陕西省宝鸡市金台区宝鸡中学2020届高三上学期10月月考数学试题

陕西省宝鸡市金台区宝鸡中学2020届高三上学期10月月考数学试题

‎2020届宝鸡中学高三月考理科数学 一、选择题：（共12小题，每题5分，共计60分）‎ ‎1.设集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合，再利用交集的定义可得出.‎ ‎【详解】解不等式，得或，或，‎ 因此，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查交集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎2.若复数满足，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，然后利用复数的除法法则可得出复数.‎ ‎【详解】，，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法法则，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.命题“若，则且”的否命题为（ ）‎ A. 若，则且 B. 若，则且 C. 若，则或 D. 若，则或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原命题与否命题之间的关系可得出正确选项.‎ ‎【详解】由题意知，命题“若，则且”的否命题为“若，则或”，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查否命题的改写，要弄清原命题与否命题之间的关系，同时要注意“”的否定为“”，属于基础题.‎ ‎4.若偶函数在上为增函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶函数的定义得出，然后利用函数在上的单调性可比较、、的大小关系.‎ ‎【详解】函数为偶函数，则，且该函数在上为增函数，‎ 则，即，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小关系，解题时应将自变量置于同一单调区间，再结合函数的单调性来比较大小，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎5.已知等比数列的公比为，那么“，”是为递增数列的（ ）‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定义得出等比数列为递增数列的等价条件，由此可判断出“，”与“为递增数列”的充分必要性关系.‎ ‎【详解】若，则等比数列为摆动数列，由于等比数列为递增数列，则.‎ 若，则，由得，；‎ 若，则，由得，.‎ 所以，等比数列为递增数列，或，.‎ 因此，“，”是为递增数列的充分不必要条件，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查等比数列的单调性，在判断时，可结合定义，也可以找特殊数列来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出几何体的直观图，可知该几何体是在一个直三棱柱中截去了一个直三棱锥后形成的几何体，然后利用柱体的体积减去锥体的体积即可得出结果.‎ ‎【详解】几何体的直观图如下图所示：‎ 可知该几何体是在一个直三棱柱中截去了一个直三棱锥后形成的几何体，‎ 直三棱柱底面为直角三角形，底面积为，三棱柱的体积为，直三棱锥的底面积与直三棱柱的底面积相等，高为，三棱锥的体积为，因此，该几何体的体积为，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的直观图还原，分析几何体的结构，然后再利用简单几何体的体积进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.‎ ‎7.在等差数列中，，则的前项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质得出的值，再利用等差数列的前项和公式即可求出等差数列的前项和.‎ ‎【详解】由等差数列的性质可得，由等差数列的前 项和公式可知，等差数列的前项和为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质的应用，同时也考查了等差数列前项和公式的应用，灵活利用等差数列的基本性质进行计算，可简化计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8.在直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出和所成角的余弦值，可得出异面直线与所成角.‎ ‎【详解】，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、，，，‎ 所以，，‎ 因此，异面直线与所成角为，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，建立空间直角坐标，利用空间向量法进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9.若函数，则的递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用两角差的余弦公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，然后解不等式可得出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】，‎ 解不等式，得，‎ 因此，函数的单调递增区间为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，并结合正弦函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.在中，，，，为边上一点，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将和利用基底、表示，然后利用平面向量数量积的定义和运算律计算出的值.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 由平面向量数量积的定义可得，‎ ‎，，‎ 因此，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查图形中向量数量积的计算，选择合适的基底，并利用基底表示问题涉及的向量，并利用平面向量数量积的定义和运算律计算是解题的关键，也可以建系，利用坐标法来计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎11.已知椭圆的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆交圆于、两点，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件可得出点的坐标为，再将点的坐标代入圆的方程，可得出与的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.‎ ‎【详解】如下图所示，设点为两圆在第一象限的交点，设的中点为点，由于两圆均关于轴对称，则两圆的交点、也关于轴对称，又，则为圆的一条直径，由下图可知，轴，所以点的坐标为，‎ 将点的坐标代入圆得，可得，‎ 所以，，因此，椭圆的离心率为，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出、、‎ 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，都有，则实数的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，由是奇函数，可作出的图像，如下图所示,又因为，，所以的图像恒在图像的下方，即将的图像往右平移一个单位后恒在图像的下方，所以，解得．故选B．‎ 考点：函数的性质 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若集合，，，则实数的取值为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得出，可得出关于的方程，求出的值，再将的值代入集合，把不满足互异性的的值舍去，即可求出实数的值.‎ ‎【详解】，，或，解得或或.‎ 当时，，满足互异性；当时，集合、都不满足互异性；‎ 当时，，满足互异性.‎ 综上所述：或.‎ ‎【点睛】本题考查利用交集的运算结果求参数的值，在处理有限集时，还应注意元素要满足互异性，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.如果函数定义域为，则函数的定义域为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得出，然后解不等式，即可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】对于函数，该函数定义域为，即，得.‎ 对于函数，则有，解得.‎ 因此，函数的定义域为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，需要注意以下两个问题：‎ ‎（1）函数的定义域为自变量的取值范围；‎ ‎（2）求解抽象函数的定义域要注意中间变量的取值范围要一致.