2019届二轮复习集合与常用逻辑作业(全国通用)

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2019届二轮复习集合与常用逻辑作业(全国通用)

第一单元集合与常用逻辑 命题报告:‎ ‎1.高频考点:集合的运算以及集合的关系,集合新定义问题以及集合与其他知识的交汇,逻辑用语重点考查四种命题的关系,充要条件的判断以及全称命题存在命题等知识。‎ ‎2.考情分析:高考主要以选择题填空题形式出现,考查集合的运算以及充要条件和其它知识的交汇,题目一般属于容易题。‎ ‎3.重点推荐:9题,创新题,注意灵活利用所给新定义进行求解。‎ 一.选择题(共12小题,每一题5分)‎ ‎1.(2018年上海)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】a∈R,则“a>1”⇒“<1”,“ <1”⇒“a>1或a<0”,∴“a>1”是“<1”的充分非必要条件.故选A.‎ ‎2.(2018年新课标Ⅱ文)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )‎ A.{3} B.{ 5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5}.‎ ‎3(2018•德州一模)已知命题p:∀x∈(0,+∞),x>sinx,命题,则下列命题中的真命题为(  )‎ A.¬q B.p∧q C.(¬p)∧q D.(¬p)∨(¬q)‎ ‎【答案】B ‎【解析】:命题p:构造函数f(x)=x﹣sinx,x>0,. ‎ f′(x)=1﹣cosx≥0恒成立,‎ 即f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 又f(0)=0,则f(x)>0,‎ 即x>sinx成立,‎ 命题p正确;‎ 命题q:令y1=()x,y2=logx,‎ 分别画出两个函数的图象可知,‎ 在(0,1)上有一个交点,‎ 即命题q正确;‎ 综上可知p∧q正确,‎ 故选:B.‎ ‎4(2018•和平区三模)“函数f(x)=ln(ax+1)在(0,+∞)上单调递增”是“a=1”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎5(2018•马鞍山三模)命题p:若a>b,则a﹣1>b﹣1,则命题p的否命题为(  )‎ A.若a>b,则a﹣1≤b﹣1 B.若a≥b,则a﹣1<b﹣1‎ C.若a≤b,则a﹣1≤b﹣1 D.若a<b,则a﹣1<b﹣1‎ ‎【答案】C ‎【解析】:根据否命题的定义:若原命题为:若p,则q.否命题为:若┐p,则┐q.‎ ‎∵原命题为“若a>b,则a﹣1>b﹣1”‎ ‎∴否命题为:若a≤b,则a﹣1≤b﹣1,故选:C.‎ ‎6. (2018•抚州期末)下列有关命题的说法错误的有(  )个 ‎①若p∧q为假命题,则p、q均为假命题 ‎②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0‎ ‎③对于命题p:∃x∈R,使得x2+x+1<0则:¬p:∀x∈R,均有x2+x+1≥0‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】:B ‎【解析】①若p∧q为假命题,则p、q均为假命题,不正确,因为两个命题中,由一个是假命题,则p∧q为假命题,所以说法错误.‎ ‎②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0,满足逆否命题的定义,正确;‎ ‎③对于命题p:∃x∈R,使得x2+x+1<0则:¬p:∀x∈R,均有x2+x+1≥0,符号命题的否定形式,正确;‎ 所以说法错误的是1个.‎ 故选:B.‎ ‎7(2018•金安区校级模拟)若A={x∈ 2≤22﹣x<8},B={x∈R log2x<1},则A∩(∁RB)中的元素有(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎【答案】:B ‎【解析】A={x∈ 2≤22﹣x<8}={x∈ 1≤2﹣x<3}={x∈ ﹣1<x≤1}={0,1},‎ B={x∈R log2x<1}={x∈R 0<x<2},则∁RB={x∈R x≤0或x≥2},‎ ‎∴A∩(∁RB)={0},其中元素有1个.