数学理卷·2018届山西省平遥中学高二下学期期中考试（2017-05）

数学理卷·2018届山西省平遥中学高二下学期期中考试（2017-05）

平遥中学 2016—2017 学年度第二学期高二期中考试 数学试题（理科） 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 命题人：李小丽 本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选 择题）组成 一． 选择题（5×12=60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将 正确选项填在答题卡的相应位置上） 1、设 是虚数单位,复数 的实部与虚部之和为( ) A.0 B.2 C.1 D.-1 2、下面几种推理过程是演绎推理的是( ) (A)某校高三有 8 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班人数都超过 50 人 (B)由三角形的性质,推测空间四面体的性质 (C)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分 (D)在数列 中， ， ，由此归纳出 的通项公式 3、函数 的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 4、若 的展开式中 的系数是 ,则实数的值是( ) A. B. C. D. 5、甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是( ) A.16 B.12 C.8 D.6 6、若函数 是 上的单调函数,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. { }na 11 =a       += − − 1 1 1 2 1 n nn aaa { }na 7、将 l,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右、每一列 从上到下分别依次增大,当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格的方法数为 A.4 种 B.6 种 C.9 种 D.12 种 8、学习合情推理后,甲、乙两位同学各举了一个例子,甲:由“若三角形周长为,面积为 ,则 其内切圆半径 ”类比可得“若三棱锥表面积为 ,体积为 ,则其内切球半径 ”; 乙 : 由 “ 若 直 角 三 角 形 两 直 角 边 长 分 别 为 、 , 则 其 外 接 圆 半 径 ”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为为、 、,则其外 接球半径 ”.这两位同学类比得出的结论( ) A.两人都对 B.甲错、乙对 C.甲对、乙错 D.两人都错 9 、 设 的 展 开 式 的 各 项 系 数 之 和 为 , 二 项 式 系 数 之 和 为 , 若 ,则展开式中 的系数为( ) A.-150 B.150 C.300 D.-300 10、做一个圆柱形锅炉,容积为 ,两个底面的材料每单位面积的价格为元,侧面的材料每单 位面积价格为 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( ) A. B. C. D. 11、从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、 乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有 A.96 种 B.240 种 C.180 D.280 种 12、已知定义在 上的函数 的图象关于点 对称,且当 时, (其中 是 的导函数),若 , , ,则, ,的大小关系是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13、给出下列不等式: ……… 则按此规律可猜想第 个不等式为 14、已知函数 的导函数 为偶函数，则函数 的增 区间为______________ 15、 的展开式中的常数项为 ，则直线 与曲线 围成图形的面积为 _______________ 16、曲线 上的点到直线 的最短距离是________ 三、解答题(本大题 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 17．（本小题 10）已知 是复数, , 均为实数,且复数 在复平面上对应 的点在第四象限. (1)求复数 (2)试求实数 的取值范围. 18．（本小题 12 分） 已知 在 时取得极值, 且 . （1）试求常数, ,的值; ( ) ( )Raxaeexf xx ∈−−= − 422 ( )xf ′ ( )xf 3 21      + xx a axy = 2xy = （2）试判断 时,函数 取极小值还是极大值,并说明理由 19．（本小题 12 分） 从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4×100 m 接力赛.试求满足下列条 件的参赛方案各有多少种? (1)甲不能跑第一棒和第四棒; (2)甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒 20.（本小题 12 分） 已知曲线 （1）求 （2）求在点 处的切线方程 21.（本小题 12 分） 在二项式 的展开式中,前三项的系数成等差数列 （1）求 （2）把展开式中所有的项重新排成一列,求有理项都不相邻的概率 22．（本小题 12 分） 已知函数 . （1）求函数 的最小值; （2）设 ,讨论函数 的单调性; （ 3 ） 若 斜 率 为 的 直 线 与 曲 线 交 于 , 两 点 , 其 中 ,求证: 平遥中学 2016—2017 学年度第二学期高二期中考试 数学参考答案与评分标准（理科） 一．选择题 1～5 BCDDA 6～10 CBCBA 11～12 BC 二、填空题 ( )0f n 13、 14、 15、 16、 三、解答题(本大题 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 17、（1）5 分 （2）5 分 18、（1）6 分 （2）6 分 （1） ,因为 是函数 的极值点,所以 是方程 的两根,由根与系数的关系,得 又 ,所以 .综上可解得 . （2）因为 ,所以 ,当 或 时 , , 当 时 , , 所 以 函 数 在 和 上是增函数,在 上是减函数,所以当 时,函数取得 极大值 ,当 时,函数取得极小值 R 19、（1）6 分 （2）6 分 (1)优先考虑特殊元素甲,让其选位置,此时务必注意甲是否参赛,因此需分两类: 第 1 类,甲不参赛有 种排法; 第 2 类,甲参赛,因只有两个位置可供选择,故有 种排法;其余 5 人占 3 个位置有 种排 法,故有 种方案. 所以有 种参赛方案. (2)优先考虑特殊位置. 第 1 类,乙跑第一棒有 种排法; 第 2 类,乙不跑第一棒有 种排法. 故共有 60+192=252 种参赛方案. 20、（1）5 分 （2）7 分 （1）由题得： , , 所以 （2） 因为 即 , 所以 , 因此所求切线方程为 ,即 21、（1）5 分 （2）7 分 4 5A 1 2A 3 5A 3 5 1 2 AA 2403 5 1 2 4 5 =+ AAA 603 5 =A 1922 4 1 4 1 4 =AAA （ 1 ） 展 开 式 通 项 为 , 所 以 展 开 式 的 前 三 项 系 数 分 别 为 ,因为前三项的系数成等差数列,所以 ,解得 （2）展开式共有 9 项,所以展开式 ,当 的指数为整数时,为有理项,所 以当 时, 的指数为整数即第 1,5,9 项为有理数共有 3 个有理项,所以有理项不相 邻的概率 22、（1）3 分 （2）5 分 （3）4 分 （1） ,令 , 得 ,当 时, , 当 时, . 则 在 内递减,在 内递增, 所以 时,函数 取得最小值, 且 （2） , , 当 时,恒有 , 在区间 内是增函数; 当 时,令 ,即 , 解得 , 令 ,即 ,解得 , 综上,当 时, 在区间 内是增函数, 当 时, 在 内单调递增,在 内单调递减. （3）证明: ,要证明 ,即证 ,等价于 . 令 (由 ,知 ),则只需证 ,由 ,知 , 故等价于 ① 设 , 则 , 所 以 在 内 是 增 函 数 , 当 时 , , 所 以 ; ② 设 , 则 所 以 在 内 是 增 函 数 , 所 以 当 时 , , 即 由①②知 成立,所以