2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，且，则的值是（ ）‎ A. -1或3 B. 1或-3 C. -3 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，得 又，‎ ‎，即，化简得 当时，此时 当时，此时 的值是或 故选 ‎2．已知是双曲线： 的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）‎ A. B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由双曲线方程可得 ，焦点到直线的距离为 ‎【考点】双曲线方程及性质 ‎3．如图，在四面体中，是底面的重心，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图可知：‎ 故选 ‎4．设、是椭圆： 的左、右焦点， 为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：如下图所示， 是底角为的等腰三角形，则有 所以，所以 又因为，所以， ，所以 所以答案选C.‎ ‎【考点】椭圆的简单几何性质.‎ ‎5．已知直线：和直线：，抛物线上一个动点到直线与的距离之和的最小值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题可知：是抛物线的准线 设抛物线的焦点为，则动点到直线的距离等于 则动点到直线与的距离之和的最小值，即焦点到直线：的距离 最小值是 故选 ‎6．已知椭圆和双曲线有相同的焦点， ， 是它们的一个交点，则的形状是（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 随， 的变化而变化 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：令,所以,所以．由椭圆的定义可知,由双曲线的定义可知,由双曲线的对称性不妨设．由可得 ‎,．所以,所以是直角三角形．故B正确．‎ ‎【考点】1椭圆的定义,简单几何性质;2双曲线的定义,简单几何性质．‎ ‎7．已知是双曲线： 上的一点， ， 是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知， ，所以==，解得，故选A.‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.‎ ‎8．已知椭圆： 的右焦点为，过点的直线交于， 两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选D.‎ ‎9．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，‎ 是等腰直角三角形，其中，则点到平面的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，‎ ‎，‎ 从而，，‎ 设平面的法向量为 则，即 令，则，‎ 为平面的法向量 故点到平面的距离 故选 ‎ ‎10．已知椭圆：，动圆与椭圆相交于，，，四点，当四边形的面积取得最大值时，的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】联立，解得，，则四边形的面积可以表示为 当时，即时面积最大，所以选 ‎11．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图所示，设分别为，和的中点 则，夹角为和夹角或其补角 因异面直线所成角的范围为 可知，‎ 作中点，则为直角三角形 ‎，‎ 中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 在中，‎ 在中，由余弦定理得 又异面直线所成角的范围为 异面直线与所成角的余弦值为 故选 ‎12．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（ ）‎ A. 16 B. 14 C. 12 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的方程为 焦点，准线为，‎ 设直线的解析式为，‎ 直线，互相垂直，则直线的斜率为 与抛物线方程联立，，消去得：‎ 设点，，，‎ 由韦达定理得 同理 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 ‎，‎ 故选 点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键。首先得到焦点的坐标，准线方程，然后设直线的解析式为，求得直线的斜率。联立方程消去得：，设出，，，的坐标，利用韦达定理和抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出答案 二、填空题 ‎13．若， 分别是椭圆： 短轴上的两个顶点，点是椭圆上异于， 的任意一点，若直线与直线的斜率之积为，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设点坐标为，则。‎ 由题意得，解得。‎ 所以椭圆的方程为，因此。‎ 答案： ‎ 点睛：求椭圆离心率或其范围的方法 ‎（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解． ‎ ‎（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等。‎ ‎14．已知双曲线： 的右顶点为，以为圆心， 为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于、两点，若，则的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且， ，‎ 而，所以，‎ 点到直线的距离，‎ 在中， ，代入计算得，即，‎ 由得，‎ 所以.‎ 点睛:双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是；③双曲线的顶点到渐近线的距离是.‎ ‎15．正方体中，棱长为，则直线与的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立空间坐标系，，，，‎ 设，公垂线的向量 由，得，‎ 点睛：本题考查了建立空间直角坐标系，利用向量解决立体几何问题的方法，会根据空间直角坐标系确定已知的点的坐标。