2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高二上学期期末联考数学（文）试题（解析版）
四川省蓉城名校联盟2018-2019学年高二上学期期末联考数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知命题P：∃x0≥1，x02+x0+1≤0，则命题P的否定为( )
A. ∃x≥1，x2+x+1>0 B. ∀x≥1，x2+x+1≤0
C. ∀x<1，x2+x+1>0 D. ∀x≥1，x2+x+1>0
【答案】D
【解析】解：因为命题P：∃x0≥1，x02+x0+1≤0，则命题P的否定：∀x≥1，x2+x+1>0．
故选：D．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定.特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2. 总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第3列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为( )
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93
A. 12 B. 13 C. 03 D. 40
【答案】C
【解析】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右
依次选取两个数字中小于30的编号依次为17，12，13，26，03
则第5个个体的编号为03．
故选：C．
根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．
3. 已知甲：x<0或x>1，乙：x≥2，则甲是乙的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】甲：x<0或x>1，则甲：A=(-∞,0)∪(1,+∞)，
乙：x≥2，则乙：B=[2,+∞)，
又B⊊A，
即甲是乙的必要不充分条件，
故选：B．
先写出命题甲、乙所对应的集合，甲：A=(-∞,0)∪(1,+∞)，乙：B=[2,+∞)，
再结合两集合的包含关系B⊊A，再判断即可，
本题考查了集合与充要条件之间的关系，充分条件、必要条件、充要条件，属简单题
1. 已知直线l1的方程为mx+(m-3)y+1=0，直线l2的方程为(m+1)x+my-1=0，则l1⊥l2的充要条件是( )
A. m=0或m=1 B. m=1
C. m=-32 D. m=0或m=-32
【答案】A
【解析】解：因为l1⊥l2⇔m(m+1)+(m-3)m=0⇔m=0或m=1，
故选：A．
已知l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2的充要条件是：A1A2+B1B2=0，代入运算即可得解．
本题考查了两直线垂直的充要条件、充分条件、必要条件、充要条件，属简单题
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是棱AA1，CC1的中点，则异面直线MN与BC1所成角为( )
A. 90∘ B. 60∘ C. 45∘ D. 30∘
【答案】B
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，
则M(2,0，1)，N(0,2，1)，B(2,2，0)，C1(0,2，2)．
MN=(-2,2，0)，BC1=(-2,0，2)，
设异面直线MN与BC1所成角为θ，
则cosθ=|MN⋅BC||MN|⋅|BC|=48⋅8=12．
∴θ=60∘．
∴异面直线MN与BC1所成角为60∘．
故选：B．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用同量法能求出异面直线MN与BC1所成角．
本题考查的知识点是导师面直线所成的角，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是基础题．
3. 执行如图所示的程序框图，若输入的k值为9，则输出的T值为( )
A. 32
B. 50
C. 18
D. 25
【答案】A
【解析】解：模拟程序的运行，可得
k=9，n=1，T=0，
执行循环体，T=2，n=3
不满足条件n≥9，执行循环体，T=8，n=5
不满足条件n≥9，执行循环体，T=18，n=7
不满足条件n≥9，执行循环体，T=32，n=9
满足条件n≥9，退出循环，输出T的值为32．
故选：A．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
1. 甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，x1,x2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )
A. x1>x2,s1<s2 B. x1=x2,s1<s2 C. x1=x2,s1>s2 D. x1
s2
【答案】B
【解析】解：由茎叶图可看出甲的平均数是8+9+14+15+15+16+21+228=15，
乙的平均数是7+8+13+15+15+17+22+238=15，
∴
两组数据的平均数相等．
甲的方差是18(49+36+1+0+0+1+36+49)=21.5
乙的方差是18(64+49+4+0+0+4+49+64)=32.25
∴甲的标准差小于乙的标准差，
故选：B．
根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小．
本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．
1. 某市进行了一次法律常识竞赛，满分100分，共有N人参赛，得分全在[40,90]内，经统计，得到如下的频率分布直方图，若得分在[40,50]的有30人，则N=( )
A. 600 B. 450 C. 60 D. 45
【答案】A
【解析】解：由频率分布直方图得：