故选:B.‎ ‎8(2018•大观区校级模拟)已知全集U=R,集合,N={ 2﹣2 x ≤0},则如图中阴影部分所表示的集合为(  ) . ‎ A.[﹣2,1) B.[﹣2,1 C.[﹣2,0)∪(1,2 D.[﹣2,0 ∪[1,2 ‎ ‎【答案】:B ‎【解析】∵全集U=R,集合={ >1},‎ N={ 2﹣2 x ≤0}={x 或}={x ﹣2≤x≤2},‎ ‎∴CUM={ ≤1},∴图中阴影部分所表示的集合为N∩(CUM)={x ﹣2≤x≤1}=[﹣2,1 .‎ 故选:B.‎ ‎9.设集合Sn={1,2,3,…,n},X⊆Sn,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量是奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集,若n=3,则Sn的所有偶子集的容量之和为(  )‎ A.6 B. 8 C.12 D.16‎ ‎【答案】:D ‎【解析】由题意可知:当n=3时,S3={1,2,3},‎ 所以所有的偶子集为:∅、{2}、{1,2}、{2,3}、{1,2,3}.‎ 所以S3 的所有偶子集的容量之和为0+2+2+6+6=16.‎ 故选:D.‎ ‎10. (2018•商丘三模)下列有四种说法:‎ ‎①命题:“∃x∈R,x2﹣3x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2﹣3x+1<0”;‎ ‎②已知p,q为两个命题,若(¬p)∧(¬q)为假命题,则p∨q为真命题;‎ ‎③命题“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题;‎ ‎④数列{an}为等差数列,则“m+n=p+q,m,n,p,q为正整数”是“am+an=ap+aq”的充要条件.‎ 其中正确的个数为(  )‎ A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 ‎【答案】:C ‎11. (2018•嘉兴模拟)已知函数f(x)=x2+ax+b,集合A={x f(x)≤0},集合,若A=B≠∅,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B.[﹣1,5 C. D.[﹣1,3 ‎ ‎【思路分析】由题意可得b=,集合B可化为(x2+ax+)(x2+ax+a+)≤0,运用判别式法,解不等式即可得到所求范围.‎ ‎12.( 2018•漳州二模)“a≤0”是“关于x的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π,3π 上根的个数相等”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[答案 :A ‎【解析】∵方程sinx=0在[﹣3π,3π 上根有7个,则方程ax+axcosx﹣sinx=0也应该有7个根,由方程ax+axcosx﹣sinx=0得ax(1+cosx)﹣sinx=0,‎ 即ax•2cos2﹣2sincos=2cos(axcos﹣sin)=0,‎ 则cos=0或axcos﹣sin=0,则x除了﹣3π,﹣π,π,3π还有三个根,由axcos﹣sin=0,得axcos=sin,即ax=tan,由图象知a≤0时满足条件,且a>0时,有部分a是满足条件的,故“a≤0”是“关于x的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π,3π 上根的个数相等”的充分不必要条件,故选:A.‎ 二.填空题(共4题,每小题5分) 学 ‎ ‎13. (2018春•南京期末)一个原命题的逆否命题是“若x=1,则x2﹣2x<0”,那么该原命题是  命题.(填“真”或“假”).