2019届二轮复习第3讲 不等式学案（全国通用）
第3讲 不等式
高考定位 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A.－15 B.－9 C.1 D.9
解析 可行域如图阴影部分所示，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，所求最小值为－15.
答案 A
2.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
解析 由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.
答案
3.(2018·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________.
解析 作出可行域为如图所示的△ABC
所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.
答案 6
4.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f >1的x的取值范围是________.
解析 当x≤0时，f(x)＋f ＝(x＋1)＋，
原不等式化为2x＋>1，解得－
1，该式恒成立，
当x>时，f(x)＋f ＝2x＋2x－，
又x>时，2x＋2x－>2＋20＝1＋>1恒成立，
综上可知，不等式的解集为.
答案
考 点 整 合
1.不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法.
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间.
(2)简单分式不等式的解法.
①>0(<0)f(x)g(x)>0(<0).
②≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解.
2.几个不等式
(1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b).
(2)ab≤(a，b∈R).
(3)≥≥≥(a>0，b>0).
(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立).
3.利用基本不等式求最值
(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值).
(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值).
4.简单的线性规划问题
解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.
热点一 不等式的解法
【例1】 (1)不等式≤x－2的解集是( )
A.(－∞，0]∪(2，4] B.[0，2)∪[4，＋∞)
C.[2，4) D.(－∞，2]∪(4，＋∞)
(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤1成立的x的取值范围是________.
解析 (1)当x－2>0时，不等式化为(x－2)2≥4，∴x≥4.当x－2<0时，原不等式化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.综上可知，原不等式的解集为[0，2)∪[4，＋∞).
(2)由得0≤x≤9；由得－1≤x<0.故使得f(x)≤1成立的x的取值范围是[－1，9].
答案 (1)B (2)[－1，9]
探究提高 1.解一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.
2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化.
(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.
【训练1】 (1)(2018·衡阳一模)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集为，则f(ex)>0的解集为( )
A.{x|x<－ln 2或x>ln 3}
B.{x|ln 20的解集为( )
A.{x|x>2或x<－2} B.{x|－24} D.{x|00的解集为，又因为f(ex)>0，所以0.
f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.
答案 (1)D (2)C
热点二 基本不等式及其应用
【例2】 (1)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________.
(2)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b(2≤a≤10)，剪去部分的面积为8，则＋
的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
解析 (1)∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，
∴＋＝1(a>0，且b>0)，
则2a＋b＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2＝8.
当且仅当＝，即a＝2，b＝4时上式等号成立.
因此2a＋b的最小值为8.
(2)由题意知，2ab＝8，则b＝(2≤a≤10).所以＋＝＋＝1＋－＝1＋≤1＋＝，当且仅当a＝，即a＝6时，＋取得最大值.
答案 (1)8 (2)C
探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.
2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.
(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错.
【训练2】 (1)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.
(2)(2018·北京海淀区调研)当00，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号.
∴的最小值是4.
(2)易得＋＝且00对一切a∈R恒成立，∴原不等式等价于(a＋1)(a＋2)>0，解得a<－2或a>－1.故所求a的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞).
答案 C
3.(2018·西安质检)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.
x2＋y2表示区域内点到原点距离的平方.
由得A(3，－1).
由图形知，(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.
答案 C
4.已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围为( )
A.[2，＋∞) B.(－∞，2]
C.(－2，＋∞) D.(－∞，－2)
解析 由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1，
因为x＜0，所以m＞＝2x＋.
又2x＋＝－
≤－2＝－2.
当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号，
所以m＞－2.
答案 C
5.(2018·长沙雅礼中学联考)设x，y满足约束条件若z＝x＋y的最大值为6，则的最大值为( )
A. B.2 C.4 D.5
解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示.易知当直线z＝x＋y过点A时，z取到最大值6.又A，∴zmax＝＋a＝6，则a＝4.又＝表示P(x，y)与B(－4，0)两点连线的斜率，当点P位于点C(－3，4)处时，斜率k取到最大值.由kBC＝＝4，知＝4.
答案 C
6.实数x，y满足使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为( )
A.0 B.－2 C.1 D.－1
解析 画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，所以－a＝1，a＝－1，所以当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0.
答案 A
二、填空题
7.(2018·全国Ⅲ卷)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________.
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点A(2，3)时，z＝x＋y取得最大值，故zmax＝2＋×3＝3.
答案 3
8.(2018·天津卷)已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈
[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是________.
解析 当－3≤x≤0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为x2＋2x＋a－2≤－x恒成立，即a≤－x2－3x＋2恒成立，所以a≤(－x2－3x＋2)min＝2；当x>0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为－x2＋2x－2a≤x恒成立，即a≥恒成立，所以a≥
＝.综上，a的取值范围是.
答案
9.(2018·衡水中学检测)设满足的实数x，y所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是_________________________________.
解析 作出不等式组表示的平面区域Ω如图所示.则区域Ω是四边形ABCO(含内部及边界).易知BC⊥AB，则外接圆的圆心为AC的中点，又A(0，6)，C(2，0)，则该四边形外接圆圆心为(1，3)，半径r＝|AC|＝.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
答案 (x－1)2＋(y－3)2＝10
10.(2018·湖南长郡中学调研)已知实数x，y满足
则z＝log2的取值范围是________.
解析 作线性约束条件表示的可行域如图所示.
令t＝表示可行域内的点P(x，y)与定点M(1，1)连线的斜率.
易求点B(－1，0)，kMB＝＝，且x＋y＝0的斜率为－1.
∴－1
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