高考数学专题复习教案: 离散型随机变量的均值与方差备考策略

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高考数学专题复习教案: 离散型随机变量的均值与方差备考策略

离散型随机变量的均值与方差备考策略 主标题:离散型随机变量的均值与方差备考策略 副标题:通过考点分析高考命题方向,把握高考规律,为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词:离散型随机变量,均值,方差,备考策略 难度:3‎ 重要程度:4‎ 考点一 离散型随机变量的均值与方差 ‎【例1】 设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.‎ ‎(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量X为取出此2球所得分数之和,求X的分布列;‎ ‎(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量Y为取出此球所得分数.若E(Y)=,D(Y)=,求a∶b∶c.‎ 思路解析 (1)对取出球的颜色进行分类以确定得分值,进而确定随机变量X的取值,计算相应的概率,再列出分布列.(2)用a,b,c表示出Y取值的概率,列出随机变量Y的分布列,求出均值和方差,转化为关于a,b,c的方程求解.‎ 解 (1)由题意得X=2,3,4,5,6.‎ 故P(X=2)==,‎ P(X=3)==,‎ P(X=4)==,‎ P(X=5)==,P(X=6)==.‎ 所以X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)由题意知Y的分布列为 Y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(Y)=++=,‎ D(Y)=2·+2·+2·=.‎ 化简得解得 故a∶b∶c=3∶2∶1.‎ ‎【备考策略】 求解该类问题,首先要理解问题的关键,其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值,计算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算,也就是要过“三关”:①阅读理解关;②概率计算关;③公式应用关,如方差、均值公式要准确理解、记忆.‎ 考点二 与二项分布有关的均值、方差 ‎【例2】某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.‎ ‎(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;‎ ‎(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?‎ 思路点拨 (1)易知X=0,2,3,5,则“X≤3”与“X=5”为对立事件,根据相互独立事件与对立事件公式计算.(2)每种方案的得分与中奖次数有关,且中奖次数服从二项分布,运用均值的性质求解.‎ 解 (1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.‎ 记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A,‎ 则事件A的对立事件为“X=5”,‎ 因为P(X=5)=×=,‎ 所以P(A)=1-P(X=5)=,‎ 即这2人的累计得分X≤3的概率为.‎ ‎(2)法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).‎ 由已知可得,X1~B,X2~B,‎ 所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=,‎ 因此E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.‎ 因为E(2X1)>E(3X2),‎ 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.‎ 法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1,都选择方案乙所获得的累计得分为Y2,则Y1,Y2的分布列为:‎ Y1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎ ‎ Y2‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ P ‎∴E(Y1)=0×+2×+4×=,‎ E(Y2)=0×+3×+6×=,‎ 因为E(Y1)>E(Y2),‎ 所以二人都选择方案甲抽奖,累计得分的数学期望较大.‎ ‎【备考策略】求离散型随机变量的均值与方差的方法:(1)先求随机变量的分布列,然后利用均值与方差的定义求解.(2)若随机变量X~B(n,p),则可直接使用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.‎ 考点三 均值与方差在决策中的应用 ‎【例3】 某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:‎ 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;‎ 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和.‎ ‎(1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由;‎ ‎(2)若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番?‎ ‎(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)‎ 解 (1)若按“项目一”投资,设获利为X1万元.则X1的分布列为 X1‎ ‎300‎ ‎-150‎ P ‎∴E(X1)=300×+(-150)×=200(万元).‎ 若按“项目二”投资,设获利X2万元,‎ 则X2的分布列为:‎ X2‎ ‎500‎ ‎-300‎ ‎0‎ P ‎∴E(X2)=500×+(-300)×+0×=200(万元).‎ D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35 000,‎ D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140 000.‎ 所以E(X1)=E(X2),D(X1)
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