宁夏银川三沙源上游学校2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

宁夏银川三沙源上游学校2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

银川三沙源上游学校2019－2020学年上学期期末考试数学试卷（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设命题，,则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题写出结果即可.‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以：，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定，考查特称命题和全称命题，考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题.‎ ‎2.复数（i为虚数单位）的共轭复数是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题；，则共轭复数：．‎ 考点：复数的运算及共轭复数的概念.‎ ‎3.已知＝（2，0，3），＝（4，-2，1），＝（-2，，2），若（-）⊥，则=‎ A. 4 B. —‎4 ‎C. 2 D. —2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 本题考查空间向量的运算．‎ 点拨：向量垂直则其数量积为零．‎ 解答：由已知得：‎ 又 所以 即 所以．‎ ‎4.若x，y满足 则x + 2y的最大值为 A. 1 B. 3‎ C. 5 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图，画出可行域，‎ 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.‎ ‎5.下列说法正确的是（ ）．‎ A. ，“”是“”的必要不充分条件 B. “且为真命题”是“或为真命题” 的必要不充分条件 C. 命题“，使得”的否定是：“”‎ D. 命题：“”，则是真命题 ‎【答案】A ‎【解析】‎ A. 由得a>1或a<0,则“”是“a>‎1”‎的必要不充分条件，正确，‎ B. 若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，此时p∨q为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误，‎ C. 命题“∃x∈R使得”的否定是：“∀x∈R,⩾‎0”‎，故C错误，‎ D. ∵sinx+cosx=sin(x+)⩽恒成立，∴p是真命题，则是假命题，故D错误，‎ 故选A.‎ ‎6.函数f（x）=x2﹣8lnx的单调递减区间为（　　）‎ A. [2，+∞） B. （﹣∞，2] C. （0，2] D. （﹣2，2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,因此单调递减区间为（0，2],选C.‎ ‎7.若，则函数的图象在处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由微积分基本定理求得值，再根据导函数求切线方程.‎ ‎【详解】，，，，‎ 则切线方程为，即．‎ ‎【点睛】本题考查微积分基本定理和由导函数求切线方程，属于基础题.‎ ‎8.已知各项均不为0的等差数列，满足，数列是等比数列，且，则（ ）‎ A. 11 B. ‎12 ‎C. 14 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列和等比数列的性质进行计算即可.‎ ‎【详解】由等差数列的性质得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解之得： (舍)，，‎ ‎，‎ 由等比数列的性质得：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的性质的应用，考查计算能力，属于常考题.‎ ‎9.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：‎ ‎ .则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则n=（　　）‎ A. 7 B. ‎35 ‎C. 48 D. 63‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n的值.‎ ‎【详解】考查所给的等式的特征，归纳其性质有：‎ 若等式左侧根号外面的数为，则根号内部的分子为，分母为，‎ 据此归纳推理可知：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎10.已知实数，，，成等比数列，且曲线的极大值点为，极小值为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的极值，利用等比数列的性质求解即可．‎ ‎【详解】曲线，可得，‎ 令，可得函数的极值点为：，，‎ 当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，‎ 由于实数，，，成等比数列，‎ 可得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查等比数列的知识，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 （ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，‎ 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．‎ 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎12.已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式 两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】构造函数，其中，则，‎ 所以，函数在定义域上为增函数，‎ 在不等式两边同时乘以得，即，‎ 所以，解得，‎ 因此，不等式的解集为，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：‎ ‎（1）根据导数不等式的结构构造新函数；‎ ‎（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；‎ ‎（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.正方体中，点，分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角余弦值．‎ ‎【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为，如下图：‎ 则，，，，，，‎ 设异面直线与所成角为，‎ 则，‎ 异面直线与所成角余弦值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力，属于常考题.‎ ‎14.已知抛物线的焦点为，，为抛物线上的动点，则的最小值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点在准线上的射影为，由抛物线的定义把问题转化为求的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时，最小，答案可得．