得分在[40,50]的频率为：1-(0.035+0.030+0.020+0.010)×10=0.05，
∵得分在[40,50]的有30人，
∴N=300.05=600．
故选：A．
由频率分布直方图得得分在[40,50]的频率为0.05，由此利用得分在[40,50]的有30人，能求出N．
本题考查样本单元数的求法，考查频率分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 以下命题为真命题的个数为( )
①若命题P的否命题是真命题，则命题P的逆命题是真命题
②若a+b≠5，则a≠2或b≠3
③若p∨q为真命题，￢p为真命题，则p∨(￢q)是真命题
④若∃x∈[1,4]，x2+2x+m>0，则m的取值范围是m>-24
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】解：对于①若命题P的否命题是真命题，则命题P的逆命题是真命题，
满足四种命题的逆否关系与真假关系，①正确；
对于②若a+b≠5，则a≠2或b≠3，因为逆否命题：a=2且b=3则a+b=5是真命题，所以②正确；
对于③若p∨q为真命题，￢p为真命题，命题p为假命题，命题q为真命题，
则命题“p∨(￢q)”是假命题.所以③不正确；
对于④函数f(x)=x2+2x+m在[-1,+∞)上为增函数，则24+m>0，
则m的取值范围是m>-24，故④正确．
故选：C．
利用复合命题的真假；命题的真假；命题的否定；利用四种命题的真假判断即可．
本题以命题的真假判断为载体，考查了复合命题，四种命题，函数图象和性质，难度中档．
1. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为( )
A. π12 B. 1-π12 C. π6 D. 1-π6
【答案】B
【解析】解：本题是几何概型问题，
与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，
其体积为：V1=12 ×43 π×13=2π3
“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为23-2π3，
则点P与点O距离大于1的概率是23-2π323=1-π12．
故选：B．
本题是几何概型问题，欲求点P与点O距离大于1的概率，先由与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．
本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体和体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想.属于基础题．
2. 若椭圆与双曲线的离心率之积等于1，则称这组椭圆和双曲线为孪生曲线.已知曲线C1：x29+y225=1与双曲线C2是孪生曲线，且曲线C2与曲线C1的焦点相同，则曲线C2的渐近线方程为( )
A. y=34x B. y=±34x C. y=43x D. y=±43x
【答案】D
【解析】解：椭圆与双曲线的离心率之积等于1，则称这组椭圆和双曲线为孪生曲线．
已知曲线C1：x29+y225=1，可得e=ca=45，双曲线C2是孪生曲线，它的离心率为：e=54，
可得ca=54，a2+b2a2=2516.解得：ba=34，
则曲线C2的渐近线方程为：y=±43x．
故选：D．
求出椭圆的离心率，推出双曲线的离心率，然后求解双曲线的渐近线方程即可．
本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
1. 已知⊙O的方程是x2+y2=m2(m>0)，A(1,3)，B(3,1)，若在⊙O上存在点P，使PA⊥PB，则实数m的取值范围是( )
A. [2,32] B. (2,32) C. [2,22] D. (2,22)
【答案】A
【解析】解：问题等价于以AB为直径的圆与圆O由交点，
AB的中点为(2,2)，|AB|=(1-3)2+(3-1)222，所以半径为2，
以AB为直径的圆的圆心为(2,2)，半径为2，
根据两圆有交点的条件得：|m-2|≤22+22≤m+2，
解得：2≤m≤32．
故选：A．
问题等价于以AB为直径的圆与圆O由交点，而两圆有交点的条件为：|r1-r2|≤|C1C2|≤r1+r2．
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2. 已知椭圆C：x2100+y264=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P是椭圆C上的一点，且|PF1|=8，则|PF2|=______．
【答案】12
【解析】解：椭圆C：x2100+y264=1，可得a=10，b=8；
椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P是椭圆C上的一点，
且|PF1|=8，则|PF2|=2a-|PF1|=20-8=12．
故答案为：12．
直接利用椭圆的简单性质.转化求解即可．
本题考查椭圆的定义的应用，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
3. 若方程x2+y2-2tx+4y+2t+7=0表示圆，则实数t的取值范围是______．
【答案】(-∞,-1)∪(3,+∞)
【解析】解：方程x2+y2-2tx+4y+2t+7=0即(x-t)2+(y+2)2=t2-2t-3>0，解得t<-1或t>3，
故答案为：(-∞,-1)∪(3,+∞)．
把圆的方程化为标准形式，可得半径的平方，根据半径的平方大于零，求得实数t的取值范围
本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．
1. 已知抛物线C：y2=16x的焦点为F，准线是l，点P是曲线C上的动点，点P到准线l的距离为d，点A(1,6)，则|PA|+d的最小值为______．
【答案】35
【解析】解：抛物线C：y2=16x的焦点为F(4,0)，准线是l，x=-4，
点P是曲线C上的动点，点P到准线l的距离为d，点A(1,6)，
则|PA|+d的最小值为AF的距离；即：(1-4)2+(6-0)2=35．
