2018-2019学年青海省西宁市第四高级中学高二上学期期末考试数学试题 Word版
西宁市第四高级中学2018-19学年第一学期期末试卷
高 二 数 学
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．6 B．8 C．9 D．10
4．过点P(4，－1)，且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是( )
A．4x＋3y－19＝0 B．4x＋3y－13＝0
C．3x＋4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0
5．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是( )
A．3x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
6．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A． 2 B．2 C． D．1
7．已知S，A，B，C是球O表面上的点，若SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积为( )
A．4π B．3π C．2π D．π
8．“－3
b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
11．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A． B． C． D．2
12．已知点A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为( )
A．(0,0) B．(1，－2) C．(2，－4) D．(，－2)
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应位置上）
13．过点M(3,2)作圆O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线方程是________________．
14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为______________．
15．已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则直线l的方程______________
16．已知命题p：不等式<0的解集为{x|0B”是“sin A>
sin B”成立的必要不充分条件．有下列四个结论；①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是________
三、 解答题（本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18． 已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
19．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·．
20．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
21．（文科做）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．（
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．
21. （理科做）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，
PA⊥底 面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点．
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求AC与PB的夹角的余弦值；
(3)求二面角A－MC－B的余弦值．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2．以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1， P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点M．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求△ABM面积的最大值．
高二期末数学参考答案
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
CDBBD AABCB AD
二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）
13 y＝2或5x－12y＋9＝0
14. 1＋＝1
15 x＋2y－8＝0. 16 ①③
三、解答题（共44分，解题必须有详细的解题过程）
17．由q：x2－2x＋1－m2≤0，m>0，
得1－m≤x≤1＋m，
∴綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}.
由≤2，解得－2≤x≤10，
∴綈p：B＝{x|x>10或x<－2}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件.
∴AB，∴或
即m≥9或m>9，∴实数m的取值范围是m≥9.
18, 设圆C的半径长为r，
则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，
两圆的方程相减，得
公共弦所在的直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0.
因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，
则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
19．解 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
把(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，
∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)知双曲线方程为x2－y2＝6，
∴双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．
∵点M在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3.
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.
20．解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝，
又F.
所以直线l的方程为
y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p.
∴|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
21．1)证明 连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点.
又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)解 因为ABCA1B1C1是直三棱柱，
所以AA1⊥CD.
由已知AC＝CB，D为AB的中点，
所以CD⊥AB.
又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得
∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.
所以V三棱锥CA1DE＝××××＝1
21.证明 (1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，
AD⊄平面PBC，
∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵AD∥BC，∴MN∥BC.
又∵N为PB的中点，∴M为PC的中点，
∴MN＝BC.
∵E为AD的中点，DE＝AD＝BC＝MN，
∴DE綊MN，∴四边形DENM为平行四边形，
∴EN∥DM.又∵EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，
∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB.∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥PB.
又∵PA＝AB，且N为PB的中点，∴AN⊥PB.
∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.
22.解 (1)由题意知，2a＝4，则a＝2，
又＝，a2－c2＝b2，
可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
(ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ，
由题意知，M(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，
又＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2.
(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①
因为x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|x1－x2|＝.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|
＝
＝＝2.
设＝t，则t>0.
将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知0＜t≤1，
因此S＝2＝2，
故S≤2，
当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.
由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，
所以△ABQ面积的最大值为6.
