重庆市2020届高三5月调研（二诊）考试数学（文）试题（含解析）

重庆市2020届高三5月调研（二诊）考试数学（文）试题（含解析）

5 月调研测试卷（文科数学）第 1页 共 8 页 2 0( )P K k≥ 0.050 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 6.635 7.879 10.828 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 5 月调研测试卷 文科数学 文科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1． 已知集合 {2 3 5 7}A  ， ， ， ， 2{ | log ( 2) 1}B x x   ，则 A B  A．{2} B．{3} C．{2 3}， D．{3 5}， 2． 若复数 z 满足 ( i)i 2 iz    ，则| |z  A． 2 B． 2 C． 10 D．10 3． 两条平行直线3 4 12 0x y   与 8 11 0ax y   之间的距离为 A． 23 10 B． 7 2 C． 23 5 D． 7 4． 下列说法正确的是 A．“若 2a  ，则 2 4a  ”的否命题为“若 2a  ，则 2 4a ≤ ” B．命题 p q 与 ( )p q  至少有一个为真命题 C．“ 20 2 2 0x x x   ， ≥ ”的否定为“ 20 2 2 0x x x    ， ” D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题 5． 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了 100 位英语学习者进行调查，经 过计算 2K 的观测值为 7 ，根据这一数据分析，下列说法正确的是 附： A．有 99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关 B．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关 C．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关 D．在犯错误的概率不超过1% 的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 6． 斐波那契数列，指的是这样一个数列：1 1 2 3 5 8 13 21 ， ， ， ， ， ， ， ， ，在数学上，斐波那契数列{ }na 定义如 下： 1 2 1 21 ( 3 )n n na a a a a n n Z     ， ≥ ， ．随着 n 的增大， 1 n n a a  越来越逼近黄金分割 5 1 0.6182   ， 故此数列也称黄金分割数列，而以 1na  、 na 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形” 5 月调研测试卷（文科数学）第 2页 共 8 页 的面积约为336 平方分米，则该长方形的长应该是 A．144厘米 B． 233厘米 C． 250 厘米 D．377 厘米 7． 已知 0a b ， ， 2 2a b  ，则 1b a b  的取值范围是 A． (0 ) ， B．[2 ) ， C．[ 2 1 )  ， D．[2 2 ) ， 8． 如图，AB 为半圆O 的直径，在弧 AB 上随机取一点 P ，记 PAB 与半圆的面积之比为  ，则 1 2( )    ， 的概率为 A． 1 12 B． 1 6 C． 1 3 D． 1 4 9． 函数 | |e x xy  的部分图象是 10．定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足： 3 3( ) ( )4 4f x f x   ，且当 3(0 )4x ， 时， 2( ) log ( 1)f x x m   ，若 2(100) log 3f  ，则实数 m 的值为 A． 2 B．1 C． 0 D． 1 11．在锐角 ABC 中，角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ， 2 2 29 9 19a b c  ，则 tan tan tan (tan tan ) A B C A B  A． 4 9 B． 5 9 C． 2 3 D． 7 9 12．若曲线 2cosy ax x  上存在两条切线相互垂直，则实数 a 的取值范围是 A．[ 3 3] ， B．[ 1 1] ， C． ( 1]， D．[ 3 1] ， 13．已知向量 (2 )a m ， ， (1 2)a b   ， ，若 // ( 3 )a a b   ，则实数 m  ． 14．已知某几何体的三视图如右图所示，网格中的每个小方格是边长 为1的正方形，则该几何体的体积为 ． 