‎ ‎【答案】真 ‎【解析】:“若x=1,则x2﹣2x=﹣1<0”,所以“若x=1,则x2﹣2x<0”,是真命题;‎ 所以逆否命题是“若x=1,则x2﹣2x<0”,它的原命题也是真命题.‎ 故答案为:真.‎ ‎14 (2018•西宁一模)命题“∃x∈R,x2﹣(m﹣1)x+1<0”为假命题,则实数m的取值范围为  .‎ ‎【答案】[﹣1,3 ‎ ‎【解析】:命题“∃x∈R,x2﹣(m﹣1)x+1<0”为假命题,‎ 可得∀x∈R,x2﹣(m﹣1)x+1≥0恒成立,‎ 即有△=(m﹣1)2﹣4≤0,‎ 解得﹣1≤m≤3,‎ 则实数m的取值范围为[﹣1,3 .‎ 故答案为:[﹣1,3 .‎ ‎15.已知命题p:x2﹣2x+a≥0在R上恒成立,命题q:∃x0∈R,x+2ax0+2﹣a=0,若p且q为真,则实数a的取值范围是  .‎ ‎【答案】:a≥1‎ ‎【解析】命题p:x2﹣2x+a≥0在R上恒成立,‎ ‎∴△1=4﹣4a≤0,解得a≥1;‎ 命题q:∃x0∈R,x+2ax0+2﹣a=0,‎ ‎∴△2=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a≤﹣2或a≥1;‎ 若p且q为真,则实数a的取值范围是a≥1.故答案为:a≥1.‎ ‎16. 设集合A={ 2+2x﹣3>0},集合B={ 2﹣2ax﹣1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是  .‎ ‎【答案】:[,)‎ ‎【解析】由A中不等式变形得:(x﹣1)(x+3)>0,‎ 解得:x<﹣3或x>1,即A={ <﹣3或x>1},‎ 函数y=f(x)=x2﹣2ax﹣1的对称轴为x=a>0,f(﹣3)=6a+8<0,‎ 由对称性可得,要使A∩B恰有一个整数,即这个整数解为2,‎ ‎∴f(2)≤0且f(3)>0,即,‎ 解得:,即≤a<,则a的取值范围为[,).故答案为:[,)‎ 三解答题(本大题共6小题)‎ ‎17. (2018秋•新罗区校级月考)已知函数,记不等式f(x)≤4的解集为M,记函数的定义域为集合N.‎ ‎(Ⅰ)求集合M和N;‎ ‎(Ⅱ)求M∩N和M∪∁RN.‎ ‎【思路分析】(Ⅰ)利用分类讨论法求出f(x)≤4的解集M和g(x)的定义域N;‎ ‎(Ⅱ)根据集合的运算法则求出M∩N和M∪∁RN的值.‎ ‎【解析】:(Ⅰ)函数,‎ 当x≤0时,f(x)=﹣x2﹣4x+1≤4,即x2+4x+3≥0,‎ 解得x≤﹣3或﹣1≤x≤0,‎ 当x>0时,f(x)=﹣+5≤4,解得0<x≤1;‎ 综上,不等式f(x)≤4的解集M={ ≤﹣3或﹣1≤x≤1};‎ ‎∵函数g(x)=的定义域为集合N,‎ ‎∴N={x ﹣2x2+5x+3≥0}={x ﹣≤x≤3};…………5分 ‎(Ⅱ)由题意知,M∩N={x ﹣≤x≤1},‎ ‎∁RN={ <﹣或x>3},‎ ‎∴M∪∁RN={ ≤1或x>3}.…………10分 ‎18. (2018•铁东区一模)设a∈R,命题q:∀x∈R,x2+ax+1>0,命题p:∃x∈[1,2 ,满足(a﹣1)x﹣1>0.‎ ‎(1)若命题p∧q是真命题,求a的范围;‎ ‎(2)(¬p)∧q为假,(¬p)∨q为真,求a的取值范围.‎ ‎【解析】:(1)p真,则或得;‎ q真,则a2﹣4<0,得﹣2<a<2,‎ ‎∴p∧q真,.…………6分 ‎(2)由(¬p)∧q为假,(¬p)∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真,‎ 若p假q假,则,⇒a≤﹣2,‎ 若p真q真,则,⇒‎ 综上a≤﹣2或.…………12分 ‎19. (2018春•田家庵区校级期中)命题p:∀x∈R,不等式x2+mx+2m﹣3>0恒成立;q:实数m满足,其中a>0,‎ ‎(1)当a=1,p且q为真时,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若¬p是q的必要条件,求实数a的取值范围. ‎ ‎【思路分析】当p真时,△=m2﹣4(2m﹣3)<0,解得2<m<6.当q为真时,实数m满足,其中a>0⇔(m﹣a)(m﹣3a)≤0,m≠a,解得a<m≤3a.‎ ‎(1)当a=1,p且q为真时,可得1<m≤3.