故答案为：35．
求出抛物线的焦点坐标，判断A的位置，利用抛物线的性质，转化求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化首项以及计算能力．
2. 已知双曲线C的方程为x2a2-y29=1(a>0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，则△ABF的面积为______．
【答案】9
【解析】解：双曲线C的方程为x2a2-y29=1(a>0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点，
点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，AF=m，BF=n，可得m+n=2a，m2+n2=4c2，
可得：m2+n2+2mn=4a2，
可得：12mn=c2-a2=b2=9，
故答案为：9．
利用双曲线的简单性质结合三角形的面积，转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
3. 据统计，某地区植被覆盖面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(℃)之间呈线性相关关系，对应数据如下：
x(公顷)
20
40
60
80
y(℃)
3
4
4
5
(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被覆盖面积为300公顷，那么下降的气温大约是多少℃？
参考公式：线性回归方程y∧=b∧x+a∧；其中b∧=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a∧=y-b∧x．
【答案】解：(1)由表知：x=20+40+60+804=50，y=3+4+4+54=4. i=14xiyi=20×3+40×4+60×4+80×5=860，i=14xi2=202+402+602+802=12000．
所以b=860-4×50×412000-4×502=602000=0.03，a=4-0.03×50=2.5．
故y关于x的线性回归方程为y=0.03x+2.5．
(2)由(1)得：当x=300时，y=0.03×300+2.5=11.5．
所以植被覆盖面积为300公顷时，下降的气温大约是11.5℃．
【解析】(1)先算出x=50，y=4，i=14xiyi=860，i=14xi2=12000，再代入公式算得b=0.03，a=2.5，从而可得回归直线方程；
(2)在回归直线方程中令x=300解得y=11.5即为所求．
本题考查了线性回归方程，属中档题．
1. 已知直线l的方程为(m+2)x+(1-m)y+m-4=0．
(1)求直线l恒过定点A的坐标；
(2)若点P是圆C：x2+y2+2x=0上的动点，求|PA|的最小值．
【答案】解：(1)方程(m+2)x+(1-m)y+m-4=0可化为(2x+y-4)+m(x-y+1)=0，
由x-y+1=02x+y-4=0得y=2x=1，
∴点A的坐标为(1,2)；
(2)圆C：x2+y2+2x=0可化为(x+1)2+y2=1，∴圆心C为(-1,0)，
∴|AC|=22，
∴|PA|的最小值为22-1．
【解析】(1)利用直线过定点，即与m的取值无关，所以整理后只需m的系数为0，可解得；
(2)用圆心到A的距离减去半径解得．
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
2. 已知关于实数x的一元二次方程x2+2ax+b2=0(a,b∈R)．
(Ⅰ)若a是从区间[0,3]中任取的一个整数，b是从区间[0,2]中任取的一个整数，求上述方程有实根的概率．
(Ⅱ)若a是从区间[0,3]任取的一个实数，b是从区间[0,2]任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．
【答案】解：设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”．
当a≥0，b≥0，时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b．
(Ⅰ)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．
其中第一个数表示a的取值，
第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)=912=34．
(Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为=3×2-12×223×2=23．
【解析】设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”，当a≥0，b≥0，时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b．
(Ⅰ)利用古典概型概率计算公式求解；
(Ⅱ)应用几何概型概率计算公式求解．
本题考查了古典概型、几何概型，属于中档题．
1. 某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.050
第2组
[165,170)
a
0.350
第3组
[170,175)
30
b
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
合计
100
1.00
(Ⅰ)求出频率分布表中a，b的值，再在答题纸上完成频率分布直方图；
(Ⅱ)根据样本频率分布直方图估计样本成绩的中位数；
(Ⅲ)高校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，再从6名学生中随机抽取2名学生由A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．
【答案】解：(Ⅰ)由频率分布表，得：
a=100×0.35=35，
b=30100=0.30．
频率分布直方图为：
(Ⅱ)∵[160,170)