15．已知公差不为 0 的等差数列{ }na 中， 2 4 8a a a， ， 依次成等比数列， 若 1 23 6 nb b ba a a a a ， ， ， ， ， ， 成等比数列，则 5b  ． O x y O x y O x y O x y A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分橙子辅导 5 月调研测试卷（文科数学）第 3页 共 8 页 16．已知抛物线 2: 2 ( 0)E y px p  的焦点为 F ，以 F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线 E 于 P Q， 两点，以线 段 PF 为直径的圆经过点 (0 1)， ，则点 F 到直线 PQ 的距离为 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必 已知函数 2( ) cos( 2 ) 2 3 cos 32f x x x    ． （1）求函数 ( )f x 的单调性； （2）在 ABC 中，角 A B C， ， 的对边分别为a b c， ， ，且 ( ) 32 Af  ， 3a  ， 1c  ，求 ABC 的面积． 18．（12 分） 今年 2 月份，我国武汉地区爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，全国各大医药厂商纷纷加紧生产口罩. 某医疗器械生产工厂为了解目前的生产力，统计了每个工人每小时生产的口罩数量（单位：箱），得到如图所示 的频率分布直方图，其中每个工人每小时的产量均落在区间[10 70]， 内，数据分组为[10 20)， 、[20 30)， 、 [30 40)， 、[40 50)， 、[50 60)， 、[60 70]， ，已知前三组的频率成等差数列，第三组、第四组、第五组的频率 成等比数列，最后一组的频率为 1 15 ． （1）求实数 a 的值； （2）在最后三组中采用分层抽样的方法随机抽取了 6 人， 现从这 6 人中随机抽出两人对其它小组的工人进行 生产指导，求这两人来自同一小组的概率． 19．（12 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA  底面 ABC ， 190 2ABC AB BC AA    ， ， D E， 分别为 1BB 、 1AC 的中点． （1）证明： DE  平面 1 1ACC A ； （2）求点 E 到平面 ACD 的距离． 须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答橙子辅导 。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 5 月调研测试卷（文科数学）第 4页 共 8 页 20．（12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1 2F F、 ，点 2( 1 )2P  ， 在椭圆C 上，且 2 3 2| | 2PF  ． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点 2F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A B， 两点， M 为线段 AB 的中点，若椭圆 C 上存在点 N ，满足 3ON OM  （O 为坐标原点），求直线l 的方程． 21．（12 分） 已知函数 2( ) 2 ln 1f x ax ax x a R    ， ． （1）当 1 4a  时，求 ( )f x 的单调区间及极值； （2）若 a 为整数，且不等式 ( )f x x≥ 对任意 (0 )x  ， 恒成立，求 a 的最小值． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2cos 3 2sin x y        （ 为参数），以原点 O 为极点， x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 (4sin 3cos ) a    ，且直线 l 与曲线C 有两个不同的交点． （1）求实数 a 的取值范围； （2）已知 M 为曲线 C 上一点，且曲线C 在点 M 处的切线与直线 l 垂直，求点 M 的直角坐标． 23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) 2| | | 2|f x x x   的最小值为 m ． （1）求 m 的值； （2）若实数 a b， 满足 2 2a b m  ，求 2 2 1 1 1 2a b   的最小值． 