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文档介绍
数学卷·2018届江西省上饶市德兴一中高二上学期期中数学试卷(理科)(解析版)
全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年江西省上饶市德兴一中高二(上)期中数学试卷(理科) 一、选择题:(本题包括12小题,共60分,每小题只有一个选项符合题意) 1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( ) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 2.“x>1”是“(x+2)<0”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知f(x)=,定义f1(x)=f′(x),f2(x)=[f1(x)]′,…,fn+1(x)=[fn(x)]′,n∈N.经计算f1(x)=,f2(x)=,f3(x)=,…,照此规律,则f2015(0)=( ) A.﹣2015 B.2015 C. D.﹣ 4.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,仿此,若m3的“分裂数”中有一个是61,则m的值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 5.某教师一天上3个班级的课,每班开1节,如果一天共9节课,上午5节、下午4节,并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位教师一天的课表的所有排法有( ) A.474种 B.77种 C.462种 D.79种 6.某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为( ) A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7? 7.已知正方形ABCD的边长为2,H是边DA的中点,在正方形ABCD内部随机取一点P,则满足|PH|<的概率为( ) A. B. C. D. 8.已知(x2+1)(x﹣2)9=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+…+a11(x﹣1)11,则a1+a2+…+a11的值为( ) A.0 B.2 C.255 D.﹣2 9.若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A. B. C. D. 10.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 11.关于x的不等式x2+ax﹣2<0在区间[1,4]上有解,则实数a的取值范围为( ) A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 12.在送医下乡活动中,某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到3所乡医院工作,每所医院至少安排一名医生,且甲、乙两名医生不安排在同一医院,丙、丁两名医生也不安排在同一医院,则不同的分配方法总数为( ) A.36 B.72 C.84 D.108 二、填空题:(本题包括4小题,共20分) 13.某单位有840名职工,现采用系统抽样抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[61,120]的人数为 . 14.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= . 15.已知函数f(x)=x2+mx﹣1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是 . 16.若n是7777﹣10除以19的余数,则的展开式中的常数项为 . 三、解答题:(本题包括6小题,17题10分,18-22题每题12分,共70分) 17.已知a∈R,命题p:“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命题q:“∃x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”. (1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围; (2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围. 18.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有1个盒内有2个球,共有几种选法? (3)恰有2个盒不放球,共有几种放法? 19.设m,n∈N,f(x)=(1+x)m+(1+x)n. (1)当m=n=5时,若,求a0+a2+a4的值; (2)f(x)展开式中x的系数是9,当m,n变化时,求x2系数的最小值. 20.如图所示,机器人海宝按照以下程序运行: ①从A出发到达点B或C或D,到达点B、C、D之一就停止 ②每次只向右或向下按路线运行 ③在每个路口向下的概率 ④到达P时只向下,到达Q点只向右 (1)求海宝过点从A经过M到点B的概率,求海宝过点从A经过N到点C的概率; (2)记海宝到点B、C、D的事件分别记为X=1,X=2,X=3,求随机变量X的分布列及期望. 21.某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时) (Ⅰ)应收集多少位女生样本数据? (Ⅱ)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率. (Ⅲ)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 22.已知函数f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为x﹣2y﹣2=0. (1)求a、b的值; (2)当x≥1时,f(x)+<0恒成立,求实数k的取值范围. 2016-2017学年江西省上饶市德兴一中高二(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:(本题包括12小题,共60分,每小题只有一个选项符合题意) 1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( ) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 【考点】命题的否定. 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是:∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2. 故选:D. 2.