2012高中数学 3_2第2课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第3章 3.2 第2课时 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，则(　　)‎ A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直　　　 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 解析：　∵a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，‎ a·c＝(4，－1,0)·( －3,12，－9)＝－12－12＝－24≠0.‎ b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，‎ ‎∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.‎ ‎∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.‎ 答案：　A ‎2．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)‎ A．－3或1 B．3或－1‎ C．－3 D．1‎ 解析：　|a|＝＝6，‎ ‎∴x＝±4，‎ 又∵a⊥b，‎ ‎∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，‎ ‎∴y＝－1－x，‎ ‎∴当x＝4时，y＝－3，‎ 当x＝－4时，y＝1，‎ ‎∴x＋y＝1或－3.‎ 答案：　A ‎3．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，若E为A‎1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)‎ A．AC B．BD C．A1D D．A‎1A 解析：　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，‎ 则C(0,2,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，E(1,1,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)＝(1，－1,2)，＝(－2,2,0)＝(2,2,0)，＝(2,0,2)，＝(0,0,2).·＝－2－2＋0＝－4≠0，‎ ‎∴CE与AC不垂直，·＝1×2＋(－1)×2＋2×0＝0，‎ ‎∴CE⊥BD.故选B.‎ 答案：　B ‎4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)‎ A．(1，－1,1) B. C. D. 解析：　要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即·n是否为0即可，‎ 因此，要对各个选项进行逐个检验．‎ 对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)‎ ‎＝5≠0，故排除A；‎ 对于选项B，＝，‎ 则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确，‎ 同理可排除C，D.故选B.‎ 答案：　B 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA和AC的中点，则平面BEF与平面BDG的位置关系是________．‎ 解析：　由AB＝BC，G是AC中点得 BG⊥AC 由CD＝DA，G是AC中点得DG⊥AC ‎∴AC⊥平面GBD 又EF∥AC，∴EF⊥平面GBD ‎∴平面BEF⊥平面BDG 答案：　垂直 ‎6.已知正四棱锥(如图)，在向量－＋－，＋，＋，＋＋＋中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是________．‎ 解析：　－＋－＝＋－＝－＝0，‎ 而＋＝2，又⊥面ABCD知可以，‎ 同样＋也可以，＋＋＋＝4当然也可以．‎ 答案：　－＋－ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．‎ 证明：CM⊥SN.‎ 证明：　设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．‎ 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，‎ M，N，S.‎ ‎(1)＝，‎ ＝，‎ 因为·＝－＋＋0＝0，‎ 所以CM⊥SN.‎ ‎8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．‎ ‎(1)证明：CD⊥AE；‎ ‎(2)证明：PD⊥平面ABE.‎ 证明：　以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，‎ 则AC＝1，CD＝，AD＝＝ A(0,0,0)；B(1,0,0)；C；D P(0,0,1)；E；＝；‎ ＝ ‎(1)∵·＝＝－＋＝0‎ ‎∴⊥ ‎(2)∵·＝0‎ ·＝＝0‎ ‎∴PD⊥AB，PD⊥AE 又AB∩AE＝A ‎∴PD⊥平面ABE.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.‎ 解析：　如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系．‎ 设正方体的棱长为1，‎ 则E，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，C(0,1,0)．‎ 设＝λ＝λ(0,0,1)＝(0,0，λ)，＝，＝(0,1,1)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面C1DE的法向量，‎ 则，∴.‎ 令x＝2，得y＝－1，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．‎ ＝(0,1,0)，＝－＝(0,0，λ)－(1,0,1)＝(－1,0，λ－1)．‎ 设m＝(x′，y′，z′)是平面A1B1P的法向量，‎ 则，∴.‎ 令z′＝1，则x′＝λ－1，‎ ‎∴m＝(λ－1,0,1)，‎ 要使平面A1B1P⊥平面C1DE，只须使n·m＝0，‎ ‎∴2(λ－1)＋1＝0.∴λ＝.‎ ‎∴点P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.‎ ‎ ‎