‎ 由此列不等式进行求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.已知三个不同平面、、和直线，下面有四个命题：‎ ‎①若，，，则；‎ ‎②直线上有两点到平面的距离相等，则；‎ ‎③，，则；‎ ‎④若直线不在平面内，，，则.‎ 则正确命题的序号为__________．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用面面垂直的性质定理和线面平行的性质定理判断出命题①的正误；判断出直线与的位置关系，可判断出命题②的正误；利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理判断出命题③的正误；判断出直线与平面的位置关系，可判断出命题④的正误.‎ ‎【详解】对于命题①，若，则存在异于直线的直线，当垂直于平面与的交线时，，又，则，，且，，，命题①正确；‎ 对于命题②，直线上有两点到平面的距离相等，则与平行或相交，命题②错误；‎ 对于命题③，过直线作平面，使得，，由直线与平面平行的性质定理可知，，，又，，命题③正确；‎ 对于命题④，若直线不在平面内，，，则或，命题④错误.‎ 因此，正确命题的序号为①③.‎ 故答案为：①③.‎ ‎【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系有关命题正误的判断，在判断时可充分利用线面、面面平行与垂直的判定和性质定理进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎16.设函数，若对所有都有，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设，变形后得出，利用辅助角公式得出 ‎，得出，由此可得出关于的不等式，求出的取值范围，得出的最大值，可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】设，则有，即，‎ 由辅助角公式可得，其中，.‎ ‎，由，得，解得，‎ 函数的最大值为，则有，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用正、余弦型函数的有界性求函数的值域，同时也考查了辅助角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中，角、、的对应边分别为、、，且满足，的面积为，.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）求边长、.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理可求出的值，然后结合角的取值范围可得出角的值；‎ ‎（2）由三角形的面积公式求出，再结合等式可得出、的值.‎ ‎【详解】（1），，由余弦定理得，‎ ‎，；‎ ‎（2）由三角形的面积公式可得，.‎ 由题意可得，解得或.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，解题时要结合三角形已知元素类型选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎18.已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由计算出的值，再令，由求出，再验证是否满足，即可得出数列的通项公式；‎ ‎（2）将数列的通项裂项为，然后利用裂项求和法求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）对任意的，.‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 适合，所以，；‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查由求数列通项，一般利用公式，但要对是否满足进行检验，同时也考查了裂项求和法，要熟悉这种求和方法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.已知函数 ‎（1）若，求的单调区间和极值点；‎ ‎（2）若在单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为，极小值点为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后解导数方程，并列表分析的符号和的增减性，可得出函数的单调区间与极值点；‎ ‎（2）求出函数的导数为，由题意得出对任意的恒成立，然后利用参变量分离法得出，然后利用单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，定义域为，‎ ‎，令，得或（舍去）.‎ 列表如下：‎ 极小 因此，函数的单调减区间为，单调增区间为，极小值点为；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 由题意知，不等式对任意的恒成立，得，‎ 构造函数，其中，则，‎ 所有，函数在上为减函数，则，‎ ‎，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与极值点，同时也考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在某区间上恒成立，利用分类讨论思想和参变量分离法求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，，为棱的中点，为棱的动点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求点的位置.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）点为线段的中点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分析出是等边三角形，由三线合一得出，由，由，由底面，可得出，然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；‎ ‎（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，计算出平面和平面的法向量、，由计算出实数的值，即可确定点的位置.‎ ‎【详解】（1）如下图所示，由于四边形是菱形，则，‎ 又，是等边三角形，为的中点，，‎ ‎，.‎ 底面，平面，，‎ ‎，、平面，平面；‎ ‎（2）由（1）知，，且底面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 则点、、、，设，‎ 则，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，即，得，‎ 取，则，，则平面的一个法向量为.‎ 同理可得平面的一个法向量为，‎ 由题意可得，解得.‎ 因此，当点为线段的中点时，二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查二面角中的动点问题，掌握直线与平面垂直的判定方法，以及正确运用向量法求空间角是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上异于长轴端点的点，且的最大面积为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程 ‎（2）若直线是过点点的直线，且与椭圆交于不同的点、，是否存在直线 使得点、到直线，的距离、，满足恒成立，若存在，求的值，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意列出有关、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，并列出韦达定理，由，得出，通过化简计算并代入韦达定理计算出的值，即可得出直线的方程，即可说明直线的存在性.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的焦距为，且的最大面积为，则，‎ 由已知条件得，解得，因此，椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，‎ 将直线的方程与椭圆方程联立，消去并整理得，‎ ‎，‎ 由韦达定理得，.‎ ‎，即，即，‎ 整理得；‎ 当直线与轴重合时，则直线与椭圆的交点为左、右顶点，设点、，‎ ‎，，由，得，解得.‎ 综上所述，存在直线，使得.‎ ‎【点睛】本题考查利用、、求椭圆方程，同时也考查了椭圆中存在定直线问题，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎22.已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）在方程两边同乘以极径可得，再根据，代入整理即得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到的值.‎ 试题解析：（1）等价于①‎ 将代入①既得曲线C的直角坐标方程为 ‎，②‎ ‎（2）将代入②得，‎ 设这个方程的两个实根分别为 则由参数t 的几何意义既知，.‎ 考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.‎ ‎ ‎