【数学】2019届一轮复习人教A版（理）解析几何学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理）解析几何学案

‎【热点知识再梳理——胸有成竹】‎ 热点一 直线与圆的位置关系 ‎[1] 直线与圆的位置关系：‎ 若直线与圆相交，设弦长为，弦心距为，半径为，则 ‎1．【海南省海口市2017届高三4月调研】已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎2．【四川省德阳市2018届高三二诊考试】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（ ）‎ A. 3 B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的离心率为，则 故其一条渐近线不妨为 ， 圆的圆心，半径为2， 双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为， 可得圆心到直线的距离为： 故选D．‎ ‎3.【四川省宜宾市2017届高三二诊】设直线： ，圆： ‎ ‎，若圆上存在两点， ，直线上存在一点，使得，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】；‎ ‎ ‎ ‎4．【上海市徐汇区2018届高三下 期 习能力诊断（二模）】已知直线.当在实数范围内变化时， 与的交点恒在一个定圆上，则定圆方程是 ______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，联立两直线方程，利用代入消元法，消去得，整理后可得，所求定圆方程是. : ]‎ 热点二 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质 ‎[2] 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质 ‎(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.‎ ‎(2)求椭圆、双曲线离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合a、b、c的关系，就可求得e.在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．‎ ‎(3)求椭圆、双曲线方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或 ‎；如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或 ‎（4）抛物线上一点，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：　‎ ‎5.【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )‎ A. 23 B. 42 C. 12 D. 52‎ ‎【答案】A ‎【点睛】当抛物线方程为，过焦点的直线与抛物线交于，则有，抛物线的极坐标方程为，所以 ，‎ ‎，所以，即证。 ‎ ‎6. 双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎7.【2017届江西省赣州市高三上期末】已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），过点作准线的垂线，垂足为，若，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为， ，所以为正三角形，又， ，因此，所以，故选A．‎ ‎8.【河北省衡水金卷调研卷2018年普通高等 校招生全国统一考试模拟考试】已知抛物线 的焦点为,双曲线的右焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限的交点为，且抛物线在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【易错点晴】本题主要考查抛物线、双曲线的方程与性质、导数的几何意义以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. ‎ ‎9.【吉林省吉林市2018届高三第三次调研考试】已知抛物线的焦点为，准线为，点在轴负半轴且 ， 是抛物线上的一点， 垂直于点且， 分别交， 于点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，如图所示：‎ ‎[ : + + ]‎ 热点三 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎[3] 注意应用点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．‎ ‎[4]解题常用规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．‎ 求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视 ‎(1)重视定义在解题中的作用；‎ ‎(2)重视平面几何知识在解题中的作用；‎ ‎(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；[ : ]‎ ‎(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．‎ ‎10. 【2017届吉林省延边州高三高考仿真】已知椭圆经过点,离心率为，点坐标原点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆的左焦点任作一条不垂直于坐标轴的直线，交椭圆于两点，记弦的中点为，过作的垂线交直线于点，证明：点在一条定直线上.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据已知列式，可求解.‎ 试题解析：(1)因为，所以，从而，椭圆的方程为.‎ ‎(2)设，联立与，可得，所以，设，则，所以，直线，联立方程组，解得，所以点在定直线上. * [ : xx ]‎ ‎11. 已知椭圆W：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为－1，O为坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆W的方程；‎ ‎(2)设斜率为 的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S ，证明：S1＝S2.‎ ‎【答案】(1)＋y2＝1 (2) 见解析 ‎ ‎ ‎(2)证明　设直线l的方程为y＝ x＋m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组 得(1＋2 2)x2＋4 mx＋2m2－2＝0，‎ ‎∴Δ＝16 2－8m2＋8>0.①‎ 由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴|AB|＝＝，‎ ‎∵原点O到直线y＝ x＋m的距离d＝，‎ ‎∴S△AOB＝|AB|d＝，当 ＝1时，S△AOB＝，‎ ‎∴当m2＝时，S△AOB有最大值S1＝，验证满足①式，当 ＝2时，‎ S△AOB＝，‎ ‎∴当m2＝时，S△AOB的最大值S2＝，验证①式成立.因此S1＝S2. ‎ ‎12. 【四川省蓉城名校高中2018届高三4月份联考】已知椭圆： 的长轴长为， ， 是其长轴顶点， 是椭圆上异于， 的动点，且.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，若动点在直线上，直线， 分别交椭圆于， 两点.请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线过定点.[ : ,xx, ]‎ ‎【解析】试题分析： 由长轴长为得，由，设代入计算得设直线的方程为，求出直线的方程，联立直线与椭圆方程求出， 求出直线过定点 ‎（2）设，则直线的方程为；则直线的方程为联立得消去得： ，则，‎ ‎13.【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测】已知圆,点为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程；‎ ‎(Ⅱ) 是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) 存在定点.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两圆内切，圆心距等于半径差，可知动圆圆心S到O与F的距离和为定值2，取关于轴的对称点，由中位线可知，所以点的轨迹是以， 为焦点，长轴长为4的椭圆。（2）由得 ‎,得直线得与斜率和为零.设， ，直线的方程为得，代入韦达可求。‎ ‎(Ⅱ)假设存在满足题意的定点，设设直线的方程为， ．由消去，得 由直线过椭圆内一点作直线故，由求根公式得：‎ 由得,得直线得与斜率和为零.故 存在定点，当斜率不存在时定点也符合题意． . ‎ ‎【点睛】求曲线方程常见有定义法、几何转化法、相关点法、参数法等，本题是几何法，对于有明显几何意义关系的，如本题两圆内切，可先写出几何关系，再转化为所求点的几何关系，即可求出轨迹方程。‎ ‎14．已知椭圆 短轴端点和两个焦点的连线构成正方形，且该正方形的内切圆方程为. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，直线与抛物线交于两点，且，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先写出一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是，即，利用圆心到直线距离等于半径，列方程求解即可；‎ ‎（2）抛物线的焦点在轴的正半轴上，故，故，抛物线的方程为，由，可得，设点，则， 代入求出关于的表达式，利用判别式大于0的范围，求值域即可.‎ ‎(2)抛物线的焦点在轴的正半轴上，故，故，抛物线的方程为，由，可得，由直线与抛物线有两个不同交点可得 在时恒成立，设点，‎ 则，则 ‎，‎ 又点到直线的距离为， ‎ 故时， 取最大值，则的面积取最大值为.‎