“x>1”是“(x+2)<0”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】充要条件. 【分析】解“(x+2)<0”,求出其充要条件,再和x>1比较,从而求出答案. 【解答】解:由“(x+2)<0” 得:x+2>1,解得:x>﹣1, 故“x>1”是“(x+2)<0”的充分不必要条件, 故选:B. 3.已知f(x)=,定义f1(x)=f′(x),f2(x)=[f1(x)]′,…,fn+1(x)=[fn (x)]′,n∈N.经计算f1(x)=,f2(x)=,f3(x)=,…,照此规律,则f2015(0)=( ) A.﹣2015 B.2015 C. D.﹣ 【考点】归纳推理;导数的运算. 【分析】根据归纳推理进行求解即可. 【解答】解:∵f1(x)=, f2(x)=, f3(x)=, …, 照此规律, f2015(x)=, 则f2015(x)==2015, 故选:B 4.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,仿此,若m3的“分裂数”中有一个是61,则m的值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【考点】归纳推理. 【分析】由题意知,n的三次方就是n个连续奇数相加,且从2开始,这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现,由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是61时,m的值. 【解答】解:由题意,从23到m3,正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m= 个, 61是从3开始的第30个奇数 当m=7时,从23到73,用去从3开始的连续奇数共=27个 当m=8时,从23到83,用去从3开始的连续奇数共=35个 所以m=8 故选:C. 5.某教师一天上3个班级的课,每班开1节,如果一天共9节课,上午5节、下午4节,并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位教师一天的课表的所有排法有( ) A.474种 B.77种 C.462种 D.79种 【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】根据题意,使用间接法,首先求得不受限制时,从9节课中任意安排3节排法数目,再求出其中上午连排3节和下午连排3节的排法数目,进而计算可得答案. 【解答】解:使用间接法, 首先求得不受限制时,从9节课中任意安排3节,有A93=504种排法, 其中上午连排3节的有3A33=18种, 下午连排3节的有2A33=12种, 则这位教师一天的课表的所有排法有504﹣18﹣12=474种, 故选A. 6.某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为( ) A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7? 【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输入S的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答案. 【解答】解:程序在运行过程中各变量值变化如下表: K S 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为k>4 故答案选A. 7.已知正方形ABCD的边长为2,H是边DA的中点,在正方形ABCD内部随机取一点P,则满足|PH|<的概率为( ) A. B. C. D. 【考点】几何概型. 【分析】求得正方形的面积,则S(M)=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH ,根据几何概率概率公式可知:P(M)=,即可求得满足|PH|<的概率. 【解答】解:(1)如图所示,正方形的面积S正方形ABCD=2×2=4. 设“满足|PH|>的正方形内部的点P的集合”为事件M, 则S(M)=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH=2××1×1+×××=1+, ∴P(M)==+. 故满足|PH|<的概率为+. 故选B. 8.已知(x2+1)(x﹣2)9=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+…+a11(x﹣1)11,则a1+a2+…+a11的值为( ) A.0 B.2 C.255 D.﹣2 【考点】二项式系数的性质. 【分析】用赋值法,在所给的等式中,分别令x=1和2,即可求出对应的值. 【解答】解:在(x2+1)(x﹣2)9=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+…+a11(x﹣1)11中, 令x=1,得(1+1)×(1﹣2)9=a0,即a0=﹣2; 令x=2,得a0+a1+a2+…+a11=0, ∴a1+a2+a3…+a11=2 故选B. 9.若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A. B. C. D. 【考点】简单线性规划. 【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离. 【解答】解:作出平面区域如图所示: ∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等. 联立方程组,解得A(2,1), 联立方程组,解得B(1,2). 两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0. ∴平行线间的距离为d==, 故选:B. 10.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【分析】由已知当x>0时总有xf′(x)﹣f(x)<0成立,可判断函数g(x)= 为减函数,由已知f(x)是定义在R上的奇函数,可证明g(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,根据函数g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性,模拟g(x)的图象,而不等式f(x)>0等价于x•g(x)>0,数形结合解不等式组即可. 【解答】解:设g(x)=,则g(x)的导数为:g′(x)=, ∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立, 即当x>0时,g′(x)恒小于0, ∴当x>0时,函数g(x)=为减函数, 又∵g(﹣x)====g(x), ∴函数g(x)为定义域上的偶函数 又∵g(﹣1)==0, ∴函数g(x)的图象性质类似如图: 数形结合可得,不等式f(x)>0⇔x•g(x)>0 ⇔或, ⇔0<x<1或x<﹣1. 