广东省梅州市2020届高三上学期9月第一次质量检测数学(理)试题

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文档介绍

广东省梅州市2020届高三上学期9月第一次质量检测数学(理)试题

‎2019-2020学年第一学期高三第一次质检 理科数学试卷 一.选择题(60分)‎ ‎1.已知集合,,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出集合和,由此能求出.‎ ‎【详解】集合,集合,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查交集的运算和不等式的解法,属于基础题.‎ ‎2.已知,,是关于的方程的一个根,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是关于的方程的一个根,代入方程化简得,根据复数相等的充要条件,列出方程组,即可求解.‎ ‎【详解】依题意,复数是关于方程的一个根,‎ 可得,即:,‎ 所以,解得,所以,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数方程的应用,以及复数相等的充要条件的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎3.已知,,,则,,的大小关系为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的单调性,分别求得的范围,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,根据对数的单调性,可得,即,‎ ‎,即,,即,‎ 所以,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用,其中解答中熟记对数函数的单调性,合理求解得范围是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎4.函数的图象大致为()‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式,得到,所以函数为偶函数,图象关于对称,排除B、C;再由函数的单调性,排除A,即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意,函数,可得,‎ 即,所以函数为偶函数,图象关于对称,排除B、C;‎ 当时,,则>0,‎ 所以函数在上递增,排除A,‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用,其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性,进行合理排除是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.‎ ‎5.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由一个半圆和一个四分之一圆构成,两个阴影部分分别标记为和.在此图内任取一点,此点取自区域的概率记为,取自区域的概率记为,则()‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小关系与半径长度有关 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆的面积公式和扇形的面积公式,分别求得阴影部分的面积,得到阴影部分 的面积=阴影部分的面积,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,设四分之一圆的半径为,则半圆的半径为,‎ 阴影部分的面积为,空白部分的面积为,‎ 阴影部分M的面积为:,‎ 阴影部分的面积=阴影部分的面积,所以,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何概型的应用,其中解答中认真审题,正确求解阴影部分的面积是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎6.下图是判断输入年份是否是闰年的程序框图,若先后输入,,则输出的结果分别是(注:表示除以的余数)()‎ A. 是闰年,是闰年 B. 是闰年,是平年 C. 是平年,是闰年 D. 是平年,是平年 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由给定的条件分支结构的程序框图,根据判断条件,准确计算,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,输入时,,‎ 输出是平年,‎ 输入时,‎ 输出是润年,‎ 故选 ‎【点睛】本题主要考查了条件分支结构的程序框图的计算结果的输出,其中解答中根据条件分支结构的程序框图,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎7.若,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的诱导公式,求得,再由余弦的倍角公式,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由三角函数的诱导公式,可得,‎ 又由余弦的倍角公式,可得,‎ 所以,故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值,其中解答中熟练应用三角函数的基本公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎8.已知等差数列的公差不为零,其前项和为,若,,成等比数列,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,得,利用等差数列的求和公式,列出方程求得,即可求解的值,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,知,,成等比数列,所以,‎ 即,‎ 整理得,所以,解得,‎ 所以=,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比中项公式,以及等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n项和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎9.双曲线的右焦点为,点为的一条渐近线上的点,为坐标原点,若,则的最小值为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的一条渐近线为,由,得到点的坐标为,利用三角形的面积公式和基本不等式,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,双曲线的一条渐近线为,设,‎ 因为,可得点的横坐标为,‎ 代入渐近线,可得,所以点的坐标为,‎ 所以,‎ 当且仅当时,即时,等号成立,即的最小值为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用,其中解答中熟记双曲线的几何性质,利用基本不等式准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎10.