值范围；‎ ‎(3) 当时，求整数的所有值，使方程在上有解．‎ ‎【答案】(1) ；(2)；(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求导数，所求不等式可化为ax2＋(2a＋1)x>0然后可求；‎ ‎(2)在 上是单调增函数转化为在恒成立，结合根的分布求解；‎ ‎(3)根据零点存在定理和单调性，先确定零点所在区间，然后确定的值.‎ ‎【详解】(1) f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex.‎ 不等式f′(x)>ex可化为[ax2＋(2a＋1)x]·ex>0. ‎ 因为ex>0，故有ax2＋(2a＋1)x>0.‎ 当a>0时，不等式f′(x)>ex的解集是. ‎ ‎(2) 由(1)得f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex.‎ ‎① 当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)>0在[－1，1]上恒成立，‎ 当且仅当x＝－1时取等号，故a＝0符合要求； ‎ ‎ ② 当a≠0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1，‎ 因为Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1>0，‎ 所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1>x2，‎ 因此f(x)既有极大值又有极小值．‎ 若a>0，因为g(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)上有极值点．‎ 故f(x)在[－1，1]上不单调． ‎ 若a<0，可知x1>0>x2，‎ 因为g(x)图象开口向下，要使f(x)在[－1，1]上单调，又g(0)＝1>0，‎ 必须满足，即，解得≤a<0.‎ 综上所述，a的取值范围是.‎ ‎(3) 当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解，‎ 所以原方程等价于ex－－1＝0，令h(x)＝ex－－1.‎ 因为h′(x)＝ex＋>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，‎ 所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调增函数． ‎ 又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e－3－<0，h(－2)＝e－2>0，‎ 所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，‎ 且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，‎ 所以整数k的所有值为{－3，1}．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数求解单调性问题，利用导数求解方程根的问题，综合性较强，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎ ‎