且2<m<6.联立解得m范围..‎ ‎(2)由¬p是q的必要条件,可得q⇒¬p.于是(a,3a ⊆(﹣∞,2 ∪[6,+∞),又a>0,解得a范围.‎ ‎【解析】:当p真时,△=m2﹣4(2m﹣3)<0,解得2<m<6.‎ 当q为真时,实数m满足,‎ 其中a>0,⇔(m﹣a)(m﹣3a)≤0,m≠a,解得a<m≤3a.…………5分 ‎(1)当a=1,p且q为真时,可得1<m≤3.且2<m<6.联立解得2<m≤3.‎ ‎(2)∵¬p是q的必要条件,∴q⇒¬p.‎ ‎∴(a,3a ⊆(﹣∞,2 ∪[6,+∞).‎ ‎∴3a≤2或a≥6,又a>0,‎ 解得0<或a≥6.…………12分 ‎20. (2018秋•长汀县校级月考)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(x﹣1)=f(3﹣x),且方程f(x)=2x有两相等实根.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)设命题p:“函数y=2f(x)﹣t在(﹣∞,2)上有零点”,命题q:“函数g(x)=x2+t x﹣2 在(0,+∞)上单调递增”;若命题“p∨q”为真命题,求实数t的取值范围.‎ ‎【思路分析】(1)方程f(x)=2x有两等根,通过△‎ ‎=0,解得b;求出函数图象的对称轴.求解a,然后求解函数的解析式.‎ ‎(2)求出两个命题是真命题时,t的范围,利用p∨q真,转化求解即可.‎ ‎(2),‎ p真则0<t≤2;‎ ‎;‎ 若q真,则,‎ ‎∴﹣4≤t≤0;‎ 若p∨q真,则﹣4≤t≤2.……………………………………………(12分) , , . ‎ ‎21. (2018春•江阴市校级期中)已知集合A={x ≤0},B={ 2﹣(m﹣1)x+m﹣2≤0}.‎ ‎(1)若A∪[a,b =[﹣1,4 ,求实数a,b满足的条件;‎ ‎(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.‎ ‎【思路分析】本题涉及知识点:分式不等式和含参的一元二次不等式的解法,集合的并集运算.‎ ‎【解析】:(1)∵A={x ≤0}={x ﹣1≤x<3};A∪[a,b =[﹣1,4 ,‎ ‎∴由数形结合知b=4,﹣1≤a<3…………5分 ‎(2)∵B={ 2﹣(m﹣1)x+m﹣2≤0}={x (x﹣1)(x﹣(m﹣2))≤0}.A∪B=A ‎∴B⊆A,∴分情况讨论①m﹣2<1,即m<3时得1≤m<3;‎ ‎②若m﹣2=1,即m=3,B中只有一个元素1符合题意;‎ ‎③若m﹣3>1,即m>4时得3<m<5,∴4<m<5‎ ‎∴综上1≤m<5.…………12分 ‎22. (2018•南京期末)已知命题p:指数函数f(x)=(a﹣1)x在定义域上单调递减,命题q:函数g(x)=lg(ax2﹣2x+)的定义域为R.学- ‎ ‎(1)若q是真命题,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题,求实数a的取值范围.‎ ‎【思路分析】(1)若命题q是真命题,即函数g(x)=lg(ax2﹣2x+)的定义域为R,对a分类讨论求解;‎ ‎(2)求出p为真命题的a的范围,再由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题,可得p与q一真一假,然后利用交、并、补集的混合运算求解.‎ ‎【解析】:(1)若命题q是真命题,则有:‎ ‎①当a=0时,定义域为(﹣∞,0),不合题意.‎ ‎②当a≠0时,由已知可得,解得:a>,‎ 故所求实数a的取值范围为(,+∞);…………6分 ‎(2)若命题p为真命题,则0<a﹣1<1,即1<a<2,‎ 由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题,可得p与q一真一假.‎ 若p为真q为假,则,得到1<a≤,‎ 若p为假q为真,则 ,得到a≥2.‎ 综上所述,a的取值范围是1<a≤ 或a≥2.………………12分
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