已知函数,则( )‎ A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减,在 上单调递增 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中的函数的解析式,分析函数的单调性和奇偶性,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,函数,可得,解得,‎ 令,‎ 故在为单调递增函数,所以函数在为单调递增函数,‎ 可排除C、B、D项,‎ 又由,满足,‎ 所以函数的图象关于点对称,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域,函数的单调性,以及函数的对称性的应用,其中解答中熟记函数的基本性质,合理运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.‎ ‎11.已知函数的图像的一条对称轴为直线,且,则的最小值为( )‎ A. B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用辅助角公式,化简函数的解析式,由对称轴的方程,求得的值,得出函数的解析式,集合正弦函数的最值,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,函数为辅助角,‎ 由于函数的对称轴的方程为,且,‎ 即,解得,所以,‎ 又由,所以函数必须取得最大值和最小值,‎ 所以可设,,‎ 所以,‎ 当时,的最小值,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质,其中解答中利用三角恒等变换的公式,化简函数的解析式,合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.‎ ‎12.设是定义在上的偶函数,,都有,且当时,,若函数(,)在区间内恰有三个不同零点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由得函数的图象关于直线对称,又是偶函数,即图象关于直线对称,因此它还是周期函数,且周期为,函数的零点个数就是函数与曲线的图象交点的个数,如图由奇偶性和周期性作出的图象,作出的图象,由图象知,两图象只有三个交点,则有或,解得或.故选C.‎ 考点:函数的零点.‎ ‎【名师点睛】本题考查函数零点,函数的零点,就是方程的解,也是函数的图象与轴交点的横坐标,它们个数是相同的,因此有解决零点个数问题时,常常进行这方面的转化,把函数零点转化为函数图象交点.在转化时在注意较复杂的函数是确定的(没有参数),变化的是比较简单的函数,如基本初等函数,大多数时候是直线,这样变化规律比较明显,易于观察得出结论.本题解法是数形结合思想的应用.‎ 二、填空题(共20分)‎ ‎13.若满足约束条件,则最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出约束条件表示的平面区域,结合图象,确定目标函数的最优解,代入目标函数,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,‎ 目标函数可化为直线,当直线过点C 时,此时目标函数取得最大值,‎ 又由,解得,即,‎ 所以目标函数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎14.已知是夹角为的两个单位向量,,则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的数量积的运算公式,准确运算,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由向量的数量积的运算公式,可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎15.已知函数,若在上恰有个极值点,则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的图象与性质,求得函数的极值点为,再由在上恰有个极值点,得到,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,令,即,‎ 解得,‎ 所以函数的极值点为,‎ 又在上恰有个极值点,‎ 所以这三个极值点只能是在,‎ 所以有,解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角还函数的图象与性质的应用,以及函数极值点的定义的应用,其中解答熟练应用三角函数的图象与性质,得到关于实数的不等式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.‎ ‎16.在三棱锥中,,,,点到底面的距离为,则三棱锥的外接球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,可知为三棱锥的外接球的一条直径,过点作平面,可知为外接圆的一条直径,计算出的长度,再利用勾股定理计算出的长度,即可得出该球的直径,再利用球体表面积公式可得出结果.‎ ‎【详解】设的中点为点,,,‎ 为三棱锥的外接球的一条直径,‎ 过点作平面,垂足为点,‎ ‎、、平面,,,,‎ ‎,,由勾股定理可得,同理可知,‎ ‎,为等边三角形,‎ 设的外接圆圆心为点,连接,则,且,‎ 由中位线的性质可知点为的中点,为圆的一条直径,‎ 所以,,由圆的内接四边形的性质可知,,‎ ‎,由正弦定理可得,‎ ‎,因此,球的表面积为,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的计算,解题时要充分分析多边形的形状,找出球心的位置,考查推理能力与计算能力,属于中等题.‎ 三.(解答题,共70分)‎ ‎17.的内角所对的边分别为,已知的面积为.‎ 证明:;‎ 若求.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由三角形的面积公式化简得,进而得到,即可作出证明;‎ ‎(2)因为,求得,由(1)得,利用余弦定理求得,再由面积公式,即可求解.‎ ‎【详解】(1)由三角形的面积公式,可得,即,‎ 又因为,所以,‎ 又因为,所以,所以.‎ ‎(2)因为,由三角函数的基本关系式,可得,‎ 由(1)得,‎ 由余弦定理得,解得,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要抓住题设条件和利用某个定理的信息,合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.‎ ‎18.某音乐院校举行“校园之星”评选活动,评委由本校全体学生组成,对 两位选手,随机调查了个学生的评分,得到下面的茎叶图:‎ 通过茎叶图比较两位选手所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);‎ 校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流:‎ 所得分数 低于分 分到分 不低于分 分流方向 淘汰出局 复赛待选 直接晋级 记事件“获得的分流等级高于”,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求事件发生的概率.‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过茎叶图可以看出,得分数的平均值高于得分数的平均值,得分数比较集中,得分数比较分散;‎ ‎(2)记表示事件:“选手直接晋级”表示事件:“选手复赛待选”表示事件:“选手复赛待选”表示事件:“选手淘汰出局利用独立事件的概率乘法公式,即可求解.‎ ‎【详解】(1)通过茎叶图可以看出,选手所得分数的平均值高于选手所得分数的平均值;‎ 选手所得分数比较集中,选手所得分数比较分散.‎ ‎(2)记表示事件:“选手直接晋级”表示事件:“选手复赛待选”‎ 表示事件:“选手复赛待选”表示事件:“选手淘汰出局 则与独立,与独立,与互斥,‎ 则,‎ 由所给数据得,,,发生的频率分别为.‎ 故,,,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用,以及相互独立事件的概率的计算,其中解答中正确理解题意,准确利用独立事件的概率乘法公式计算是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,底面是矩形,侧棱底面,,点是中点.‎ 求证:平面;‎ 若直线与平面所成角为,求二面角的大小.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接交于,连接,利用线面平行的判定定理,即可证得平面 ‎;‎ 以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设,,分别求得平面和平面的一个法向量和,利用向量的夹角公式,即可求解.‎ ‎【详解】(1)连接交于,连接,‎ 由题意可知,,,‎ 又在平面外,平面,所以平面.‎ 以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设,,则,,,‎ ‎,,,‎ 设平面的法向量,‎ 由,得,取,‎ 又由直线与平面所成的角为,‎ 得,解得,‎ 同理可得平面的法向量,‎ 由向量的夹角公式,可得,‎ 又因为二面角为锐二面角,所以二面角的大小为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明,以及空间角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,通过严密推理是线面位置关系判定的关键,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.‎ ‎20.已知为抛物线的焦点,直线与相交于两点.‎ 若,求的值;‎ 点,若,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)联立方程组,利用根与系数的关系和抛物线的定义,即可求解.‎ 由,可得,利用向量的夹角公式,联立方程组,求得,即可求得直线的方程.‎ ‎【详解】(1)由题意,可得,设,‎ 联立方程组,整理得,‎ 则,,‎ 又由.‎ ‎(2)由题意,知,,,‎ 由,可得 又,,则,‎ 整理得,解得,‎ 所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目,通常联立直线方程与抛物线方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎21.已知函数,,为的导数,且.证明:‎ 在内有唯一零点;‎ ‎.‎ ‎(参考数据:,,,,.)‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意,得,分别求得在区间和上的单调性,利用零点的存在定理,即可求解;‎ ‎(2)由(1)得,求得函数的单调性,得到的最大值为,再由得,得到,利用作差比较,即可求解.‎ ‎【详解】(1)由题意,函数,则 所以,‎ 当时,可得,即在内没有零点,‎ 当时,,‎ 因为,所以,所以在上单调递减,‎ 又,且,‎ 所以在内有唯一零点.‎ ‎(2)由(1)得,当时,,所以,即单调递增;‎ 当时,,所以,即单调递减,‎ 即的最大值为,‎ 由得,所以,‎ 因此,‎ 因为,所以 从而,即,‎ 所以,故.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于此类问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第(22),(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在极坐标系中,圆.以极点为原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,直线经过点且倾斜角为.‎ 求圆的直角坐标方程和直线的参数方程;‎ 已知直线与圆交与,,满足为的中点,求.‎ ‎【答案】(1),,(为参数,).(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,可求解圆的直角坐标方程,根据直线参数方程的形式,即可求得直线的参数方程;‎ 将直线的方程代入圆的方程,利用根与系数的关系,求得,,由为的中点,得到,求得,即可求得的表达式,利用三角函数的性质,即可求解.‎ ‎【详解】(1)由题意,圆,可得,‎ 因为,,所以,即,‎ 根据直线的参数方程的形式,可得直线:,(为参数,).‎ 设对应的参数分别为,‎ 将直线的方程代入,整理得,‎ 所以,,‎ 又为的中点,所以,‎ 因此,,‎ 所以,即,‎ 因为,所以,‎ 从而,即.‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程,直线参数方程的求解,以及直线参数方程的应用,其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.‎ ‎23.设函数.‎ 画出的图像;‎ 若,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)画图见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据绝对值的定义,可得分段函数的解析式,进而作出函数的图象;‎ ‎(2)由不等式,可得,解得,再由绝对值的三角不等式,求得当且仅当,且时,成立,即可求解的最小值.‎ ‎【详解】(1)由题意,根据绝对值的定义,可得分段函数,‎ 所以的图象如图所示:‎ ‎(2)由,可得,解得,‎ 又因为,所以.(※)‎ 若,(※)式明显成立;‎ 若,则当时,(※)式不成立,‎ 由图可知,当,且时,可得,‎ 所以当且仅当,且时,成立,‎ 因此的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值的定义及应用,以及绝对值三角不等式的应用,其中解答中利用绝对值的定义去掉绝对值号,以及合理利用绝对值不等式是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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