故选:A. 11.关于x的不等式x2+ax﹣2<0在区间[1,4]上有解,则实数a的取值范围为( ) A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】关于x的不等式x2+ax﹣2<0在区间[1,4]上有解,等价于a<,x∈[1,4],求出f(x)=﹣x在x∈[1,4]的最大值即可. 【解答】解:关于x的不等式x2+ax﹣2<0在区间[1,4]上有解, 等价于a<,x∈[1,4]; 设f(x)=﹣x,x∈[1,4], 则函数f(x)在x∈[1,4]单调递减, 且当x=1时,函数f(x)取得最大值f(1)=1; 所以实数a的取值范围是(﹣∞,1). 故选:A. 12.在送医下乡活动中,某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到3所乡医院工作,每所医院至少安排一名医生,且甲、乙两名医生不安排在同一医院,丙、丁两名医生也不安排在同一医院,则不同的分配方法总数为( ) A.36 B.72 C.84 D.108 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】五名医生到3所乡医院工作,每所医院至少安排一名医生,名医生可以分为(2,2,1)和(3,1,1)两种分法,根据分类计数原理可得 【解答】解:①当有二所医院分2人另一所医院分1人时,总数有: =90种,其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有+4=30种;故不同的分配方法是90﹣30=60种 ②有二所医院分1人另一所医院分3人.有=24种. 根据分类计数原理得,故不同的分配方法总数60+24=84. 故选:C 二、填空题:(本题包括4小题,共20分) 13.某单位有840名职工,现采用系统抽样抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[61,120]的人数为 3 . 【考点】频率分布直方图. 【分析】根据系统抽样的特点,求出组距是20,再计算样本数据落入区间[61,120]的人数. 【解答】解:根据系统抽样的特点,得; 组距应为840÷42=20, ∴抽取的42人中,编号落入区间[61,120]的人数为 ÷20=3. 故答案为:3. 14.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= 8 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出y=x+lnx的导数,求得切线的斜率,可得切线方程,再由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,有且只有一切点,进而可联立切线与曲线方程,根据△=0得到a的值. 【解答】解:y=x+lnx的导数为y′=1+, 曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2, 则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2,即y=2x﹣1. 由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切, 故y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x﹣1, 得ax2+ax+2=0, 又a≠0,两线相切有一切点, 所以有△=a2﹣8a=0, 解得a=8. 故答案为:8. 15.已知函数f(x)=x2+mx﹣1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是 (﹣,0) . 【考点】二次函数的性质. 【分析】由条件利用二次函数的性质可得,由此求得m的范围. 【解答】解:∵二次函数f(x)=x2+mx﹣1的图象开口向上, 对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,∴, 即,解得﹣<m<0, 故答案为:(﹣,0). 16.若n是7777﹣10除以19的余数,则的展开式中的常数项为 . 【考点】二项式定理的应用. 【分析】利用二项式定理求得7777﹣10除以19的余数为n=10,再在的展开式的通项共公式中,令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项的值. 【解答】解:又由7777﹣10=(76+1)77﹣10=C7707677+C7717676+C7727675+…+C777676+1﹣10, 故7777﹣10除以19的余数为﹣9,即7777﹣10除以19的余数为10,可得n=10. ∴则=的展开式的通项共公式为Tr+1=•(﹣1) r••, 令﹣10=0,求得r=6,∴展开式中的常数项为•=, 故答案为:. 三、解答题:(本题包括6小题,17题10分,18-22题每题12分,共70分) 17.已知a∈R,命题p:“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命题q:“∃x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”. (1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围; (2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围. 【考点】复合命题的真假;命题的真假判断与应用. 【分析】(1)由于命题p:“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0”,令f(x)=x2﹣a,只要x∈[1,2]时,f(x)min≥0即可; (2)由(1)可知,当命题p为真命题时,a≤1,命题q为真命题时,△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a的取值范围.由于命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,可知:命题p与命题q必然一真一假,解出即可. 【解答】解:(1)∵命题p:“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0”,令f(x)=x2﹣a, 根据题意,只要x∈[1,2]时,f(x)min≥0即可, 也就是1﹣a≥0,解得a≤1, ∴实数a的取值范围是(﹣∞,1]; (2)由(1)可知,当命题p为真命题时,a≤1, 命题q为真命题时,△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a≤﹣2或a≥1. ∵命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题, ∴命题p与命题q必然一真一假, 当命题p为真,命题q为假时,, 当命题p为假,命题q为真时,, 综上:a>1或﹣2<a<1. 