2017-2018学年广东省中山市第一中学高二下学期第二次统测数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年广东省中山市第一中学高二下学期第二次统测数学（理）试题（Word版）

中山市第一中学2017-2018学年高二年级第二次统测 理科数学试卷 命题人： 审题人：‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1．下列说法正确的是（ ）‎ A．由归纳推理得到的结论一定正确 B．由类比推理得到的结论一定正确 C．由合情推理得到的结论一定正确 D． 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确 ‎2．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎3．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎4．用反证法证明命题“已知a、b、c为非零实数，且，求证a、b、c中至少有二个为正数”时，要做的假设是（ ）‎ A．a、b、c中至少有二个为负数 B．a、b、c中至多有一个为负数 C．a、b、c中至多有二个为正数 D．a、b、c中至多有二个为负数 ‎5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为： ‎ X ‎0‎ ‎1‎ P 则q等于 A． ‎1 B． C． D．‎ ‎6．若，且，则等于 A． ‎ B． C． D．‎ ‎7．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ‎ A． ‎24 B．‎18 ‎C．12 D．9‎ ‎8．设，则的值是 A． ‎665 B．‎729 ‎C．728 D．63‎ ‎9．如图，由曲线，直线和x轴围成的封闭图形的面积是 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎10．已知函数，则 A． ‎ B．e C． D．1‎ ‎11．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于 A． ‎ B．‎ C． D．‎ ‎12．若函数在上是单调函数，则a的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，不同的染色方法的种数有______  种．‎ ‎14．已知复数z满，则 ______ ．‎ ‎15．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．‎ ‎16． ．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分）‎ ‎（一）必做题 ‎17．（本题满分为12分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．‎ ‎（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；‎ ‎（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列．‎ ‎18．（本题满分为12分）某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温． ‎ 气温 ‎14‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 用电量度 ‎22‎ ‎26‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎（I）求线性回归方程；（参考数据：，）‎ ‎（II）根据（I）的回归方程估计当气温为时的用电量．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，．‎ ‎19．（本题满分为12分）已知，（）．‎ ‎（1）求并由此猜想数列的通项公式的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎20．（本题满分为12分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的．‎ ‎（1）求该展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求展开式中系数最大的项．‎ ‎21．（本题满分为12分）设函数，记．‎ ‎（I）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（II）求函数的单调区间；‎ ‎（III）当时，若函数没有零点，求a的取值范围．‎ ‎（二）选做题（请考生从给出的22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。）‎ ‎22．（本题满分为10分）已知直线l的参数方程为（为参数）‎ ‎，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ‎（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C交于两点，求．‎ ‎23．（本题满分为10分）求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎中山市第一中学2017-2018学年高二年级第二次统测 理科数学参考答案 ‎【答案】‎ ‎1． D 2． A 3． A 4． A 5． C 6． A 7． B ‎8． A 9． D 10． C 11． B 12． B ‎ ‎13． 180   14．    15．    16．   ‎ ‎17． 解：设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A，事件A包括两种情况，一是抽到的是一个一等品，二是抽到的是一个二等品，这两种情况是互斥的，‎ 事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”；‎ 由题可知X可能取值为．‎ ‎，‎ 的分布列是：‎ ‎  18． 解： 把代入回归方程得，解得．‎ 回归方程为；‎ 当时，，估计当气温为时的用电量为30度．  ‎ ‎19． 解：因为 ‎ 所以 由此猜想数列的通项公式 ‎ 下面用数学归纳法证明 当时，，猜想成立 假设当 时，猜想成立，即 ‎ 那么．‎ 即当时，猜想也成立；‎ 综合可知，对猜想都成立，即  ‎ ‎20． 解：第项系数为，第r项系数为，第项系数为依题意得到，即，解得， 所以二项式系数最大的项是第4项和第5项． 所以． 设第项的系数最大，则 ‎ 解得 又因为，所以 展开式中系数最大的项为  ‎ ‎21． 解：，则函数在处的切线的斜率为．‎ 又，‎ 所以函数在处的切线方程为，即 Ⅱ．‎ 当时，在区间上单调递增；‎ 当时，令，解得；‎ 令，解得．‎ 综上所述，当时，函数的增区间是；‎ 当时，函数的增区间是，减区间是．‎ Ⅲ依题意，函数没有零点，‎ 即无解．‎ 由Ⅱ知，当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，‎ 由于，只需，‎ 解得．‎ 所以实数a的取值范围为  ‎ ‎22． 解：直线l的参数方程为为参数，‎ 消去t得到：，‎ 即：．‎ 曲线C的极坐标方程为 转化为：，‎ 整理得：．‎ 将l的参数方程为参数，代入曲线C：，‎ 整理得：，‎ 所以：，‎ 则：．  ‎ ‎23． 证明：，‎ ‎；‎ 要证，‎ 只要证，‎ 只要证，‎ 只要证，‎ 只要证，‎ 显然成立，‎ 故．  ‎