的频率为0.05+0.35=0.4，[170,175)有频率为0.3，
∴样本成绩的中位数为：170+0.5-0.40.3×5=5153．
(Ⅲ)∵第3、4、5组共有60名学生，
∴利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：3060×6=3人，第4组：2060×6=2人，第5组：1060×6=1人，
∴第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,C1)，(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,C1)，
(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,C1)，(B1,B2)，(B1,C1)，(B2,C1)，
第4组至少有一位同学入选的有9种可能，
∴第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为p=915=35．
【解析】(Ⅰ)由频率分布表，能求出a，b，由此能作出频率分布直方图．
(Ⅱ)求出[160,170)的频率，[170,175)的频率为0.3，由此能求出样本成绩的中位数．
(Ⅲ)第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，由此列举法能求出第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．
本题频率分布表、频率分布直方图的应用，考查中位数、概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．
1. 在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点O，过点A(2,22)，其焦点F在x轴上．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)斜率为1且与点F的距离为22的直线l1与x轴交于点M，且点M的横坐标大于1，求点M的坐标；
(3)是否存在过点M的直线l，使l与C交于P、Q两点，且OP⊥OQ.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【答案】解：(1)设C的方程为y2=mx-------------------(1分)
则8=2m∴m=4-------------------(2分)
∴C的方程为y2=4x------------------(3分)
(2)点F的坐标为(1,0)------------------(4分)
设l1的方程为y=x+b------------------(5分)
则|b+1|2=22∴b=0或b=-2-----------------(6分)
∴l1与x轴的交点为(0,0)，(2,0)
又xM>1∴点M的坐标为(2,0)-----------------(7分)
(3)设l的方程为x=ty+2，P(y124,y1)，Q(y224,y2)
---------------(8分)
由y2=4xx=ty+2得y2-4ty-8=0∴y1+y2=4t，y1y2=-8----------------(10分)
要OP⊥OQ，则要y12y2216+y1y2=0，即4-8=0不成立，
∴不存在满足条件的直线l.----------------(12分)
【解析】(1)设C的方程为y2=mx，求出m=4，即可得到C的方程．
(2)点F的坐标为(1,0)，设l1的方程为y=x+b利用点到直线的距离公式求解b，然后求解M的坐标．
(3)设l的方程为x=ty+2，P(y124,y1)，Q(y224,y2)，由y2=4xx=ty+2，利用韦达定理，转化求解即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
1. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60∘，△ABF2的周长是焦距的3倍．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若|AF1|=λ|BF1|(λ>1)，求λ的值．
【答案】解：(1)由椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，
过点F1的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60∘，
△ABF2的周长是焦距的3倍知：4a=6c----------------(3分)
∴e=23----------------(4分)
(2)∵|AF1|=λ|BF1|，∴F1A=λBF1，
直线l的方程为y=3(x+c)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则(x1+c1,y1)=λ(-c-x2,-y2)，
∴y1=-λy2-----------------(6分)
∵e=23∴a2=94c2，b2=54c2，
∴椭圆C的方程为20x2+36y2=45c2，
由20x2+36y2=45c2y=3(x+c)得128y2-403cy-75c2=0(*)-----------------(8分)
∴y1+y2=403c128，y1y2=-75c2128，------------------(9分)
∴(1-λ)y2=403c128-λy22=-75c2128，
∴(1-λ)2λ=12-----------------(11分)
∴λ=12或λ=2，
又λ>1，∴λ=2------------(12分)
【解析】(1)由题知，△ABF2的周长是焦距的3倍.4a=6c，然后求解离心率．
(2)推出F1A=λBF1，直线l的方程为y=3(x+c)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，推出椭圆C的方程为20x2+36y2=45c2由20x2+36y2=45c2y=3(x+c)通过韦达定理，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
