数学理卷·2018届四川省成都七中实验学校高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届四川省成都七中实验学校高二下学期期中考试（2017-04）

成都七中实验学校2016-2017学年下期半期考试 高二年级 数学试题（理）‎ 命题：刘家云 审题：周俊龙 一、选择题（每小题5分，共60分。）‎ ‎1、在三棱柱中，若，则等于( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、函数，则 的值为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、已知表示两条不同直线，表示平面．下列说法正确的是( )‎ A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则 ‎4、函数的单调递减区间是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎5、在棱长为的正方体中，是底面的中心，分别是 的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6、已知函数，若，且，‎ 则下列不等式中正确的是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎7、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是， ‎ 则正视图中的的值是( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎8、若对任意的，恒有成立，则的取值范围是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9、甲、乙两人约定在下午间在某地相见，且他们在之间到达的 时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人分钟，若另一人仍不到则可以 离去，则这两人能相见的概率是（ ）‎ C A D B A、 B、 C、 D、‎ ‎10、如图在一个的二面角的棱上有两个点，线段、‎ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，‎ 且，则的长为( )‎ ‎-1‎ ‎1‎ x y ‎2‎ ‎0‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎11、已知函数的图象如图所示，‎ 则的取值范围是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎12、已知曲线在点处的切线与曲线也 相切，则的值为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 二、填空题（每小题5分，共20分。）‎ ‎13、‎ ‎14、已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是 椭圆与双曲线在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率等于_______‎ ‎15、已知函数的导函数为，满足，，则 的解集为 ‎16、已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ A B C D 三、解答题（本大题共6小题，共70分。）‎ ‎17（10分）如图，在直三棱柱中，，‎ 点是的中点，求证：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）平面。‎ ‎18（12分）、某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷 中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供 的数据，解答下列问题：‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎[50，60)‎ ‎5‎ ‎0.05‎ 第2组 ‎[60，70)‎ ‎0.35‎ 第3组 ‎[70，80)‎ ‎30‎ 第4组 ‎[80，90)‎ ‎20‎ ‎0.20‎ 第5组 ‎[90，100]‎ ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率。‎ ‎19（12分）、已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围。‎ ‎20（12分）、在四棱锥中，为正三角形，四边形为矩形，‎ 平面平面，，分别为的中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：//平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小。‎ ‎21（12分）、已知椭圆经过点，离心率。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值。‎ ‎22（12分）、已知，。‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：当时，。‎ 成都七中实验学校2016-2017学年下期半期考试 高二年级 数学试题（理）‎ 参考答案 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1.D； 2.B； 3.B； 4.C； 5.A； 6.C；‎ ‎7.A； 8.D； 9.B； 10.A； 11. D； 12. C；‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、 14、 15、 16、 ‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ A B C D ‎17、证明：（Ⅰ）在直三棱柱中，平面，‎ 所以，，‎ 又，，所以，平面，‎ 所以，. ………..………（5分）‎ ‎（2）设与的交点为，连结，‎ 为平行四边形，所以为中点，‎ 又是的中点，所以是三角形的中位线，， ‎ 又因为平面，平面，所以平面………（10分）‎ ‎18、（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ………（4分）‎ ‎（Ⅱ ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，‎ 所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（6分）‎ 设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：‎ ‎(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，‎ 所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝.……………（12分）‎ ‎19、（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，＋∞).‎ ‎①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ‎ ‎②当a＜0时，f′(x)＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：‎ x ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值  由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；‎ 单调递增区间是(，＋∞). 6分 ‎（Ⅱ ）由g(x)＝＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－＋2x＋，‎ 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，‎ 即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．即a≤－x2在[1,2]上恒成立. 9分 令，则h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)‎ ‎ ，所以h(x)在[1,2]上为减函数，‎ h(x)min＝h(2)＝－， 所以a≤－. 12分 ‎ ‎20、（Ⅰ）证明：∵M，N分别是PB，PC中点 ‎∴MN是△ABC的中位线 ∴MN∥BC∥AD 又∵AD⊂平面PAD，MN平面PAD 所以MN∥平面PAD. ………………5分 ‎(Ⅱ)过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，‎ 因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，‎ 如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0，）,‎ B（1,0，0），N（,，），则，‎ 设平面CAM法向量为，由 可得 ‎，令，则，即 平面法向量 所以，二面角的余弦值 因为二面角是锐二面角，‎ 所以二面角等于………………12分 ‎21、解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①‎ ‎②‎ 由①②得，故椭圆的标准方程为……………….5分 ‎ ‎ ‎ ......................9分 ‎22（Ⅰ）解：‎ ‎∴ ………1分 由得；由，得 ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，无极大值. ………4分 ‎（Ⅱ）解：‎ ‎∴‎ 又，易得在上单调递减，在上单调递增，‎ 要使函数在内有两个零点，‎ 需，即，………5分 ‎∴，∴，即的取值范围是. ………8分 ‎（Ⅲ）要证， 即证 ‎ 由（1）知，当时，且 设， 则 由得；由得 所以在上单调递增，在上单调递减 从而的极大值即最大值为 ‎ 所以 故当时，………12分