18.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有1个盒内有2个球,共有几种选法? (3)恰有2个盒不放球,共有几种放法? 【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】(1)为保证“恰有一个盒内不放球”,先选一个盒子,再将4个球分成2,1,1三组,然后全排列,由分步乘法计数原理,可得结论; (2)“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事,由此可得结论; (3)先从四个盒子中任意拿走两个,有种方法.然后问题转化为:“4个球,两个盒子,每个盒子必放球,有几种放法?”从放球数目,进行分类讨论,即可得到结论. 【解答】解:(1)为保证“恰有一个盒内不放球”,先选一个盒子,有种方法;再将4个球分成2,1,1三组,有种分法,然后全排列,由分步乘法计数原理,共有种放法,故共有=144种放法; (2)“恰有一个盒内有2个球”,即另外的三个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,即另外三个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事,共有=144种放法; (3)先从四个盒子中任意拿走两个,有种方法.然后问题转化为:“4个球,两个盒子,每个盒子必放球,有几种放法?”从放球数目看,可分为3,1和2,2两类: 第一类:可从4个球中先选3个,然后放入指定的一个盒子中即可,有种放法; 第二类:有种放法. 由分步计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有(+)=84放法. 19.设m,n∈N,f(x)=(1+x)m+(1+x)n. (1)当m=n=5时,若,求a0+a2+a4的值; (2)f(x)展开式中x的系数是9,当m,n变化时,求x2系数的最小值. 【考点】二项式系数的性质. 【分析】(1)当m=n=5时,f(x)=2(1+x)5,令x=0时,x=2时,代入相加即可得出. (2)由题意可得: =m+n=9.x2系数===+.利用二次函数的单调性即可得出. 【解答】解:(1)当m=n=5时,f(x)=2(1+x)5,令x=0时,f(0)=a5+a4+…+a1+a0=2, 令x=2时,f(0)=﹣a5+a4+…﹣a1+a0=2×35, 相加可得:a0+a2+a4==244. (2)由题意可得: =m+n=9. x2系数=====+. 又m,n∈N,∴m=4或5,其最小值为16. 即或时,x2系数的最小值为16. 20.如图所示,机器人海宝按照以下程序运行: ①从A出发到达点B或C或D,到达点B、C、D之一就停止 ②每次只向右或向下按路线运行 ③在每个路口向下的概率 ④到达P时只向下,到达Q点只向右 (1)求海宝过点从A经过M到点B的概率,求海宝过点从A经过N到点C的概率; (2)记海宝到点B、C、D的事件分别记为X=1,X=2,X=3,求随机变量X的分布列及期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;排列、组合的实际应用. 【分析】(1)由题意,向下概率为,则向右概率为1﹣=.从A过M到B,先有两次向下,再有一次向下与一次向右组合,可求其概率,同理可求海宝过点从A经过N到点C的概率; (2)求出X=1,X=2,X=3相应的概率,从而可求随机变量X的分布列及期望. 【解答】解:(1)由题意,向下概率为,则向右概率为1﹣=. 从A过M到B,先有两次向下,再有一次向下与一次向右组合,其概率为; 从A过N到C,概率为 (2)P(X=1)=()3+()2×==;P(X=2)=()2()2=;P(X=3)=()3+()2×==, ∴E(X)=+×2+×3== 21.某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时) (Ⅰ)应收集多少位女生样本数据? (Ⅱ)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率. (Ⅲ)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 【考点】独立性检验的应用;频率分布直方图. 【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图进行求解即可. (Ⅱ)由频率分布直方图先求出对应的频率,即可估计对应的概率. (Ⅲ)利用独立性检验进行求解即可. 【解答】解:(Ⅰ),所以应收集90位女生的样本数据. (Ⅱ)由频率分布直方图得1﹣2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时,又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间 不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间 超过4小时 165 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得 所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 22.已知函数f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为x﹣2y﹣2=0. (1)求a、b的值; (2)当x≥1时,f(x)+<0恒成立,求实数k的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】(1)求导数得f′(x)=+b,由导数几何意义得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=,且f(1)=,联立方程组,求出a,b的值即可. (2)由(1)知,不等式等价于lnx﹣+<0,参变分离为k<﹣xlnx,利用导数求右侧函数的最小值即可. 【解答】解:(1)∵f(x)=alnx+bx,∴f′(x)=+b. ∵直线x﹣2y﹣2=0的斜率为,且曲线y=f(x)过点(1,f(1)), ∴即, 解得a=1,b=﹣; (2)由(1)得当x>1时,f(x)+<0恒成立, 即lnx﹣+<0,等价于k<﹣xlnx. 令g(x)=﹣xlnx,则g′(x)=x﹣1﹣lnx. 令h(x)=x﹣1﹣lnx,则h′(x)=1﹣, 当x>1时,h′(x)>0,函数h(x)在(1,+∞)上单调递增,故h(x)>h(1)=0. 从而,当x>1时,g′(x)>0,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增, 故g(x)>g(1)=, 因此,当x>1时,k<﹣xlnx恒成立,则k≤ ∴k的取值范围是(﹣∞,]. 2017年1月25日查看更多