2020届江苏省高考数学二轮复习专项强化练（六）解三角形

2020届江苏省高考数学二轮复习专项强化练（六）解三角形

专项强化练(六)　解三角形 A组 题型一　正弦定理和余弦定理 ‎1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．‎ 解析：由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，∵a＝4，b＝5，c＝6，‎ ‎∴＝＝2··cos A ‎＝2××＝1.‎ 答案：1‎ ‎2．在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4.若△ABC的面积为3，则BC的长是________．‎ 解析：因为S△ABC＝AB·ACsin A，所以3＝×3×4×sin A，所以sin A＝，因为△ABC是锐角三角形，所以A＝60°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，解得BC＝.‎ 答案： ‎3．已知在△ABC中，A＝120°，AB＝，角B的平分线BD＝，则BC＝________．‎ 解析：在△ABD中，由正弦定理得＝，‎ ‎∴sin∠ADB＝＝，∴∠ADB＝45°，‎ ‎∴∠ABD＝15°，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝30°，‎ ‎∴AC＝AB＝.在△ABC中，由余弦定理得 BC＝ ＝.‎ 答案： ‎4．在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若＋＝，则的最大值为________．‎ 解析：由＋＝可得，‎ ＋＝，‎ 即＝，‎ ‎∴＝，‎ 即＝，‎ ‎∴sin2C＝sin Asin Bcos C.‎ 根据正弦定理及余弦定理可得，‎ c2＝ab·，整理得a2＋b2＝3c2.‎ ‎∴＝＝≤＝，‎ 当且仅当a＝b时等号成立．‎ 答案： ‎[临门一脚]‎ ‎1．正弦定理的应用：‎ ‎(1)已知两角和任意一边，求其它两边和一角；‎ ‎(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．‎ ‎2．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：‎ ‎(1)已知三边，求三个角；‎ ‎(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．‎ ‎3．要注意运用a>b⇔A>B⇔sin A>sin B对所求角的限制，控制解的个数．‎ ‎4．对边、角混合的问题的处理办法一般是实施边、角统一，而正弦定理、余弦定理在实施边和角相互转化时有重要作用，如果边是一次式，一般用正弦定理转化，如果边是二次式，一般用余弦定理．‎ ‎5．对“锐角三角形”的概念要充分应用，必须三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，防止角范围的扩大．‎ 题型二　解三角形的实际应用 ‎1.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m.‎ 解析：∠B＝180°－∠ACB－∠CAB＝30°，由正弦定理得，AB＝＝＝50(m)．‎ 答案：50 ‎2．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________．‎ 解析：∵AD2＝602＋202＝4 000，‎ AC2＝602＋302＝4 500.‎ 在△CAD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝＝，‎ ‎∴∠CAD＝45°.‎ 答案：45°‎ ‎3.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．‎ 解析：依题意得OD＝100米，CD＝150米，连接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，因此由余弦定理有OC2＝OD2＋CD2－2OD·CD·cos∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，‎ ‎∴OC＝50(米)．‎ 答案：50 ‎[临门一脚]‎ ‎1．理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等．‎ ‎2．测量问题和追击问题关键是构建三角形，利用正余弦定理研究．‎ ‎3．几何图形中长度和面积的最值问题的研究关键是选好参数(边、角或者建立坐标系)，构建函数来研究，不要忽视定义域的研究．‎ B组 ‎1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，b＝1，c＝2，则A 等于________．‎ 解析：∵cos A＝＝＝，‎ 又∵0°a，所以B>A，所以A＝.‎ 答案： ‎7．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，其中ccos∠BAC＋acos∠ACB＝6，b2＋c2－a2＝bc，O为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，∠BAO＝30°，则||＝________．‎ 解析：因为b2＋c2－a2＝bc，所以cos∠BAC＝＝，所以sin∠BAC＝＝.又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心．‎ 因为ccos∠BAC＋acos∠ACB＝6，所以b＝6.‎ 取BC的中点D，连接OD，由∠BAO＝30°，得∠BAD＝30°，‎ 所以S△BAD＝BA×ADsin∠BAD＝×BA×ACsin∠BAC，‎ 所以AD＝＝＝，所以||＝AD＝3.‎ 答案：3‎ ‎8.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)‎ 解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足．在Rt△ACD中，AC＝92，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝×sin∠BAC＝×sin 37°≈×0.60＝60(m)．‎ 答案：60‎ ‎9．在△ABC中，已知AB＝，C＝，则·的最大值为________．‎ 解析：因为AB＝，C＝，设角A，B，C所对的边为a，b，c，所以由余弦定理得3＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab≥ab，当且仅当a＝b＝时等号成立，又· ＝abcos C＝ab，所以当a＝b＝时，(·)max＝.‎ 答案： ‎10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C＝________.‎ 解析：因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．‎ 答案：－ ‎11．(2019·如东中学模拟)在△ABC中，A＝，AB＝，D是BC上靠近点C的三等分点，且AD＝1，则AC＝________.‎ 解析：法一：设BD＝2x，DC＝x，AC＝y，x>0，y>0，在△ABD和△ADC中由余弦定理得，‎ ＋＝0，化简得y2＝3x2.在△ABC中，由余弦定理知9x2＝3＋y2＋y，联立方程得所以故AC＝.‎ 法二：由题意知＝＋，两边平方得AD2＝×AB2＋×AC2＋2×AB×AC×，得2AC2－AC－3＝0，得AC＝.‎ 法三：以点A为坐标原点，AC所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，设C(b,0)，b>0，则B，易知＝2，则D，由AD＝1得2＋＝1，得b＝，故AC＝.‎ 答案： ‎12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b－c＝1，△ABC的面积为，则·＝________.‎ 解析：以BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为a＝2，所以B(1,0)，C(－1,0)，设A(x，y)，又AC－AB＝10，又B为锐角，所以2tan2C－1>0，所以tan Atan B＋tan Btan C＋tan Ctan A＝3tan Ctan B＋2tan2C＝＋2tan2C＝＋＋(2tan2C－1)≥＋2＝，当且仅当tan2C＝时等号成立．‎ 答案：