异面直线距离，公垂线段的概念，以及两非零向量垂直的充要条件，空间两点间距离公式。属于基础题。‎ ‎16．已知是椭圆上的点， ， 分别是圆和上的点，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】设两圆圆心为, ,则, 为椭圆焦点，因此，即的最小值是7，故答案为7.‎ 三、解答题 ‎17．已知双曲线过点和点.‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若点在双曲线上，，为双曲线的左、右焦点，且，求的余弦值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：双曲线过点和点代入求出双曲线方程运用定义算出，，再用余弦定理算出结果 解析：（1）.‎ ‎（2）因为点在双曲线上，且，所以点在双曲线的右支上，‎ 则有，故，，‎ 又，因此在中，‎ ‎ .‎ ‎18．如图，三棱柱中， ， ， .‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）若平面平面， ，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意首先证得，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线与平面所成角的正弦值是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：如图所示，取的中点，连接， ， .因为，‎ 所以.由于， ，‎ 故为等边三角形，所以.‎ 因为，所以.‎ 又，故 ‎（2）由（1）知， ，又，交线为，‎ 所以，故两两相互垂直.‎ 以为坐标原点， 的方向为轴的正方向， 为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系.由题设知，‎ 则， ， .‎ 设是平面的法向量，‎ 则即可取故. ‎ ‎ 所以与平面所成角的正弦值为 ‎ ‎19．已知动圆恒过点，且与直线： 相切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）探究在曲线上，是否存在异于原点的两点， ，当时，直线恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）轨迹方程为；（2）直线过定点.‎ ‎【解析】(1)因为动圆M,过点F且与直线相切, 所以圆心M到F的距离等于到直线的距离.根据抛物线的定义可以确定点M的轨迹是抛物线，易求其方程.‎ ‎（II）本小题属于存在性命题，先假设存在A,B在上, 直线AB的方程: ‎ ‎,即AB的方程为,然后根据,∴AB的方程为,从而可确定其所过定点.‎ 解：(1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,‎ 所以圆心M到F的距离等于到直线的距离. …………2分 所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且, , ……4分 所以所求的轨迹方程为……………6分 ‎(2) 假设存在A,B在上, …………7分 ‎∴直线AB的方程: , …………9分 即AB的方程为: , …………10分 即…………11分 又∵∴AB的方程为，…………12分 令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0) …………14分 ‎20．设， 分别是椭圆： 的左、右焦点， 是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为.‎ ‎（1）若直线的斜率为，求的离心率；‎ ‎（2）若直线在轴上的截距为，且，求， .‎ ‎【答案】（1）的离心率为；（2）， .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据点M在椭圆上，并且与轴垂直，得到点M的坐标，,再结合椭圆基本关系式，转化为关于a,c的齐次方程，两边同时除以，即可求得离心率；（2）根据中位线的几何关系，可得，又根据条件,可求得点N的坐标，而点N在椭圆上，代入椭圆方程，再结合椭圆基本关系式，即可求得椭圆方程.‎ 试题解析：（1）记，则，由题设可知，‎ 则，‎ ‎；‎ ‎（2）记直线与轴的交点为，则①，‎ ‎，‎ 将的坐标代入椭圆方程得②‎ 由①②及得，‎ 故所求椭圆的方程为．‎ ‎【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎21．如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）证明平面，结合平面，可得平面平面．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知可得，，所以平面．‎ 又平面，故平面平面．‎ ‎（Ⅱ）过作，垂足为，由（Ⅰ）知平面．‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由（Ⅰ）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．‎ 由已知，，所以平面．‎ 又平面平面，故，．‎ 由，可得平面，所以为二面角的平面角，‎ ‎．从而可得．‎ 所以，，，．‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 所以可取．‎ 设是平面的法向量，则，‎ 同理可取．则．‎ 故二面角EBCA的余弦值为．‎ ‎【考点】垂直问题的证明及空间向量的应用 ‎【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量法解决.‎ ‎22．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）方程为；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：由题意建立模型 ，即为椭圆(2) 设：,联立直线与曲线方程，计算出点到直线距离，从而计算出面积 解析：（1）圆整理为，坐标，如图，‎ ‎，则，由，则，‎ ‎∴，则，∴ ，‎ 根据椭圆定义为一个椭圆，方程为；‎ ‎（2）：；设：，因为，设：，‎ ‎ .‎ 联立与椭圆：，，‎ 则圆心到距离 ，‎ 所以 ，‎ ‎∴ .‎ 点睛：本题主要考查了圆锥曲线综合题目，在求点的轨迹时，利用定义将其转化为椭圆的轨迹，要计算三角形面积，可以算出点到线的距离为高，注意直线：，这样计算会简便