‎ ‎【详解】设点A在准线上的射影为D，在抛物线内部，‎ 由抛物线的定义可知，‎ 抛物线，，‎ 要求的最小值，即求的最小值，‎ 只有当D，P，A三点共线时，最小，且最小值为 （准线方程为）.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线知识的应用，解题关键是根据抛物线的定义将求的最小值的问题转化为求的最小值的问题，考查逻辑思维能力和转化能力，属于中档题.‎ ‎15.已知，，且．若成立，则的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据均值不等式的“‎1”‎的妙用得最值求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 当且仅当，时，取等号，‎ 由题意得，解得或．‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查均值不等式，属于中档题.‎ ‎16.如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作 ‎，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题观察所给的图形，对应的点分别为：1,1+4,1+4+7,1+4+7+10，….可得为点的个数为一个首项为1，公差为3的等差数列的和．则 考点：观察推理能力及等差数列的求和．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再由复数求模公式计算得答案； （2）把代入方程中，求解即可得答案．‎ ‎【详解】（1）由，‎ 得；‎ ‎（2）把代入方程中，得到：，‎ 即且，解得，.‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念，考查复数的运算性质，考查计算能力，属于常考题.‎ ‎18.已知函数（为实数）.‎ ‎（1）若，求函数在区间上值域；‎ ‎（2）若函数在区间上是增函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的值域即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，问题转化为，记，则，从而求出的范围即可．‎ ‎【详解】（1）当时，，，令，解得或，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 减函数 极小值 增函数 又，，，‎ 所以在上的值域为；‎ ‎（2），由于在区间上是增函数，‎ 则对于恒成立，‎ 即不等式对于恒成立，‎ 因，分离变量得：，‎ 记，则，‎ 而函数在上为减函数，则，所以.‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的应用，具体考查判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.‎ ‎19.如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点.‎ ‎（1）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎（1）设平面的一个法向量为，则，列出方程得出，直线与平面所成角的正弦值即为的值，计算即可；‎ ‎（2）设平面的一个法向量为，则，列出方程得出，再计算即可.‎ ‎【详解】则，，，，，，所以，，，，如下图：‎ ‎（1）设平面的一个法向量为，‎ 则，即，取，‎ 所以，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为；‎ ‎（2）设平面的一个法向量为，‎ 则，即，取，‎ 所以，‎ 所以求平面与平面所成二面角的余弦值.‎ ‎【点睛】本题考查利用向量法解决线面角和面面角的问题，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.‎ ‎20.已知为等比数列的前项和，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的首项为，公比为，由已知可得关于和的方程组，求得和，代入等比数列的通项公式得答案；‎ ‎（2）把数列的通项公式代入，利用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的首项为首项为，公比为，‎ 由，，得，‎ 解得：，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎①②，得：‎ ‎，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.‎ ‎21.已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为.设过点的直线与椭圆相交于不同两点，周长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，证明：当直线变化时，总有TA与的斜率之和为定值．‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；(II) 当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0； 当直线不垂直于轴时，设的方程为 与椭圆方程联立，根据两点间的斜率公式及韦达定理将 用参数 表示，化简消去 即可得结论.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知条件得，所以 ‎ ‎ ‎ 椭圆C的标准方程为 ‎ ‎（Ⅱ）当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0； ‎ 当直线不垂直于轴时，设的方程为，‎ 与椭圆方程联立得 ‎ 则， ，其中恒成立．‎ ‎=‎ ‎= ‎ 因为= ‎ 所以 综上：直线与斜率之和为定值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及韦达定理的应用，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎22.已知函数，直线：，且．　‎ ‎（1）若，使得成立，求实数取值范围；‎ ‎（2）设，当时，函数的图象恒在直线的上方，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）的最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可得，即，‎ 令，，‎ ‎∴，‎ 令，解得，‎ ‎∴在上递减，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴，即的取值范围是．‎ ‎（2）由题意可知在上恒成立，即，‎ 令，‎ ‎∴，‎ 令，，‎ ‎∴在上递增，又，，‎ ‎∴存在唯一实数，使得，即，（*）‎ ‎∴在上递减，在上递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴，又，∴的最大值为．‎ 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两道问题，旨在考查运用导数与函数的单调性之间的关系等有关知识的综合运用．解答第一问时，先将不等式进行转化，再构造函数运用导数求其最值，使得问题获解；求解第二问时，先将参数从不等式中分离出来，再构造函数，运用导数知识求出其最值，使得问题巧妙获解．‎