5 月调研测试卷（文科数学）第 5页 共 8 页 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 5 月调研测试卷 文科数学 参考答案 一、选择题 1～6 BCBBDB 7～12 CBABBA 第 7 题提示：由题知， 2 1 2 1 2 12 2 2 b a b b a b a a b a b a b        ≥ ，当且仅当 2 b a a b  即 2 2 2 2 2a b   ， 时等号成立，故选 C． 第 8 题提示：不妨设 2AB  ，则 2sin cos 2     1 2( )  ， ， 1 2sin 2 ( )2 2   ， ， 故 3 5( ) ( )6 4 4 6      ， ， ，故 16 6P    ，故选 B． 第 9 题提示：由 | |x xy e  为奇函数可排除 C 选项，当 0x  时， 1 x xy e   ，故 x xy e  在 (0 1)， 上单增，(1 ) ， 上单减，故选 A. 第 10 题提示：由 ( )f x 为奇函数知 3 3( ) ( )4 4f x f x    ， 3 3( ) ( )4 4f x f x     ，即 3( ) ( )2f x f x   ， 3( 3) ( ) ( )2f x f x f x      ， ( )f x 是周期为 3 的周期函数， 故 2 1 3(100) (1) ( ) log2 2f f f m    ，即 2 2 3log log 32 m  ， 1m  ，故选 B． 第 11 题提示：原式 2 2 sin sin sin sin cos sin sin cos coscos cos sin sin sin sin sin( ) sin( )cos cos cos A B A B C A B C ab CA B C A B C A B C c C A B      ， 又 2 2 29 9 19a b c  ， 2 2 2 2102 cos 9ab C a b c c     ，故原式 5 9  ，故选 B． 第 12 题提示： 2sin [ 2 2]y a x a a     ， ，由题知在区间 [ 2 2]a a ， 内存在两数之积为 1 ，故只需 ( 2)( 2) 1a a  ≤ ，即 3 3a- ≤ ≤ ，故选 A． 二、填空题 13． 4 14． 945 2  15．192 16． 4 5 5 第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个 1 8 球， 如图所示， 31 4 93 3 5 3 458 3 2V           ． 第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 2 4 4 4( 2 )( 4 )a a d a d   ， 即 4 4a d ，故 1a d ， na nd  ， 3 63 6a d a d ， ， 故此等比数列首项为3d 、公比为 2 ， 5 月调研测试卷（文科数学）第 6页 共 8 页 因此 5 63 2 192ba d d   ，故 5 192b  ． 第 16 题提示：由题知| | 32P pFP x p   ， 5 2Px p  ，设点 (0 1)A ， ，由题知 AP AF ， 即 11 = 15 2 2 Py p p  - ， 5Py p - ， 2 5 5p  ，故所求距离为 5 4 5 2 2 5 p p  ． 三、解答题 17．（12 分） 解：（1） ( ) sin 2 3(1 cos2 ) 3 2sin(2 )3f x x x x       ， ……2 分 由 2 2 22 3 2k x k     ≤ ≤ 得 5 12 12k x k   ≤ ≤ ， ……4 分 故 ( )f x 在 5[ ]12 12k k   ， 上单增，在 5 11[ ]12 12k k   ， 上单减， k Z ；……6 分 （2） ( ) 2sin( ) 32 3 Af A    ，则 3sin( )3 2A   ， (0 )A  ， ， 3 3A     ，即 2 3A  ，…8 分 由正弦定理得 1 3 sin 3 2 C  ， 1sin 2C  ， 6C   ，故 6B  ， 1 3sin2 4ABCS ac B   . ……12 分 18．（12 分） 解：（1）由题知，第二、四组的频率均为 0.2 ，第三组频率为10a ，则第五组的频率为 1 21 3 0.2 0.2 15 15      ， 故 2 20.2 10 15a  ，解得 0.03a  ； ……6 分 （2）由（1）知最后三组的频率分别为 1 2 1 5 15 15 ， ， ，故所抽取的 6 人中最后三组分别有 3 人、 2 人、1人， 从中随机抽出 2 人，有 15 种不同结果，其中两人来自同一组的结果有 4 种，所求概率为 4 15 . …12 分 19．（12 分） 解：（1）取 AC 的中点 F ，连接 BF EF， ，则 1/ /EF AA 且 1 1 2EF AA ， / /EF DB 且 EF DB ，故 / /DE BF ， 由 ABC 为等腰三角形知 BF AC ， 又 1AA  面 ABC ， 1A A BF  ， BF  面 1 1ACC A ， DE  平面 1 1ACC A ；……6 分 （2） 5AD CD  ， 2 2AC  ， 6ACDS  ， 2ACES  ， 2DE BF  ， 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h ，由 E ACD D ACEV V  得 1 16 2 23 3h     ， 6 3h  ，即点 E 到平面 ACD 的距离为 6 3 . ……12 分 1B1A C BA E D 1C F 5 月调研测试卷（文科数学）第 7页 共 8 页 20．（12 分） 解：（1）由题知 2 2 1 3 2| | ( 1) 2 2PF c    ，故 1c  ，又 2 2 1 1 12a b   ， 2 2a  ， 2 1b  ， 所以椭圆C 的方程为 2 2 12 x y  ； ……4 分 （2）设 1 1 2 2 0 0( ) ( ) ( )A x y B x y M x y， ， ， ， ， ，则 2 21 1 12 x y  ， 2 22 2 12 x y  ， 相减得 1 2 1 2( ) 02 AB x x y y k     ，由（1）知 2 (1 0)F ， ，故 0 0 0 0 02 1 x yy x    ， 即 2 2 0 0 02 0x x y   ①， ……7 分 由 3ON OM  得 0 0(3 3 )N x y， ，由点 N 在椭圆C 上得 2 20 0 9 9 12 x y  ②， 由①②得 0 0 2 7 9 9x y  ， ……10 分 7 9: ( 1)2 19 l y x      即 7 ( 1)7y x   . ……12 分 21．（12 分） 解：（1） 21 1( ) ln 14 2f x x x x    ， 1 1 1 ( 1)( 2)( ) 2 2 2 x xf x x x x       （ 0x  ）， ( ) 0 1f x x    ，故 ( )f x 在 (0 1)， 上单减，在 (1 ) ， 上单增， ( )f x 在 1x  处取得极小值 1 4  ，无极大值；…4 分 （2） 2( ) (2 1) ln 1 0f x x ax a x x    ≥ ≥ ，设 2( ) (2 1) ln 1g x ax a x x     ， ( ) 0g x ≥ 在 (0 )x  ， 上恒成立， (1) 3 2 0g a   ≥ ，即 2 3a≥ ， 1 (2 1)( 1)( ) 2 (2 1) ax xg x ax a x x        ， 故 ( )g x 在 1(0 )2a ， 上单减，在 1( )2a  ， 上单增， 1 1 1( ) ( ) ln2 4 2g x g a a a    ≥ ， ……8 分 由题得 1 1ln 04 2a a   ≥ ，即 1ln 2 04a a  ≥ ，设 1( ) ln 2h x x x   ，则 2 1 1( ) 02h x x x     ， ( )h x 单增，又 1(1) 02h    ， 1(2) ln 2 04h    ，则存在 0 (1 2)x  ， 使得 0( ) 0h x  ，故 0(2 ) 0 2h a a x≥ ≥ ，即 0 1 2a x≥ ，所以整数 a 的最小值为1. ……12 分 22．（10 分） 解：（1）曲线C 的普通方程为 2 2( 2) ( 3) 4x y    ，直线l 的直角坐标方程为 4 3y x a  ，由直线l 与圆C 有 两个交点知 | 6 12 | 25 a   ，解得8 28a  ； ……5 分 （2）设圆C 的圆心为 1O ，由圆C 的参数方程可设点 0 0(2 2cos 3 2sin )M   ， ，由题知 1 / /O M l ， 0 0 4 3cos sin5 5     ， ，或 0 0 4 3cos sin5 5    ， ，故点 2 21( )5 5M ， ，或 18 9( )5 5 ， . ……10 分 5 月调研测试卷（文科数学）第 8页 共 8 页 23．（10 分） 解：（1） ( ) | | | | | 2 | | | | ( 2) | | | 2 2f x x x x x x x x        ≥ ≥ ，当且仅当 0x  时等号成立， 故 2m  ； ……5 分 （2） 2 2 2a b  ，由柯西不等式得 2 2 2 2 2 1 1( )(1 2 ) (1 1)1 2 a ba b       ≥ ， 当且仅当 2 23 1 2 2a b ， 时等号成立， 2 2 2 2 1 1 4 4 1 2 3 5a b a b       ≥ ， 故 2 2 1 1 1 2a b   的最小值为 4 5 . ……10 分